Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации (1050542), страница 20
Текст из файла (страница 20)
ПРИВСДСМ ЗЗДЗЧИт ДВЯ КОТО~ЫХ ПРИНЦИП МЗКСИМ)УМЗ- ИСО6ХОДИМО6 И ДОСТЗТОЧНОС УСЛОВИЯ ОПТИМЗЛЬНОСГИ ПРОГРЗММ (КРИТСРИЙ ОПТИМЗЛЬ'- НОСТИ), КЗК ПОКАЗНО ВЫШС, ПРИНЦИП МЗКСИМУМЗ КЗК НВОбХОДИМОС УСЛОВН6- ОПТИМЗЛЬНОСТИ СПРЗВСДЛИВ ДЛЯ ЛЮ6ЫХ ЗЗДЗЧ ТИПЗ (32.1)-(32.3) ОСЗ КЗКИХ-ЛИбО ДОПОПНИТСЛЬНЫХ СВОЙСТВ ОТНОСИ*СЛЬНО 1ТЗРЗМСТРОВ ~ЗДЗЧй„: КРОМЕ УКЗЗЗНИЫХ В РВА. 32,1. ПОКЗ'КЕМт ПО ПРИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВОЙ-"' СТВЗХ ПРИНЦИП МЗКСИМУМЗ СТЗНОВИТСЯ И ДОСТЗТОЧНЬ1М УСЛОВИСМ ОПТй: МЗЛЬИОСТИ ПРОГРЗММ. В фОРМу11С ПРИРЗ1дСИИя (32.23) ОСТЗГОЧИЫС аП1СНЫ ~),т ~ = 1,4, ХЗ" РЗКТСРИТУ1ОТ ОЙРСДСЛСНИЫС СВОЙСТВЗ ф)НКПИОНЗЛЬИЫХ ПЗ~ЗМСТ)ЮВ ЗЗ-. ДЗЧИ". 1) Т)1 = О,,(11 Л~(Г ) 11) ХЗРЗКТСРИЗ)'СТ НВЛИНСИПОСТЬ ТСРМИНЗЛЬНОГО ЧЛСНЗ ф(Х(у )) В КРИТСРИИ КЗЧССТВЗ; 2) И., =1о,уЕАтй1~~!)й каРактеРизУот палю 1ойнооть по .т фУнкции Д~(Х„И ) т Х Е А, М С СУ; ~~ О; Ц) ЛА(1) ~1) 1> А ~1Лх(1) ~~ „1 С У; (32'-.
3) ~р~х), х с Л „- выпуклая функБИЯ. РзссмОтрим ОстзтОчныс члсны т~.„ц, В фОрмулс (32,23) прирВ ' НИЯ КРИТСРИЯ КачССТВЗ. В СИ%у ~32.34), ~32,35) ЙМССМ: ц, = ~о,цьтщ!~)й > х~ ~(ьх~!", ~32." Гдс «~ лх 1~ = птах ~~~ Ах(1) < ~!1 уф ~ ~ . ~ ~ оф ~Ы!~1 ~~) ~~ й ~ Й~' ~ ~ Ах ~,". ГДС М = ГПЗХ ~~ Ц~~1) ~~ > О. ИЗ НСРЗВСИСТВЗ (32 37) СЛСДуСГ т~~ > -МЫ ЙЛх~~ (32:. Таким ОбрззОм, А > 1М при дОстзтОБИО мззОм 1. Иа нсрзвсй (32,36) и (,32 38) пОлучим т~, +т~; >.~ (А — Лй)~,'Лх",~ О. (32.3: ПОСКОЛВКу ~), > О,т~, .= О, ТО В СИЛУ СООТНО~БСНИЯ ~32.39) Иа фО~йфй~,'; ПрИРЗщСПИя КРИТСРИя КЗЧССТВЗ СЛСдуСТ НСРЗВСНСТВО ~32,32), КОТО пОзВОляст дОкзззть, чтО для РзссмзтривзсмОЗ О слуБзя принцип мзис мума являстся БсОбхОдимым и дОстзтОчным услОВисм (ЛОкзльБОЙ) (~~ ТИМЗЛЬБОСТИ ПРОГРЗММ, 32.6. ЗЗДЗЧИ ОБТЙМВДЬИОГО Ъ'ПРЯВДСБИИ С ТС~~МИИВДЬЙЫМЙ ОГРЗИЙЧСЙИИМИ 132 ф"~~ т, +1„м,', 7Ь УКОЗОИИКХ НЙ1'".:,;-:,": ИВННЯ ~1ф"'(Ц), ~ ~ У';-':.::,,' ~ВВ тВОРВМЫ 2,4 ПРИВЕДЕ.4 ПОСЛЕ ДОКВЗВ~ЕЛИ~ТВ~-":=;.:,~ ОПТИМаЛЬНОС7И ДЛЯ ЧЗСТНО 0 ~.'Л'ЧЯЯ ЗВУЧИ: 'Я ,М .71и) =- ах~7 )) -+ ми, = Ах+ Ви, 1 е 7 ., х(О) = ХВ, (32.48) 73 Х =(хаий.": Ь1х)<О, 1=1,~И1, /(и) = ~р~к~! и ~.
