Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации (1050542), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Перейдем В задаче (31.1) — (31.3) к фаыаым леремп~ным х, =х, х = х (Рйеренеийь4 н сйсйюЯНЙЯ (х „х, ) Объекта УпрзВлеииЯ). Ти'дй СфОРМУЛИРОВЗИНЗЯ ЗЗДЗЧЗ ПРИМЕТ ВИД Х~ =Х-, х;(0) = О, т (т ) — ~1 1 1х, = — и; х,~й1=. „:,У'1=~„; (31 4) ю ~ьф) < А, ~~~О, ~ "1; т — + пйп. 13 такой йнтерпретапии раеематрйваемая задача управления двия(0111(Ем 11ОКО1Ка на ЗВДВЧу О ОракнотокрОНЕ Из ВВРиацноннОГО ИЕЧНЕЛЕ- 11(1'~ 11л. 7).
ПринЦ(п1иальное Отличие заДачи быстрОДейетвия От заДачн „браяиетохр01(е еоетоиГ В на~иЧНН ОГраиичеииЯ типа неетрОГОГО нера- 1;011':(ва (З),3), которое не позволяет иеподьзовать текнику и результа(ь1 1(.:1аееичсскОГО ВариационнОГО иечиелсния. Рассмотрим Объект, пОВедеиие котОрОГО В (1-мерноы фазОВОм про;; ~ранетве Й. Опиеыва(. Г(",я ОбыкнОВенным дйффереипиальным уравнениеы х =- )"(х, ((). (31.5) 1.'(е(:ь х -' х(() =- ( х, (1)„, х„(()) — еОсРииЯЙ(и" Объекта В мОмент Времени 1. Х '-"- Х(1) = ((Хl(Й вЂ”. ЕГО СК(1)7(1СЖЬ, (( = и(() = ((( 1(), ..., Р„~()) — ЗНВЧЕНИЕ В мом(.1(т Времен(( ( Г-мерн01 О $ч(р(т((,тя((зн(е((1 ((йздейеи((байя.
11уеть В ~.-мерном проетраь(етве Й' задано ынозкеетво У е: К". Кул(11ИО" неГ(рсрь(вну10 функ((ик( и((), ( >. О, принимающую значения из ( ': (((г) (1 У, ( > О, 1(азовом д(1("(~(ГН~(ы.(( «~н~1((((дЯ((1(((йх( ((1Оздейс(~(я((еи. БуДем ечитать, что 1(((я(д(зму доетуГ(ном~ управляю(пеыу ВоздеЙетви(о еоответетвует едии- ~ твенное ре(пение х~(), ( > О, Векторноео уравнения ('31.5) е иачачьным у(;.,л(1вием х(О) = х,.
Доступное управляющее воздействие и('(),(>О, 11((зываетея ир(1.Р((х(. (((Й„ееди при заданныя х„., х„(= К' соответетвую111ая траекториЯ х((), ( > ()„В некоторый момент Вреыеии 11 ' ( =-1 (1() Е ~' УДОВЛЕТВОРЯЕТ УЕ((ОВИЯМ1 х~о) =х„, х~( ) =-х„. ИЗТ, СДЙИСТВСЙНЫ, П(ЗОДОЛЖЙМЫ ИЗ ВССЬ П(ЬВМСЖУТОК ВРСМСИЙ И ПРИ ЛСЖЗТ МЙОЖССТВУ Х, ПрйВСдСМ бСЗ дОКЗВЗТСЛЬСТВЗ СЛСдуКИПСС уТВС(ЭЖЛСНИС.
