Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В., Калинин А.И., Крахотко В.В., Павлёнок Н.С. - Методы оптимизации (1050542), страница 22
Текст из файла (страница 22)
СлелОВзтсльй0, крзеззя зздзйз йрийцийз мзкеймумз Имеет тзкОЙ Вяе Вид, кзк и для зздзчй 132.1231 йрймерз 32.$, з зцзчйт, 6ълет тзким же и фзтОВый ООртрет к-еие Гемы, ЯОтОрый йтОбрз;кеи йз рис, ~2,1". 1ИО зйзлйз ГОЯВОляет слелзть сле- ЛУУЗШИЕ ВЫВОЗЫ, Луста прй аалаппом х„а)ъсма перекопа В йачало коорлййат раайо Р (соотаетстк'.:1оп1ак фааоааа траекторйа к -сйстемм АО прй х, > () йаобра~кейа йа рйс, 32.12). .:, 1, ао ре~пеййе аадачй (32.141) суй~стаует (ВВЯ х„> 0 оптймалайаЯ про- ~ рамма раайа и (11 В -1.
1 В Т, соотаетстаукйоаЯ фааОВВЯ траекторйЯ ВС Я- ,,исксмы йаобра)кена на рйс. 32.12; ВВЯ ха <О имеем и'(~) В1, ~ В 7). Ест 1 >1 „ йскояйая аааача йс ймест реп1сййя, посколаку йе су~пестаует рео~еййя краеаой аадачй со саойстаом ~~(~ ) ж 0 . )3 послслйем случае постройм обоб|псййос ре~оеййе, длЯ чето рассмотрйм 1Я,В1пйреййу® зайачу (лла простотм с ~йтаем, что 1ха1< 1, х, ~ О ): Ли) = —, ~ (х (~)+ й" (~))~Й -+ амп, х = й"„х((1):= ха„ 2 (32,142) ;зе и( ) = (ипо — иип)а(~) + и'"'. ипп =1, ипп =-1, 0" а(~) ~1, ~ В T. Запача 132.142) полйостыо соапйкает с аадачей (32 139). Все услоайЯ теорема~ с~~сстаоааййа 3,'..1 Вмполйейм — рсп~еййс задачй (32,142) суп1естаует. Прййпйп максимума длЯ йес — крйтерйй оптймадьйостй.
Решсййа задач (32.139) и (32.142) соапааа~от. Еслй ~ха ~<1, ха ~0, ао, как следует йа прймсра 32.12, В (1) ж - и(МО)) = Ч Ф, Г В 7", т. е. 2о (~) -1 =- К(ю), ~ а У' „откуда получаем о (1) = (~)ф)+1~»2„1 В T, ) -. (1 )4стоа построеййя мййймйайрукйпей послслоаателайостй для рассматрйааейой аапачй (3 .141) прйаедей В раап. 32.2. Такйм обрааом, В рассматрйааемой ааааче траекторйй мокнут лйбо соотаетст- ВОВВЯВ рслсййой программе, лйбо состоата йа Йу~, йа йачалийОЙ стакйй которме соотастстаукат релеййой про~ромме, а йа ааклкочйтслайой прелстааля~от скояаая'.Ийй) рсйкйм, Яйбо полйостъ~о предстаалай>т сколВВЯВ1йй ре~кйм.