1/„(х~~). и(())Ф -+ т~в, х= 71Х м), Х1О) ='хд, Х1г ) ~ л" = (х е К'; Ь,1Х) < О, 1 =-1, т,, 6, (х) =- О„~' = ~ф) В У, «е 7 .= ~1)„Г ). 7ОГдО ййИд1МК.Я ИЫКИВ ЧИСЛЯ Р.;, 1=-0,РИ, ЧМО ВдО., 0 Г~йМл1Ы И (1), 7 ~ 7, РЧРОСКРЮ~ИИ Х 11), 7 Е 7, И И ООИРЯО~СВййОЙ ВИВИ~ВИЫ 132.42) ВЫИОЛИЯ~О~1ВЛ ~~ОВИй, 1) ~/УЛОВИВ ИГ1ПРИВИЙЛЬ НОС ЮИ:,р Я ) Ф 11; 0 ° 2 -й 2) УСЛОВИЯ ИВОФЩИЦЙТРЙИЬЙОСРЙИ: 7, -".
О, 7 = О, РП, „' В ~ 3) 1кЛОВиВ.ИОКСИМ~~МЙ ~32.45) „ 4) Я УЛОВИВ РйрйййЩЧ.'ЙЛЬИОИПИ оьфХ 11 )) с .ВОЛ(х 11 )) У (1 )=-А — — — — А: <".'Х,„~ ОХ 5) ~'ЕЛОВИй дОй~~ййй~И~ВЙ йВ~й ВВ~~КОВ~~~ 7,, Ь, (х" 1~ )) = О, 1 = 1„т,, Диффсрс1111ир~я ТОЯ1лсство У ~1)7-' '11) — Е и учить1ВВЯ урзвиснис 1'25О). Нструдно проверить, что матричная функпия 7 '(1)„1~7', „ДОВЛСТВОРЯСТ УРЗВНСНИ10 У .— -. -Е 'А, К ~О) = Е. С УЧСТОМ ПОСАСДНСГо ъ рЗВНС11Ия, ПрОдйффСрСНИИрОВЗВ ф~ИКцИ10 (32.63), ПОЛУЧИМ, ЧТО ОИЗ КВЛЯСТСЯ РСП1СНИСМ ~'РЗВНСНИЯ Ч1 -- -А'У, (32.65) ТЗКНм Обрааом„дЛЗ Задачн 132,48) СПрЗВСЛЛИВЫ СЛСдуК11ПИС НСОбХ011ИМЫС УСЛОВИЯ ОПТИМЗЛЬНОСТН ПРОГРЗММЫ.
