Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации (1050542), страница 18
Текст из файла (страница 18)
О«3ру3«сййе фуйл3мсйт3 11ОД6ОАк3 ИВГЙстр36ьй«лх л««ййй ЗЛСКтрб-, ГВЗО- Й ВОЛО~.'НВО3«СНЙВ Г М«Й«т3ж Вертйкальйых стем и псрскрь«тйй .'1 ~ «.'ООруй«еййе крОВЛЙ 1" 1 ~ КЛВЯК3 ЛОЛОВ ж ~ рьт3НО633 лВсрей й ОВОЙ М«3««т33«3лсктРО««РОВОлкй ~ 1«1ОЙТВ'к с««стем ОВОллсйй6, ЙОВО Й «3ОСЙВ ~ Ъ СТВБОВКВ СВЙХСКЙНКЙ й «33ОВЬ«Х ЙЛЙТ ~ О «ЬЯСЛОЙЙЬ«С Д36ОТЫ 10 61 ЛХИВ.~~~~~»1нн~с ВВРВВийОййыс тйдйнй, ДОНУстийь~с ф~нЯции ,1ГГ х ~1н, Ь1, ЯВДЯГОтсЯ нспрсрыВИО Диффсрсниирусмь~ми ~~-ВВВторф~,'ПЕНИЯМИ, ГДС ай) = д,, ~:ф) = 4~,. д,, й~ Г- Й 'Й ДВИНОЙ ГЛВВС ИЗЛВГВКГГСЯ МСТОДК РСБМНКЯ ОСНОВНОЙ ЗЗДВНИ ВЗ- рНДННОННОГО ИСЧИСЛСНИЯ. ОНИ ДОПуСНВй~ СООТВСТСТВу~ОГцСС ОбобГДСНИС ИВ псрсннслсниГлс ВВдВни 1-6. Исйоторь~с рсзультВты длЯ ОбОЙцснийЯ Зд.яЧ ВВрИВНИОННОГО НСНИСЛСНИя будуТ ПОЛУЧВНЫ В ГЛ, 8.
Гдо  — ЧИСЛО. В ПрСЛСТВВЛСНИИ (29.11 НСТрудио ЗВМВТИТЬ ВНЙЛОГИЮ С П13СДСТВВЛСНИСМ ЛХ = К, ПРИНЯТЫМ В НСЛИНВЙНОМ ПрОГрВЧМИроВВНИИ, Г С. В ~29.1) фуНКНИЯ Ь(Х), Х С ~а, Ь), ИГрает РОЛЬ НВПрВВЛСНИЯ ДВИаЕ- ФуиЯЗФЯ ф,х), х е(й, 61, Изо~~раа'е1аьзЯ иа рие, 29.3, удОВлетВОрЯ- -(3~ .~чавюо 1фх)Их=О ~ивино взять фут.био,д('х), х ь (а, Ь), вида Рис. Л~,З (Х"-Х;+В) (Х вЂ” Х вЂ” б), Хб(Х~ ""Е.Х +В)„ -(х — х + с) (х — х, --а)~, ха~ха -с, х, +е), О в Оетальиык точкак Отрезка 1а, 61) 1цх~~~х)~6 = 1 ь~х1д~тй~ к 1 ь~х)~(х)а!к>0. -ко иротиворечит равеиетву (29.10).
~ Сйраведливо следук)В~ее утвер5клеиие. '1 еорезаа 29.2. Ай~дйа еааойа х~«вии~~ь у (х)„х ~~~х, Ь1, Оейойиои з~дйли ай~й~~виоиао,~о иечмеаеиая яааяе~й~;я ~~еи~еиием урааиеййя Эйлера Н-(Х„ У. У,) И В'(Х„ У, У„) Ъ ~А ф' Докозз~иеаье~~~ео. Иитегрируа ио ~ьзетаь~ первое еватаемое В «29.8) и иеиоаьзуа евойствО Цй) = 6(6) = О Вариации Й(х), хе(й, Ь), из (29.8) иолучаем 11римеиив лемм,г 29.1 к Выразкеиивз (29.13), приходим к Вьпиду, лто ка:клав еааоаЯ мниималь задаий (28.3) удовлетворает интетральиоК1у уравиеиикз аъ„ В ТО«К1(ССТВС., КОТОРОС 1ТОЛ«Н11СТСЯ И.1 УПЗВНС11ИЯ (29.14) 110СЛС П стзнОВки В нсГО фУнк1(ии у (х1. х В (1 а, Ь1, 11~БББЯ чзс1'ь нспрсрь1 ДИффСРСНГ(ИРУСМЗ НО Х, (.ЛСДОВЗТСЛ1 НО, И ЛСВ11А '11«С ГЬ ИМССТ ИС .Д ~1ЫВН~10 Г«РОИЗБОДНУ«0 ПО Х, Т. С.