Оринтир 1.'..)4. Рассмотрйм задачу Ли) =-) (и" (~) — х (1))ай -~ ппп, х = и; х(0) = ха, (32.143) и(~) В (/ -- (и . й: 1и1 ~ 1,', ~ а Т. (33.12) Б снлу интеГральной непрерывности реиеинй днфференнналвных уравненнй ллв достаточно малыв Ь ~ 0 нолучн~ ~; Лх~й) 1~ < К, А, ~ в ~6, 6 + Ь), К, > 0„ 'Ганн.н образо~~, нрн достаточно малыв Ь > О н~ее~~ оиенву :';1.Ххй)1~< КА, ~ ~ Т, К = дих,'К,„К,) >О, Следовательно, в формуле нрнрааения ~33.7) остаточный член в склу ~33,10), ~33.11) равен т~ =- МЬ), а сама формула нрнрмцення лриннмает Вид АУ(и' ) = — ~ л„,И(х ~1), ~р ~~), м' (О))Й+ а(т~) =. =-ЙЛ,Б(х"(6), ~р~(6), м~(0))+о,~Ь) <-Ьв, +а,~6). ~33.13) "16ОРВ~~В ЗЗЗ (А~.ВРЕВ~НВ~Й НРННЦИН М ТАГННУНВ).
П)О~~В дЛЛ .'НО- д4Х Х Н Л ВЫЛ~АЛО МНОМСГСР160 Т. Е ~~ОхМ+1)~~< А',~, К, >О, ЛРИДОЕТВТОЧНОМВЛИХ К>0. АНЗЛОГЙЧНО бУДСМ НМВТЬ Лх(6+ 2) = Дхф+1)„и" ф+ Ц) -Дх~(6+1)„м'(6+1)) = — А'Ф - 1) + 6 л 0+1) 6 = Я(х"~О+ 1), ио~О+1)) ф'~х~(6+1), и (6+1)) о, о дх ТВВН,Н О6РВЗО~Т, НОН ВСВ~ ЛООТВТОЧНО БАВЛЫ~ В >0 ОЛВДУЕГ ОЦЕНИВ !~ Лх(6+ 2),'~ < А „а„К, > О . АНЗЛОГИНН~К) ОНВНКУ ПОЛУЧИМ И ДЛЯ ООТВЛЬНЫХ 7 Е ~6+ 3, У1, Т Ф, Нрй ЛОСТВТОННО МЗЛЫХ 6 > О ОПРЗВВДЛИВО НОРВВСНОТВО !1'Лх~~)11< Ю, А" > О, ~е7 ~33.37) УЧСТОМ;:1ТОЙ 01ГСНЯК К РЗВС11СТВЗ (;11.16) 1ЦЪК)ЪЗ ПРНМСТ БКД А)(И ) ----СЛ,Б(Х" (О), 1Р1()), д'((1)) -- т) <-И~+ ОТС1Г1ДЗ В 011Л~~ (33.35) ДЛЯ ДОСТЗТОЧНО ЫЗЛЫЯ В > О ВСКСТВО ЛУ(Ь ) < О, КОТО)10С ПРОТНВО)1С 1КТ ОПТНЬЧЗЛЬНОС и (1 ), 1 ~:- 7 .
ПОЕЗФСМ, ЧТО ПРСДПОЛОФСНКС О ВЫГГУКЛОСТК МНГГКСС П(ССТВСННО. Гример 33.) РаымГГГрим задачу 1 (и) -- х,, (2) -+ й..1й, (х, .-1 1 Б зт0м лримсрс мйОжсст60 /(и, Г)) = ~, 1. 1 „11 ис ВьиГ~'АЛО. НЕТР)ЛИС ПРОВ~РИТЬ, ЧТО ПРОГРЗММ3 а'10) =. 1, м'(11.=-1 И СОСТИЕТСТйТЮй~~.', трЗситОРУЯ х~ (1) =1, х~ ('.) - 2'„хр(1) = О, хъ(. ) = 1 0пимзлм1Ь1. Оии ис ~лиЦЯ,." твОря$0т )'слОБию мзжсимумз. ДсйстВКГсльйО, Л(х, Ч~, й) = ~~ (х~ + з) + Ь~, (х~ + х~ ) „ ,2 «Р,(1-1) = ~Р,(1) 2~У~(1)Х,'(1): Ч,(1 — 1) = У„(й; У;(Ж вЂ” 1) = М,(1) -" О. У~(Ф -1) = ЧУ.(1) =- -1; У,(1)) =- -2, У,(О) --: -1, ) змильтакиав ГГ(х~(0), фО),и) =Ч~ (1))м==-2и.