ХСорСМЗ 32.5. 011РИИКИЬЙЫС 11РОР7МИХмй И (1), 1 ~Б 7, 1ИрйСКРЛОрйя А 11), 1б 7, ЗйдйчИ ~32,48) ВМСОиС С РСМД.'ЛИСМ 1ф (1)„1~= Т, СОР2РАМССН- ~101~ С11СЛ1СИЬ1 (32.65) КдОВ.1С1И11071Я1Ол1 УГЛОВМЛМ: 1) ИПКСИ1ИУИ11 132 64), ':) НСй~71йВИПЯЬНОС11111 (32.6Щ, 3) НСО1ЛР1П7ПЛТСЛЬНОСл1И 1'32.53), 4) лЧ1ПНС- ис7юйльйос1и ~32.66), 5) доиолйАюм~сй ЙЮк"ссай)сР1й (32,59), Докпзпл1сл1 саво тсорсмы 32,4 В обп1см случзс проводится по слсГ1~10111сй сксмс.
М110®сствз Д, Х, Я~О') В Окрсстиости ~~~КН .т (1 ) зппроксими1~ук1тся Выпукль1мн мн01ксствзми. При этом для зп11роксимзции множсствз Д использу1отся Вариации Г4зкисйнз. Если Ц и .1 ф ) НС ИМС1ОТ Об1ц1~% ВНУ1"рСННИХ ТОЧСК, ТО И ИХ ВЫПуКЛЫС ЗППрОКСнмщнн ТОРС НС будут ИХ ИМСТЬ. ДЗЛСС ПрИМСНЛСМ ПрИВСЛСННОС ВЫ1ПС ДОКЗЗЗТСЛ1ЬСТВО. ~ Й приВсдсннОЙ схсмс докзззтсльствз, как ВО Вссй тсории ОптиМЗЛЬНОГО УПРЗВЛСИИЯ, ОСНОВНУ1О РОЛЬ ИГРЗК)Т ДВЗ ЭЛСМСНТЗ: ВЗРИЗЦИИ Мзк1псйнз н тсорсмз Об Отдс:1нмОсти Вып~клых мнсоксстВ. Напомним, В ВарнацИОННОМ НСЧИСЛСНИИ Подобн~'10 РОЛЬ НГрЗЛИ ВарИЗЦНИ ЛЗГран1КЗ И ТСОРСМЗ О ВК:11ОЧСНИИ МИННМЗЛИ В ССМСЙСТВО ДОПУСТИМЫХ КРИВЫХ, 373 5 ДЙ1ОТ ЯСОбКОЛИМЫС УСЛОВИЯ ОЙТИМЗДЬЦ ЫРЬ ДОСТЗТОЧНЬ1С )СЛОВИЯ ОПТИМЙЛЬИОСТИ.
из 6 зйдй~ы ~32.47); «Х), «'=1,гИ, )О~Х, И)„~~Х, И), ХЕ Х, И Е У, дйффГРГИГ~Щ7~~014Ы ИО Х,' ~ ~Х, Р) =. Д(Х) + ~ ~р~'"' Ь,.~Х)„1 = 1.Р7~, ~;,(Х), Х б Л, АДЬЮ~%" 7К, ЧИО-ИГ7~~РРРЬЫИОР фуйЮ~ИИ М(~), 1 Е У, С)Мф!~фю"'... ГРЫВИИЯ ФЩИИРЛОРМА Х(1), Г ~"= Т. 1 ~= 7, И СООЛ76В'РЗСМВИОР~ЯИ РЩ2ЛГКРИОРЦ)~~~~.' В ЗйдйЧЕ (32.47), ЕСЛИ йййд)ЧИСИ 7ИЙКУЕ ЧМСДф-'~ О дйффС~ВИЦРЯмСИЛЯ фуйК1~ИЯ ~ф~1), 1 ~Е 7, ЧЩ~"," =0 КОТСЯ ~'СЛОВИ ~32.67):.:;"' 1 Ю7И1~Г РЩЗИГКУИОРМЙ (Ф )), ОХ -'::::--3 ~32.69~':::::',;:-;.:.~ ~0(и)). Р ~е~О, 1 1.