ВДОЛЬ СЛЗ1«К«Й МИН11МЗЛИ х б (а, Ь), су«цсстВ)ст и нспрс1«ыВЙБ п~ОН'1Б«1тн1«я а' Г::1Г(Х, «'. «:,) (Л а«Х Г«=' . ЗзмсГим, чт0 ВЛОль прОНЗВОльнОЙ ЛОпъстимОЙ к(«НВОЙ «"(х)„х е (а„$ фуНКЦИЯ (29.151 МОМУ 6ЫТЬ ИЛИ 11С ОГ«РСДСЛСНЗ, 1Ь«И 1ГС ПРИНБДЛСВ( клБсс)' 1'; нз 1 а,. Ь 1 .
ВЗЯВ Г(РОИЗВОДНУ«0 ПО Х ОТ ТО«КДССТБЗ (29.14) ВДОЛЬ МИНИМ У (х), х ~ (а, Ь), пОлучим дмффс~м'ицййльиас Яиынсйис ЗЙФ Р9,12), ~ УРБВНСНИС ЭЙЛСРЗ (29.12) Б ПГ«ДР(1611011 ЗЗ11ИСН ИМССТ СЛСДУ10 ВИД: ЙЬ(х. у, ~„) дЯ'х., у, у,) г:"2«Т,х, у, 1',) д,х'(х, у, у,) <";Т'„' фд~~, ' 1 К~~,', Г1Х т, с.
при у(х) е (., „х Б(а, Ь1, Б нсОс000м случБс (Р Р 1Ру„. Ф О) УГО ЛИНСЙН1«С ДИффСРСНГ(ИЗЛЫ10С )7ЗВНСИ«1С ВТО)101 О ПОРЯДКЗ О.П10СИТСЛЬ функпии «"(х), х Б.(а, Ь). 01«1лсс Рс111с11нс у(х, с,, с.) тзких «"Рзййс ТЗВИСИТ ОГ ДВУХ П11ОИЗВОЛЬНЫК ПОСТОЯННЫХ С,, Г,. 1ЗКИМ 06РЗЗОМ„ОСНОВНЗЯ ЗБДЗНЗ ВЗРИЗ11ИОННОГ0 ИСЧИСЛСЙНф~ф ИМСК«11(ЗЯ РС1ПСНИС, МСП««ДОМ ВЗ(ЪИЗ((11Й СВСЛЗСЬ (РС,;1) 1(ИРОВЗЛЗСЬ) К йф~ф ИСК)' ДВУХ ПОСТОЯННЫХ ~"~, С1, УДОВЛСТВОРЯ10(1(ИК РЗВСНСТВЗМ )(а.с,.с,) = Ф,, «(Ь с,.с.)=А, КОТОРЫС ВЫТСКЗКГГ ИЗ ОП~СДСЛСИИЯ ДОПЪСТИМОЙ КРИВОЙ (Г(а)=41,:-':-'4 у(Ь) = ~7 ).
Замсчайае 29.1. ДДЯ БыБОдз днффсрснт1нзльн01Х1 урзБнс11ИЯ Эймс(з(~~~~ В ВЗРИЗЦИОННОМ ИСЧИСЛСНИИ ТЗ«ОКС ИСПОЛЬЗУСТСЯ СЛСДУК«11(ИЙ 1«СЗУЛЬТВТ.' Лсм(из 29.2 (ЛБ1 РБИ1кз). Есла ~1аас1а 1иза а(х)6(х)~й =- О Вых10л11Яса1сл Длл йс1Ч1ф1МВлай 1Р«йк111~1~ Фх).
х з (а, Ь), а Бссх Ва~лха1(т(ф~,: Ь(х). х«;-(а, Ь) „и10 а(х) =О, хг ~а, Ь), 3411 а о е д~(~ У 1~) У~~Й1~ : Х А-„-- р д ) р Л" ~Х ~' ~Х)» ~~ (Х)1 ! (, '. $"', + Р', ~ 1 -" О. ВЬф~йМХйй6 У(1 ~ Р„) -'= С ЯВЛЯС'ЫЯ ЛФ~ВЫМ йй701~3ЛОМ ЯЗВВмыл '.эйлера: — (уД ~ у, 1) =- у, ~'1 ~ у,"' ~ 2уу„) = О.