и-::.(1, в тоис и =и((1).=1...: ЛОстиГзст ЙФ мзисимумз„з мийимумФ. С ПОЯВЛСННС1К К <~~РНЫЫ РЗДВйТКСЫ ВЫЧйСЛКТСЛЬКО11 ТСЯННЯК,: 6ОЛЬ(ПКС ПРККЛЗДНЫС 3ЗДЗЧК РСП(З10ТСЯ С ПОМОН(ЫО ~~ЯЗНОСТ11Ь1Я Ь1СТ6"'.":,, ДОВ. ПРИ ЭТОМ НСПОЛЬЗУСТСЯ ПСРСХОД ОТ НСГ1РСР(ъ1ВИЫХ ДККЗЬП1ЧССИЯ( СИСТСМ и ДКС1ГРС'ГНЫМ СКСТСЬЧЗЫ СПСПКЗЛЬН010 ВКДЗ, КОТОРЫС НЗЗОВСЬГ;, ИФЭКНСПРСРЫВНЫМК. ДМИ1ЬМПЧССЯУК1 СПСЯй."~$ НЗЗОВСЫ ЬЯ~1ЯМПЕК~1СРЫЯПОЙ, ССЛК СС ПО-:=:,': ВСДСННС ОПНСЫВЗСТСЯ УРЗВНСННС1К Х(Г + )1) = ('(Х((), и((), Ь). Хф) = Х„-„Г Е т =;(), П, .
Ь„.... 1 — Ь~, (.'»,38~:", В ЯОТОРОЫ Г = Ы7„А — ИЗТУ(1ЗЛЬНОС ЧИСЛО, фуКЬПКЯ / (Х, Р, Ь) ~': "Й Х 6 Л С: Й., У Е6 С.. Й,, Ь "' (), НСГ1РСРЫВИЗ ВМССГС С С у' ~ ОХ К 06ЛЗДВСТ, СЛСДУККПКМ СВОЙСТВОЫ (33.3) ) па'',' (1) ~~ < , О); :".'-<. , ио(6), Ь). , 1 (х' (О), ~, Ь) --> хо(О) прй":: -" ПРИЧВМ ДЛЯ ЛК160ГО В >О:,.:;:.";~ Ь~Ь~ТО (О+ 6) ~1 < в, 1им сл1еику ВПДз (33.44). получим 011еику (33.44), Йс.-.::,,'".;„$! (1).
и (1), Ь) ~< Е 1~Ах(1) ~~ В силу нсрзвеиствз (33.43)-:";;:., ), й1)+О(Ь) <-а. + О(Ь), ъ1 сЯ исрзвспство А7(и') < О, чм,;.,: 1и (1),1бТ. (х, и, 6), и б Ь'). Поскольку ,1(х~(6), ио(О), Ь) -+ х"(6) Ь -+ О, то Л,~(х~(6), и~(6), Ь) -+ Ьх(6) --. О СУЩЕСТВУЕТ ТЗКОЕ ЧИСЛО О, ЧТО КЗК ТОЛЬКО ~~ Лх(6+ Ь) .— Лх(О) ~1 = ~ А~ ВЗЯВ К, > О таким„что а —. К, Ь, полу ДлЯ 1 е,(6+ 2Ь, Л'Ь1 последОВзтельио пользуя условие Липи11щз ~~Ля(1+6)~~~- — -~~ Д(х(1), и (1), 6) — Ях~ Док~хзпРыАьсюим. Предположим, что теоремз исвериз„т.