ТСОРСМЗ 32.1. ЕСЯВ ВРИ К~~~дОЙ Т ~ Х фйВКЦЙЯ /„( ~, В), Я ~. :У:„";;,.- .МНО;ВСССВ~йО ~ КОПОТИ"Й Д.Т, Б ) = ( ~ (Я, В): И ~= ( ", ВЬ~й1-КТЫ„~~ Зйд,' (32.1)-(32.3) РАИЛЯ ~М1йСИЙВ 6 КЛЙС(. С ВЗЯВ~)ИМЫт (:ВРОВЛЯЮЩИх ВОЗДАЯ Оба уСЧОВЙВ ТСОрСМЫ СуП(ССТВСЙНЫ (См. раад. 32.9), ГСЛЙ ЙС ф~ф пОДИЯстсЯ ЯОтЯ бы ОднО Йа трсбОВзийй тсОрсмы, тО задача мОжст:.~(~ ЙМСТЬ РС~ПСЙЙЯ В КДЗССС ЙЗМСРЙМЫК УПРЗВЛЯК~П(ЙК ВОВДСЙСТВЙЙ. и ~~~ кЙК случзяк псрсхОдят к разлЙ п(ым сс расюЙрснйям В ВВВЙсймООТЙ:~~ КОЙКрСТНОЙ ВадЗЧЙ Й с~рО~~ ОбОб(цСИЙЫС рсПВЧ(ЙВ. Ддя ) ПрО~дСЙЙя ф';~~~.' кладОк пОЯсййм ВтО нз чзстнОм случзс зздзчй (32.1)-(32.3) — Йз Я(ц)дЯ~ ОЙВТЙМЯЛЬйй~й УЙРВВДСЙЙЯ ЙШЙВ МВЙСРВ (ЯйдЯЧС В~"~ЬЙЙЙ~~ЛЬйй~~( УПРИВЛИ$ИЯ) ( ~ ( Т, В) ~ О )", .«(И) = фХ(( )) -+ ПЫП, Здссь ~(() е Й и, О(() ьз Й' ', Г с,(, — НОВььс упраВДЯЮН(Йс ВОздсйстВЙ$" ",! лИ А =(а=(а„„(=1,В+1)Я:-й"': а, >(1, (=-1„и+1, ',У а, =1(, Р' = (Я =- (ВИ, ( = 1, л + 1) ~ Й "™: В" ~ У, ( = 1, ц -( 1,', ,~(~„О, ~') = T~~, ~ (~, Я("), (.:ОГлзсйО тсОрсмс 32.1 рзнпйрсиизЯ задача «3,5) имсст рсьпс(пк;,'В классс Йзмсрймык упрзВлякидйк ВОздсйстВЙЙ, Пусть (О;~(), Р()) — Оптимальная прОграмма распирсциОЙ задача (32.5).
ВОЗМОЖНЫ ДВЗ СЛуЧВЯ: 1) О",'(() =- О ч. 1 ПОЧТИ ВСЬОДу ЙФ ,-;. 1.Р1 + 1; 2) СУИЫСТВ'МЮТ ТЗКИС ЙИБСКС 1„. И МИОМССТВО О (-: 'Г ИСИУ- «~« ',««'«П МСРЫ, ЧТО О <'. Я (1) <. 1 „1 «" «~7. 11 ПСРВОМ СЛУЧЗС ИСКОДИЗЯ ЗЙДЗЧЗ (32.4) ИМССТ РС«ПСИИС В КЛЗС- п Рзсримых упраилтапьт ВОздсйстВий: и" Я =- ~"'"(~)« ~ ~ Х;.
= о .: Т:а,'(т) =-1',,1=1,и+1. 1)О ВТОРОМ СЛ~«ЧЗС ЗЗЛ«ЧЧЗ ИС ИМССТ РСП~СИИЗ В КЛЗССИЧССКОМ СМЫС()ЛИ«ЧКО ПО РСП~СИП~О РЗСПйфСИИОЙ ЗЗЛЗЧИ (32.5) МО"КИО ПОСТРОИТЬ иииих~~~ир~ ~й~)'® ~~~лМОВи~и~;~ьиос~йВ (О6О6И~СНИОс ф~~йснйГ) и"'Я, ~ ~ 7, А =-1, 2„...„ (32.6) ~',:ТО««ПО-ИСП(с~1ПЗВНЫК УПРЗВЛЗ~О~~йК ВОЗЛСЙСТВИй ИСКОЛИОЙ ЗЗЛЗЧИ ,3'.4), ВЛОЛЬ КОТОРЫХ КРИТСРИИ КЗЧССТВЗ СТРСМИТСЯ К ИИ~КНСЙ ГРЗИИ: 3:','.'" '(.)) -+ ~п1,«'(и) . 11ОСТРОСПИС МИИИМИЗИРУКППСЙ ПОСЛСЛОВЗТСЛЬИОСТЙ ПРОЛСМОНСТПп«,~СМ ЛЛЗ ЧЗСТИО~О СЛУЧЗЛ ~ЗЛЗЧИ (32.1)-(32.3), В КОТОРОЙ ~ =1, «1;.'«««Спим / (х.
и) Выпуклз пО и с(х' при кзждОм хс Л'. миО~ксстВО У ;Х'.«."««ОПТ ИЗ ДВУК ИЗОЛИРОВЗИИЫК ТОЧСК". .ц««1 = ««««х«««««1 «(х(««, «««фй -«и««««, Х = ДХ, И)„Х(О) = Х„« (32.7) и(~) «с ~/ = (и е й ' и = и ч й), ~ ~ Т. С (х, «х) — «".х «««(х„и) + «х, ~~(х Й1 Я!(х О.) О.1 ««(х и) + (х р ««(х и ) В ОЗС~ПИРСНИОЙ ЗЗЛЗЧС (32,8) ВСС УСЛОВИЙ ТСОРСМЫ 32.1 ВЫПОЛИСП«'4 - ЗЗДЗЧЗ ИМССТ РСПЫНИС Ф'(Г), ~ «Б У*.