1Ь ВЬЦММСКМЯ 1К~В01О ИКРЙЦЯЛЙ ЛИСЬЕМ ~'„=' ЩС- ~)-" ~'. ЛОД~ИЙОЙКЙ ":"'"5',й" 0~'2~ Й~КЬВДИ7 Ь Ъ~ййй~ййЮ й~ = ~.-~10 ~~~'2)Й =- С(1--СОЕК)4Й/'2, ОТК~ЛЙ : "~ +<.~1 — ~~1)~'2. ~ =~-.~1-~~Я~)/2, П~~~~~й~~~~~ й~~~~ййй~~ ~, ~, ~~бй~й~~~й ~"' ~'."~~~й~, й~й ~~~ййй~ ~(~1, ~~~О, 6~, ~~~~~~й~ ~~ф1~ йй~~~й ~~й~~ййй~ й ~йй~~'В, ~ 'М-~7~;Я~ Б П)~СЛМДЪ'|ЦСМ ПЗРЗГРЗфС МСТОДОМ ВЗРИЗЦИЙ ПОЛУНСНМ НСОбКОДИМЬ10 УСЛОВИЯ СЛЗ00$ 0 МИНИМУМЗ ПСРВОГО ПОРЯДКЗ, ОСНОВЗННЬГС НЗ НСЛ~ДОВЗНИИ ПСРВОЙ ВЗ~~НЗЦИИ ф)'НКЦИОНЗЛЗ ОСНОВНОЙ ЗЗДЗЧН ВЗРИЗЦИПНПОГО НСННСЛСНПЯ, НОВЬЫ НСООХОДИМЫС "ТСЛОВИЯ СЛЗООГО МИНИМУМЗ, 3 ,~,П;.ГКС ДОСТЗТОПНЫС УСЛОВИЯ СЛЗбОГО МИНИМ)МЗ ПОЛУНЗ~ОТСЯ ПРН ИССЛСЛ~'-В'2КИН МСТОДОМ ВЗРИЗЦНЙ ВТОРОЙ ВЗ~ЪНЗЦЙН фУНКЦИОНЗЛЗ, В ДЗННОМ П,.:ПЗГРЗфС ИЭЛЗГЗЮТСЯ НСКОТОРЫС КЛЗСОИЧССКИС УСЛОВИЯ СЛЗ6ОГО МИНИМУМЗ ВТОРОГО ПОРЯДКЗ.
О тк'(х, ~'(х), у (х)) . .=.' Г(х, у(х), у,(х)) дУ ОИ~~-* д Г(х, у(х)„у„.(х)) (30 ЗЗДЗЧЗ МННИМИЗЗЦИИ ВТОРОЙ ВЗ)~ИЗЦИН (30.2) НЗ ВЗРИЗЦИЯХ :~:~ х), х ~ ~П„Р) ВДОЛЬ ДОПУСТИМОЙ КРИВОЙ у(х) х б ~й„Ь) НЗЗМВЗСТСЯ Щ~йС~~СдМНСННОЙ ТЛдЗЧСЙ О .НИНННуНС (СООТВСТСГВУ~ОГЦСЙ ДОПУСТИМОЙ ~'Р!паяй у(х), х т- ~а, О) ). БОскОльку 6'.1(у~, л) > О нз Всск Взризцияк 6(х), х ~ (а, О) ТСОРСМУ 29.1), ТО ПРИСОСДИНСННЗЯ ЗЗДЗЧЗ О МИНИМУМС ВДОЛЬ СЛЗбОЙ мппнмзлн Г (х). х с ~й, Ь)., ВссГдз имсст РсГпсннс 6 (х) ж О, х ~е ~й, Ь)„ П~НП!СМ 6',У(у', Ь ) = О. У~ЗВНСНЙС ЭЙЛС)~З Вторая вариация о .У(У, Ж) (30.2) с учетом (30,6), (30.7) равиа Ь'.Цу», А~) ~ в~(х, Йх).