е, суп1ест~, Вует тзкое Чиело Я. > О. что при лк160м сколв уводио мзлом Ь > О и~..~ Дутсв момент О = О(11) в 1 и вектор ~ = ~'(61) в У, Длв которых выполщ",, ЕТСЯ ИЕРЗВЕИСТВО Б(х (6), «11(О), и (О), 11) < И(х'(О). 1р(О), ~„Ь) — в., +о,(!~Лх(~ + О) ~~) я х(~), 1 б 7, иелрсрывиой дкиьмичйсОЯ!; звяя~оихих Воздейотвий Рзео,иотрим зйфф~ ) = фх(~ + О)) -+ спи, ~(х, и), х(--О)=хц, (33,45)::;:;, х(т — О) + фх(т — О), ь"(т) „6), , 1 ~7', йт) Е 1', ТС У~, птимзльнОЙ прОГрзммы тзеие жс, кзк .,ф': имзльизя щюГрзммз, х'(1).
1 е У ., — соот::- Я зскториЯ В зздзче (33,45), (м(.) „~~( ) ), хф„'"''!~ ооответотвующзя трзектория. ПолучйМ ФЯ кзчествз Зздзчи (33.45) В. в сф(х (Г +О)), а фх (Г + О)) =: — Лх(~ + О) + (33,46)::-;:-'':.'.:',: схр(х~(» + О)) 1.= у*(~ + О)Лх(~ + О). Введя обозкзче-'::;.';:- Л'„(х, ~, ~„Ь) = ~Р'фх, ~„6), ПОЛУЧИМ: ( — О), 1(( ), Ц вЂ” у~к~~ — О), и~~~ 1, Ц) =,::,"::;:,":;:.":,,~.:, . В (х (1 — О), ~уй + О), ~"(Г ), 6)+ у(Г ), Ь) — Лхр -О)-~о,(1~Лх(~ -О)~~)= Н (х (1 — О), ~(ф + О), м'"(1 )„Ь)+ г~„. 414 „'.ЬяйзяуиеяьсФзао, Предполо~кйм, что теорема неаерна, т. е, суиестВчет такое число 6. > О, что ири любом сколь Утодйо малом Ь > О наилстся момент О = О(Ь), для которого нарутпается либо услоаие (33.55), лиоо ~слоаие (33.56). Рассмотрим иарутаеиие У~~О~~~ (33,56).
Это Оаначает, что суй~стВтет Вектор а -- и(Ь) е ~У, для которого В~йолйяется иерааеистао Оричем Л", Йе зааисит От Ь. В сил~ сВОЙСТВа (33.54) и ЙерааейстВВ (3'.58) спрааедлиаа оцеика ~! Ьх(О+А+О)~~<~~Ля(6+ Ь-О) ~~+~~~(к(0+6 -О), ч (О+Ь), Ь)— — е(т~(6+6-О), ~ "(О+ Ь)„Ь)1,'< Аф, А-+О, К, = Е, +А>О, ЛХ(~) = ДХ(Г), Ь (~)) — ДХ"(Г)., а (~)), 11ЛХ(О+ 6-' ())',~< Л;,Ь, Лх(~+ 0) = Лх(1 — О) + фх(à — ()), У Й), ٠— фх (1 — О), Й (Г), Ь)„Г е Х В силу непрерь$ВЙОЙ ззансимОсеи репмнйй днфферснпйзльных:: урзаненйй От начальных услОВЙЙ нз каждом Отрезке' ~т, т+ 6~, т б 7, '~ 1, 7 > 6+ Ь, будст спрзаедлйаз опенка Вида (33.58).
В:- точкзк т ~ () этз Опенка спрзаедлйаз В сйлу сВОЙсз Вз (33,54). Таким Образом, для Остзточнь~к членОВ В фОрмуле прйрзпьения' (33.51) критериЯ кзчестаз 6удем Иметь и = О,.(6), (=1„2,3,5„Ц„=0, Ь -+ О, з фОрмулз (33.51) прймет Вид А7(И~, ~~) =-ЬЛ„Н (Х~(())„Ч(6), И'(()))+ О(Ь), Отс~из В силу (33.57) при достаточно мзльп» 6 > () получйм нерзаенстВО АУ(м, ~ )<-Ье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