КЗК УКЗЗЫВЗЛОСЬ ВЬППС, СОЛИ ":,: Й)=-0~:1, 1=1,2, ПОЧТИ ВСЮД)~ НЗ 7, ТО ИСКОЛПЗЯ ЗЗДЗЧЗ(32.7) ИМССТ 1«'-'«ИСПИВ В КЛЗССС ИЗМСРИМЫХ УНРЗВЛЛЯП«ИК ВОЗЛСЙСТВИЙ: и (~ ):: —.-., й, «Е 7 = (Т Е 'Г: а; (т) = 1), И (1) а И, ~ Е Т = (т Е У': О (Т) = 1)- Пуеть еу"ществует такое подмножество 0'с: Х ненулеВОЙ мерм„ 0 < О.",~~) < 1, у = 1, 2, ~ ~ а.
ДлЯ упрощения раееуздений будем считВ '"' что а =- 7'. Еели О < а",(1) я С, < „~ ~ Т, 7 =- 1. 2„С, + С, = 1, то Один:~1у методОВ поетРОениЯ минимизиРУ10щей поеледоветельноети пРНВОДВНу примере 3~.8. Будем ечитйть, что й (1), 1 е У, — некоторВЯ куедчи ' БЕПРЕРЫВНЭЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ. Рвеемотрим 1 -Й член поеледоввтельноетн (32.6). РВзооьем Отрезок нв Й рВВньхх непереесквющихсЯ чветей: 7' = ~ ~ 7'.. НВ кй~кдом 7'-м учвотц" ~Ф1 Г.
подсчитвем ((ередниен знзчениЯ и функций (х,'~~)у ~б;-Т,: и-' ~7.1:ж,'-',;: = 1 а~(г)й, ~ =1, 2, у'=1,~~. поале ьтого кваый участок у. рыо0ыф Ту Выделим подмно®еетво 7, учветков 7,, еуммврнВЯ длинВ ко рввнз О.,'~Т,1: ~~~7 ~=-и~ ~Х,'1, Остйльное подмно~кество уч ж/, обозначим через 7,; У,' =-11, ..., Ц~ '-, 7,'. Очевидно,,> 1Т,'1=- = а ЬОТО~)ОЕ ЗВПИ)ЛЕМ В ЕЛЕхаУ)ОИСМ ВНДЕ: С~'(ХВ й) ЛХ=Л;,Дх,и).) — — Лх+О,ЦЬХ11), )'~7', Ьх(()) =О. (32.~ ' зкххи, кхк н Вы1ОО Вхх ~„, Обизниихни В- ))х, и) = ) )х, В ) — х )» и1 )ВО1 ЛОМИМ Я(х, ))), м) = у'/(х, м) — /,,.(хх у), (32,)ф~ л„-И(х, )(), Р) = И(х, )~. Р) — Н(х, )()„и).
) ЛОмО14ь)О Ваедеипых Об(В~~ Значеннй пОеле пОДетанОВаи В РааепетВО (32.1б) Выдра кейиЯ (32.18) Дйф Ьх(~) „а Результата — В (32.13) ПОлучкм Ы)и).—. -) В„-,„)х)хИ, ц~)г), ВЩй— дО (х(1), )(ф), Цф ) -1 ОИи ' * ' 'Ох)~)М+~),+1),+н„ дх )1 =-) В'И Л~ФН)) В (32,21~ Определим фупапй)О )()(1), 1 ~- :У', ааь Реитепне ураайепил ОН(х(ф «(), И(')')) — — (я7', (32.22~; е иачзльныи уелОВием (32.12). КОмпОйенты ~р), ..., ))). ВеатОРВ )р назы-' Вают сОПРЯмсбииымй исрГмехииым~, ураайиие (32.22) — сх)ирммссииРЙ сисйимОЙ (ВЛОль йй), 1 е T ).