Ь,~х)~й. (30.8) гдс ",) (х, Ь, Ь,) — в1ъ1ражвнис (30.)) вдоль допустимой кривой ~-' (х), ,т;=. (а, 6), В силу (30.5) и ивлрерывиости фуикции д"Р(х, У~„У",)/ду„', л " '," а, Я),, йайдстсв тавот достаточио малов ийсдо с > 0 „что о ~ (у у (.т) у,(т)) ЯУ" 'Готда иа (30.5) — (30.7) видио (рис. 30.2), что в выражении 5 .~(У~„Ь) ври .4аль$х 6 > 0 слатасмос . оиру у(т) у(т)) Х 6 Отличныч От Нуля Йоотояйным ь4ноя(йтолс~4 и, слсдоВзтольио, оорй ЮТСЯ В Н~ЛЬ ОДНОВРСМСННО. Г ОВОрят, что Вдоль допустимОЙ крнВОЙ $'( х),,х ~ (м„Ь), то я я-1о, Ь) оопря~койВ о точкой о, Воли о~о~еотВует -тВкое йотрйВйяльф)~ Ронтойио 6(Я) ~ Ь( т, ~, ~) ~ О, ~ ~ ~о, О(.
~" — ВРОНВВОльйВЯ ноотоЯйй~~ ураннейнЯ Якоби (30,4)„что Ь(а) = О, Ь(х ) = О, ;.Ф' 'ГВорВ~ЯВ 30.2 (Якоби). ВдоЯь В~~о~:обой ~~~йн~ь~н ~:"(~), .т Я;(о,:6~~~ 4 иВ ски~осФНВМ~Втн мочГк х м)~о, Ь~, а'оиря.,кРйиых о Мочкой о. ДОАИЗИРНСЛЬСРПВО. РЗОО~)КДВФМ ОТ ОЙОТНВНОГО: ВДОЛЬ яе1о, Ь), Оу~цоотйу~т точкВ У ~1~„Ь( „оонря~коййВя о точкой о. ИУЩф Ь (Я) ЯО, Яе(о, Ь~, — ооотВотстВуюиоо Ропонйе урВВнсййЯ Якофф (ЗО.4) (рис, 30 3), Ясио, что 1 ~О1 ° РОЗ ~1 1~ ~,и(О гь„,~ '~ л„,1 1;,-ким Об()азом,. Вариаций (30.10) -- Резак",ние приеоедииеииой задачи О ~,~ ЧИИМ'ъ'МЕ, (.'Оотиои~ение (30.0) имеете е Ь~,(х. + О) = 0 Означает„что ВариаииЯ (',::.3.~0) 6 ТОчке х=-х имеет излом. (лелОВВтельио„ири х.=х дол~кио ,,:,„"~ ..л НЯтьеЯ ~елоаие Вейер~итраееа — Эрдмаиа (.".9.17) ~'У (х, у"(х), у",.(х)) — а Р'(х, у (х), у,(х)) 1 а Дх, у"'(х), у,(х)) -. д Цх, у (х), 1,'(',х)) 11оекольку Д-'~(х, у'(х)„у„"'(х))/Гф" ,>О, х з~а, О(, «зкатремаль у'(х), :: =-:,'а.
Ь1, иеоеобаЯ) и й(х - О) = Ь(х + О) = О, и, (х + О) =- О, то из (30.11) иотучим раиеиотаа й,(хх+О) =-О, Ь,(х -О) =О, протиаоречащие тому, 'ио У вЂ” точка излОма Вариации (30 10). Зяи~.чяй~~ 30.7. Получеииые Вьиие необкодимь~е уелоаия оитима,'.ьноети (Эйлера, Ле~кайдра — Елебма, ЯкОби) ие яВАяются В От- льиОети доотаточнь$ми )'елОВиями слабого минимума, Достаточные ' слоийя Оитимальйооз и дает след"~'иицее ~ тзерФдсиие. 1 еорема 36.3. т'схй дойч.'Яикам(2Я А/~иВЙЯ к(х), х б 1О, 61: 1 ) Я6."УЮРлсЯ зкс1ЩУсмйльк~; ) ~.*дойлемКОРЯГм Рл4лГййо иу ~ сАОЯйм Люйхл~д)зй — Ьлсбшй, мн. с, ~."д-*'~ ~ь й~'.Г ямйОФйяеРлся йГриксйсР7КО ~' Р'(х, И(х), ~'„(х)) у,' ~) Кд~~х~'й~~~ъЯа.й~ ~."й,~ййо.ик у~,"Яокйй~ Якорей, ~й.