02.71)-':.;:.;~~ Ь,~Х(Г )) =О); ЧИСЛЗ ч Х,. =- О, ~ 1. -- ~~ =1,т,:."':,:;,,,":.: Я ~'32.69), ~32.7О). ЗММЙ К СООТВСТСТВУЮ$ПЗЯ::..!'",;„;:, Ц~я., +1,т) ~я/ у(~) =у~ (~)ЬФО, ~~:- 7"~. (32,9О) Б сймом Деле. любЙЯ кВЙДрйтийЯ мйтри$З® А уДОВлетВорЯет сВоему клроктернстическому урЙВнении (теОремВ ) ЙмильтОНЙ " )' Зли), т. е. А'+а„,А" + ...+а,А+ а~Е = О. (32.91) Ъ"мно~ким рйВенстВО (32.91) слеВЙ ий ~~" (1), спрйВЙ вЂ” ий Ь, получим ~~"'(.)А"Ь+ а.,~р" (~)А" 'Ь+ ...
+ а,~" (Г)АЬ + а„~" (1)Ь = О. «32.9 ) (,". учетом (32.87) длЯ функции у(~) (32,9О) имеем: Мл) =- -Ч' (м)АЬ, Г~'М = М' Й)А'Ь, ...., у'""(~) =(-1)" ' ~' йА'Ь, (32.93) (Яким Обрйзом, урйВнение (32,92) примет Вид, Однородно~о диффереи- ЛИЙЛЬНОГО УРЙВНЕНИЯ И-ГО ПОРЯДКЙ (-1) у'"'И ~ а„,(-1)" 'у' "(~)+ ...— а,у(~)+ а у(г) =О. (32.94) 1-1 Йчйльиь~с услОВНЯ Длл нсГО след~~от из (32.88), (32.9О)„(32.93); у(~~) = д'Ь, ~(~~) =- -а"АЬ, ..., у~' "(~~) = (-1)" 'Х4' 'Ь. (32.95) 11ри Выполнении услоВиЯ (32,84) при либом й';йО срсДи чисел И'Ь, ;~АЬ, ...„дА" 'Ь нййдутсЯ ненулеВые, которис ГЙрзнтируит Выполнеиие услОВНЯ ('32,9О), Допустим. что проГрйммй ~" (ф 1 ~ 7", удоВлетВоряет услоВНГО мйксимумй (32.86).
т. е. суптестлует тйкой ненулеВой Вектор 1„что с функцией (32 88) ВьпколнЯетсЯ услОВие (Зх.86), из кОтороГО следует, что про1рйммЙ и'(г) --ЯРм:,~'(~)Ь, г Я Х', (32,96) псрсВодит трйектори~о я (1), 1 Г. 7, В момент ~' В ийчйло координйт; .т (~')=О. ((редполо~ким, что с)чйестВует друтйя проГрйммй й(1], 1 ~ (О, 7'~, ТВ- кйя, что х(1 ) = О, 1 <. 1, причем м(1), Г 6.' (0„7~, удоВлетВОряет услОВик~ максимума, т.е. й(~)=-ьщпу~ ( )Ь, Ге~О„Г~, Где ф (~)=-аТ(7)Г '(~), ~Г=7'. д'~-О, Поскольку х" Р') =- О„то ий формулы Кони (32.89) следует 0 О.-: Г(~") = Ю")т„~ 1 Р(~ )Г'[~1Ьи'~г)М ~1»') ':.-:: Х = (х ~ К': Ь (х) < О, » =-1,»»», »»,(х) = О, » = »»», +1,»»»», (32.10() св<1зв»см фуикпи»О 1 амильтОБЗ-110итряГИБЗ И(х. 11», и) =- у'~ (х, »») + ~ра,~,.„(х„и), х к Л", »» в ~»„~р е К", 11» < О, 110.1стааим фупкциГО (32,103) в уравнение (32.100) и в сопряжениу10 <110Гему 1,'» =- -дй,»Ъ, в Резупвтзте чеГО ИОпучим систему иа 2й диффе- Р01111ИЗ»1Ы1ЫК у РЗВИений ОЛ(Х, Ц».
»»(Х. 14)), ».Г» (Х, 11», »»(Х. 1~)) С~(» ОХ КОГ00) ГО иааывзГОГ е-е»»с»»»ея»»»Й. ДОбавим к системе (32.105) следуип1ие краевые условна (см теО- р:му 32.4) х(0) =х,, 1Р(» ) = --). ' — ~~1, ', (32.106) дх,...~ Г»х к»,1 <О, )., 20, » =0„»»»,; ),,А,(х(1 )) =-:0„» =-),»»»1 1 Х": ~ О. (32.107) СООп1001011БЯ (32,105)-(32,107) из1ывзГОт кф~йв»»й зйдйч~й »»ра»»цила .Бам:и.1»ума и»»»жрягина. Функци10»»(») = и(х(»), ц»(1))„ »»:.