фуикпик) (32.19) -- ".Йми.тьиюииййОм . ПОдстаки Выражеиие (32.22) В рааенетВО (32.20), прндем к лад~-.. мОЙ фОрыуле прпраы(Сна ьрнтерйл аачеетаа А)~и) = -1Внин)х)~), ~гф. иф)й ~ ц, Рассмотрим рсшснис уравнсния (3",1 ') на НГОльчатой Варизцдф На промс'куткс (О, О» уравнение (32.17) имеет вид Лх = ~"(х + Лх, и) -- У'(х„и), Ат(О) -. О, и допускастсдинствсннос рсвасиис Лх«~) = О, 1 с1О, 61, Запиисм уравнснис (32.17) на промс'куткс (О, 6+ с(: Лх = Дх.» Ах, ») — У"(х, и), Лх(О).=О, Из интсГральной нспрсрывнОсти рс1псннй диффсрснпиальных ураана»1 НИЙ СЛСДуСТ СуЩССТВОВЗНИС ТЗКОГО ЧИСЛЗ О < А', < аэ, ЧТО ~~АХ(ф1~~ = ~~ х(~) — х(~) ~~ < А',а, ~ а 16, О+ с(, т.
с, свойство (32.26) имсст мссто-щ. отрсакс (6. 6+ с1. Наконсп, на отрсзкс (6+ В, 1 1 ураанснис (32,17) имсст Вид Лх = Г(х+ Лх. и) — У'(х, и), 1~Лх(6+ а) й < А'»а, Используя нспрсрывную заВисимОсть рспыний диффсрснцизльня~ ураансний От нзчальнььх данных, заключасм, чтО при нскотороф О < А, < м. ВЫПОЛНяСтоя НЕраВЕНСтВО ~1 Лх(~).~ < А',г, ~ Ь~6+ В, ~ 1, Та:-:,: ким Образом, Взяв А' = гпах»»К„А,1 „получим нсравснство (32.26). Дока~ксм нсобходнмос условнс Оптимальности прОГрамм. $ сорсмз 322 (Щ7ийцйй мйкси ниии ХУОНУЩ~Ялхйи). Д7А Оюи»имольйодй~~ ~~~осро~сиы и (Г), 1 е T, а.шьячс «32.1) — «32.3) йсобходи,ио, чу~бы вдоль й~~~ и соотг®с~~~йь~~ои~их сй р»писйий х (1).
»1» (1), 1 а У', исходйой (3,1) и ~!":, ~~яцй сййой (32.22), (32.12) ~~с~йсм аыйолйялось усяоаис.и»тксило'.»»о И(х~(~), ~р~(~), и~ф)=птахН(х~ф, у~(~), н), ~~~О, ~ ~. «32,27~: Докйз»»РильсР»»Г»0. Пусть и (1), » с'. У, — ОптимзльнаЯ протрамма'::, х (1)„»и (1), 1 ~ У', — соотвстс~ Ву~~пис сй рсптсиня систсм (323)~ (32.22)„(32.12). Прсдполо.ким, чтО тсорсма нсвсрна, т. с. При нското рых 6 ~ ~0„1 („и ~ Ь ВыполнЯстсЯ нсраВснстВО Н(х (6), »1» (6)„») — Н(х (6)„»1»а(6)„и'(6)) = =Л,,Ы(х~(6), »и (6)„и (6)) =а >О (32.231 Проварьирусм управля»Обхсс Воздсйствнс и'(1), 1~У', итольчатой Ва,":.:::: рианисй «32.25), В которой и(Г) =- и '(ф 1 е У, и Вычислим прирап1сйй»~ критсрия качсстВз.
Сотласн0 формулс прирап~сния (32.23) имссм ш»н') = — 1 л„й»х'й). 1» "аи, и'»ййс»+ р. »32.29~ х()):и ~, ~ ~(0„1,'31; хЩ тп —.т 2~'3, 1 ~к11/3, 1). ДЯЯ ф'„т'ЙМ1ИЙ фУ), 1 Е 7, ЙОЛУЧКМ Ч~(у) --- -(р ' ~' 2 - 1 у 18 1, у ~ (О. 113); Рме 3:у я ~~(У) — (т' — 2~аЗ)" ''2 -1.'1З, а о=11: 1, Ц, ЕЕ ГРЗфИК й~йбрЗ®~И Нй РИС. 32.2. ИЯ НЕГО ЯИДЯй, ЧТО РЗССйЗТРЯЯЗЕУ4ЗЯ ИРОРРЗММЗ ~ЛОЯЛСТВОРЯ0% Лрй~ЗИВУ МЗКСйМУМЗ. ОЯНШО ОИЗ Н~". Ой~ЯМЗЯ~ИЯ, ИОО,У(~) = -1/54„ З НЗ ВраграМме м(у)=-1, ~а 7*, гВЛучаЕм,У(Г) =- -1у6<-1 54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