е. Ядохь з~иой ".; -Якой йк с:.1яйе~.'й~уегй ~йоч~;. Из )~, Ь) „~ойряткеййь~х е Язвочкой х = О „ ОЯР Яйла Фй. Я Оълюй .мийй.иййью ООЙОВЯОЙ зодЯчи ЯЙРМОЦЙОййОГО ~''ЧЯС'. Еййи, 11 УРВВкскис "К$лсРВ ллЯ Оассйат0йллс~~ОЙ Яллакй ййсс3 Вйл,;,~„:= т.. ~)~~~~ф)~1,: Рсь$скиЯ лтОЛО УРалйсййЯ вЂ” есмсйстл0 фУйкийй ~4х1 '= м +~'.Я 1 ~.:,„х с ф 11. Эис лжм~лыО„УЛОВлст ЯООЯйййсй Грамйййым Уе..К ~ВИЛИ л 11):-' 1111 ' ' 0 'ВВЕЛ стсЯ ЯРЙЬВЯ ~1Я1- х "х, Я 010, 11. Влйль ттОЙ 'зксттк!Иилй ВЯЙОлиЯссОЯ УСИффЯ,;, -'., ЙОс УслОВйс Лс:каклРЯ вЂ” 'илс6:йа: ~"*1-'.: бУ," --- 12:> 11. 11РОЯВРйй У<ЯОВйе ЯВФ~~;,.Дф1:-:1 'ПОСО ЪЯИИИЫИ УОВВКСЙЙс ЯИ06Й: Ь„„"=- О.
ЬГО 06Й~С РВИЯСцКВ Ь1Я1=е,Я+С,, х~1О„Ц, УслОайс лф1=0 лает е„. =11, т с ЙукОЙ КРИВыЯ л(л)~ур ЙРЙ е, и О Йи~ лс ЙВ Отметке 10„1) В к~:.лл йс 06РВ1йастсЯ, И1~0.лс тОкки Я =- 11, 7ВВЯф 06РЯЯОЯИ ьыйОлксйО ссйлсййОс УслОВйс ЯКО1кк СЯСЛОВзтел ькО, йа лксхрсьйдй И1х) = х "х, х б10, 11, лаййьи1 ф~кийибкал лООттй Вст ела60ЛО миййЯЯ~ЙВ; 1. Еайее. ГЛ. Лскййй ЙО ВЯРКВКИОИЙОИУ йсийелсййй~ 1". А, Блйсс,— М.: НЛ, 1950, 2.
Г~,~аф0йд, И М ВВРйлийОЙКОс искйслскйе,''11. М. 1"слкфайл., С, В. ФОййк, - М.:: Фкзматлйт, 1961. 3.. ла~;.Олац. Л Э ВЛРЙЯЙЙОЙКОс йсййелсййс. — 11тл. ~-с„стсРсОт.: Л, ',), 'Элкс0)льй.- М.: УРСС, 2008. Из физичсскОЙ пОстзнОВки задачи следукзт услОВия нз полФкфф~~~~ хй) и скорост~ х(1) =~А(1)~'й теле.кки В изчзлнныЙ (Г =-О) и коййчфффф'::;:,'~: (~ = г" ) моменты Времени: х(О) = Ст, х(()) = ~:„; хР') -,- 13, х(~') = ~;, (31 21:-:.::;.' Г10 предполО®енино, Отрзничсны знзчсниЯ прилзсзсмОЙ к теле~®ф::.::! 'иф~<1, ~:-1(), ~ ~.
(31,.З).-.'. В пераык постзпОВкзк задач Оптимзлниото упрзВления инженФрц..: допускали законы н(1), Г > О, из~~нени~ силы и., ОписыВземые кусОчй~--; нспрерывными функциями м(~)„~ ~10, ~ 1. Таким 06рззОм. мзтемзтичсскыЯ мОдель рзссмзтриВземОЙ зйдйчй ' сост Оит В поиске тзкнк момента 1 и кусдчнО-непрерыВНОЙ фунЩкй. й (ф 1 ~1(), 1 1, стесненной От)ззничепием (31.3)„длЯ которык йй'ОО-. ОтВстстВУ~Оптсм реп~енин х (~), 1 ~~0, т ''1, ) 1тзВНСННЯ (31.1) Выполйж-.': кпсЯ крзсаые )'слОВНЯ (31.2) и минимзлыи проддлгкительность 1 .пе ФЗ РЕХОДНОГО ПРОЦСССЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