°, ИОстрОениу10 п0 ~с1пеии10 х(»), 1ф(»), » е Т, крзевОЙ задачи, иззО" всм ткс»»»рен1кта»0,Ц»»»»»»»рва»»»»»1, Еспи Ба иекОТОРОМ прОме1кутке»т»= 'Г ~1. уикпиЯ в(1), » с 7 „ОГ»реаепветсЯ из (32.104) иеОднОтизчБО, ТО ГОЗОРЯТ, '1ГО к»»р»»аляюи~ее»»падеис»»16ие из»КГОМ участке»»юуле.
Из щ1инципа максимума ПОитряГинз слс»тует, чтО краевая задача Г»РИ»И1ипа максимума всеГла имеет ~е1пеиие, сели существует ОптимзльизЯ п~ОГР;1ммз аалз~1и (32.99)-(32.(0 )„т. е, Оптимзльиу»О прО- Г,'~амму ну~ки0 искатв с,"й:зи зкстрсма»1е11 ПГ»итрявииз. Еспи искОлиая задача (32.99) — (32,102) имеет ре1пение, а зкстремзль ПонтрЯгииа е'1иистве11иая, тО Оиз явпяе»ся ОГ»тималвнОЙ ИРОГрзммОЙ.
В тОм спучае, КОГПЗ приипип максимума явпяется и дОстзтОчиым услОвием Опти" ма»1КИОсти, пОстрОенизя зкстремзлк 110итряГинз яваяется Оптимзпы1ОЙ И~01 РЗММОИ'. х, =" х,, х-, =-и; х,(О) =-1„х,(О) =О„ (32. $; О„м(~) к: У вЂ” «м с й; «и К 11, ~ а У' = (О, В йсй мйО:ксстзО скОРОстсй ~(х» «.~)=«~к ,1 = „1(х» и), «М1< 1) — ВьГ1укльЯЙ кОмйзкт «рйс. 3 ЗЗЛЗЧЗ ЙМССТ РСШСНЙС, Прййййй максимумз дЛя зздзйй (32.108) — кр Рйй ОЙТйМЗЛьйОСТй ЙРОТРЗММЬК Т:ЛсдОЗЗТСЛЬЙО, КЗ ЭКСТОСМЗЛЬ ПОНТ«ЪЯИ1ЙЗ вЂ” ОЙТЙМЗЛЬЙЗЯ ЙРОГРЗММЗ, ГЗМЙЛЬТОННЗЙ ЙМССТ ЗЙД Н = ф~х~ + Я~»Р .
ИЯ У ЛОВИЯ МЗКСЙМ)~МЗ Я7 рь»(~К ) = Й)ЗХ ф»й, 1 Р « ~ 1, х, = х„х, = 1; у, = О„~К, =- --Я~,, если у,, > О; х~ =х2, х~ ~ -1; ф1=О, ф» — м~» сслй ~К» <О1 х, =х, х,- ~(-1; Ц, ф, =О, ф.„=-яу,, еслй у, =О, (32.116)! АЛЯМИ х, (О) = 1, хх(О) =- О„х, (~ ) =- х~ (г ) =- О„ (32.И';$ф ц~~(1 ) = С~» ~фр(1 ) = С~» С» + С~ = и Ф' О» СЛСЛУСТ «1~~(1) ='(л, ~ф»(1) = -С~(1 — 1 )+Г2» 1 б Т. Ф~ЙКЦ11~'.; С ООЛСС ОДНОГО й) ЛЯ. ПУСТЬ ~, — СС Й~ЛЬ» (., < О, С, > О, ЪКфф4 у~(1) > О, 1 б«1~, 1 ), И В СЙЛУ (32.105) к-СЙСТСМЗ ЛРЙМ4~-,'-::: 1 раничные условия (32.111) Остакттся Й Вдесь справедливыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
