Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4.4.3. Д о к а з а т е л ь с т в о предоставляется читателю. Из формулы (15) видно, что доставляемый теоремой Нетер первый интеграл есть значение дифференциальной формы Пуанкаре — Картана «в=р«(х — Я«а1 на касательном векторном поле семейства (5 ). В качестве примера покажем, как из теоремы Нетер получаются интегралы энергии н импульса (п. 1.4.1). Если Е не зависит от 1, то функционал (8) инвариантен относительно преобразований (1, х)> (!+а, х) (проверьте!). Здесь Т= 1, Х = О, и потому ф = Š— Е„.х= — Я постоянна. Если же Е не зависит от одной из компонент вектора х, скажем от х», то функционал (8) инвариантен относительно преобразований (1, х)> (1, х+аг„) (проверьте!).
Здесь Т=О, Х=е„, и потому ф=Ь„е»=».„, Другие примеры применения теоремы Нетер будут приведены в следующем пункте. 4.4.7, Варнацнонный принцип и законы сохранения в механике. Рассмотрим систему из и материальных точек («частиц») с массами т„..., т„, «;=(х; у з') 407 радиус-вектор )-й точки. Для краткости полагаем д Г д а ~ Будем предполагать, что взаимодействие частиц между собой и с внешней средой описывается потенциальной энергией У (г, г), так что уравнения движения имеют вид т, г, = Р, = — дУ~дг;.
(() Кинетическая энергия системы определяется равенством К= — ',У', тг(г; ~ «,). (2) 1=1 Теорема (вариационный принцип Лаг- р а н ж а). Уравнения движения механической системы суть уравнения Эйлера вариационной задачи с, (3) 1Х,(е, г, г) Й ех(г, г(Г)=г', г((,)=1~, е=К вЂ” у. Доказательство. Из (1) и (2) имеем ы . в' вК н ду т,г, = — (т;г;) = — —.= — Е =Е, = —.
° т ' -' ж в~,. й "з г, дг; Значение этой теоремы выходит далеко за рамки той простейшей ситуации, которой мы ограничимся. Физики и механики очень часто описывают свойства системы, задавая непосредственно ее лагранжиан Е.
При этом К, У и А=К вЂ” У могут бьнь выражены не в декарто- вых, а в каких-то других координатах, в лагранжиан могут быть введены члены, описывающие магнитные нли гироскопические (не потенциальные) силы и т. д. Как только лагранжиан задан, уравнении Эйлера вариацион- ной задачи (3) определяют закон движения рассматри- ваемой системы. Варнационный подход удобен, в частности; возмож- ностью получения первых интегралов («законов сохра- иенияэ) при помощи теоремы Нетер. Мы проиллюстри- руем згу возможность на примере так называемых клас- сических интегралов: энергии, импульса и момента. аоа а) К о н с е р в а т и в н а я с и с т е м а: У не зависит от 1. Группа преобразований: (1, г)> (1+««, г).
Функция г( ): 11„1«1 К'" переходит при этом в функцию га( ): (1«+а, 1,+»х)- К«", га(1)=г(1 — а), Функционал (3) инварнантен: а+а К,«а Е, (га (1)» га (1)) Ы1 = $ Е (г (1 — й)» г (1 м)) Н1 «»+а а+а »» =~~(г(1) г(1))«(1- и Касательное векторное поле: Т=1, Я=О. Первый интеграл: а Г а »-х»;«,— (х»,;« — »~т»=1 '» ' »=» = — Х гп~(г, !г,)+К вЂ” У= — К вЂ” О. С=1 Следовательно, в консервативной системе полная энергия ж к-,-и . является первым интегралом («закон сохранения энергии»). б) Свободная частица: У не зависит от радиуса-вектора г„ одной из частиц. Группа преобразований: (1, г„..., г„, ..., г„)~ (1, г„..., гз+а1, ...„г„)„ где 1~ «(«произвольно. Иивариантность функционала (3) очевидна. Касательное векторное поле: т-а, Р=(Р„..., г,, ..., г„)=(О„..., 1, ..., б).
Первый интеграл: »р = ~~~, Ь; Р, = —.1 = т«(г« ~ 1), дГ« Так как 1 произвольно, то р =л««г«должно быть постоянно. Таким образом, если А-я частица не взаимодействует с остальной частью системы (не вносит вклада в потенциальную энергию), то ее импульс р«=т«г«сохраняется.
409 в) Внешние силы отсутствуют. Это означает, что У зависит только от разностей г, — г~ и Ь не меняется, если систему как единое твердое тело передвинуть в пространстве, т. е. сделать преооразование (1, г„) — (1, г, +а(, ..., г„+а(), где 1 — произвольный вектор. Здесь Т=О, Я=(1, ..., 1) и сохра- то Р= ~ п1;!.,=соне!. Г=! Итак, если силы только внутренние, то имеет место евакон сохранения полного имаильса сиоп!емьь. г) Вращательная симметрия: Узависиттолько от попарных расстояний !г! — гГ! между точками. Лагранжиан не меняется, если подвергнуть систему ортогональному преобразованию 6, так как Ь (6г;, 6г;) = К вЂ” У = 1 = 2 г' т!(6г!!6г!) — ~(!6г — 6гу!)= а=! 1 с~ 2~в !( !! !) (! ' l!) ~! (ортогональное преобразование не'меняет скалярных произведений и длин). Фиксируем вектор ы и рассмотрим группу преобразований, соответствующую равномерному вращению системы около начала координат с угловой скоростью в!.
Касательное векторное поле: Т=О, =(вх г„..., ахг„). Первый интеграл — 1Е! = ~~~~ т; (г! ! в Х г,) = ~ т; (г; Х г, ! ы). ! дг! 1=! Ввиду произвольности и должен сохраняться вектор мо- мента количеппва движения М = Х и!!г! х г!. с=! КОММЕНТАРИИ И ПУТЕВОДИТЕЛЬ ПО ЛИТЕРАТУРЕ Литература по теории экстремальных задач огромна. Не прет тендуя на полноту, мы ограничились здесь упоминанием лишь не. которых изначальных работ, основных монографий, учебников и обзорных статей. К главе 1.
й 1.1. История возникновения первых задач на максимум н минимум (помимо цитировавшейся книги Ван дер Вардена) изложена в [86[; о раннем этапе классического вариационного исчисления можно прочитать в [83) и [87]. Экстремальным свойствам круга и шара посвящена монография [21). Транспортная задача нс.
следовалась уже в работе Л. В. Канторовича [55) — первой работе по линейному программированию. Простейшие задачи автоматического регулирования были впервые исследованы Бушау [96]. Задача о быстродействии н ряд других подробно рассмотрены в основополагающей моюграфии Л, С. Понтрягина, В. Г, Болтянского, Р. В.
Гамкрелидзе н Е. Ф. Мищенко [12] и во многих других кни. гах по оптимальному управлению ([23], [27) и др.). 44 1.2 — 1.5. История принципа Лагранжа рассказана в статье [45), Этой же теме, но в рамках классического вариационного исчисления, посвящены работы [43), [44). Укажем еще несколько книг и статей, посвященных затронутым в эткх параграфах темам, и рассчитанных на широкого читателя: [71], [74), [76], [77], [115[. Основы классического вариационного исчисления изчожены в учебниках [2), [3), [8]. К главе 11.
5 2.1. Помимо упоминавшихся уже учебников по функциональному анализу, укажем на книги [92), [107) специальна ориентированные на «обслуживание» теории экстремальных задач. 5 2.2. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах (помимо [КФ)) изложено в учебниках [5), [56], [69) и монографиях [28), [54], [59). 5 2.3. Бесконечномерные варианты теоремы о неявной функции изложены в учебниках [5[, [56), [69).
Теорема п. 2.3.1 достаточно удобна для построения общей теории, ибо она содержит классическую теорему о неявной функции и теорему Люстерника о касательном пространстве и дает оценку отклонения от ядра отображения. Конструкции, использованные в доказательстве, фактически содержались в первоначальной работе [68] (см. также [69)). Другие доказательства н модификации см. в [54], [65]. $ 2.4. О днфференцируемости других важных конкретных функционалов см.
в [28), [59). 41! 4 2.6. Основы конечномерного выпуклого анализа были заложены Минковским [113], [114) и Фенхелем [101), )102). Выпуклый анализ в бесконечномерных пространствах был построен в шестидесятые годы в работах Бронстеда [95), А. Я. Дубовицкого н А. А. Милютина (46), Моро, Рокафеллара и др. Наиболее полный обзор конечномерной теории содержится в монографии Рокафеллара (81), а также (в части, касающейся лишь выпуклых множеств) в монографии Боннезена и Фенхеля )94). Бесконечномерная теория изложена в [16], [52), [54), (62], (79), (84). В самое последнее время делаются попытки создать синтетическое, «гладко-выпуклое» исчисление — см. )70), [99), [!18]. К главе П1. 9 3.2. Трудно сказать, кем впервые было доказано правило множителей Лагранжа для гладких коиечномерных задач с равенствами и неравенствами.
В некоторых американских работах дается ссылка на работу Валентайна )!20] н диссертацию Каруша [109]. Правило множителей для случая бесконечного числа неравенств было доказано Джоном (108]. Очень большую роль в этой тематике сыграла работа Куна и Таккера [111). Бесконечномерные варианты правила множителей изложены в [37], )39), [46], [54), [79), ]84).
$3.3..Линейное и выпуклое программирование очень широко представлено учебной и монографической литературой на русском языке: [38), [40], [41), [50], )57), [58], [67), (75], [76], [8Ц, [89], ]90). 9 3.4. Одной нз первых работ, посвященных необкодимым условиям дли задач с ограничениями типа неравенств, была [100]. Конечномерная теория прекрасно изложена з учебнике Хестенеса )106), см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
