Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 63
Текст из файла (страница 63)
При достаточно малом,б канонические экстремалн, определяемые условиями (3), образуют полоску вдоль графика В«д« (рнс. 39). Прн 1= Г« край этой полоски «вертикален» 395 и проектируется в точку А,е (1„х,). Условие (4), эквиэх валентное, как мы видели, равенству — с О, означает, что при 1=т в точке В,=(т, х(т), р(т)) полоска касается некоторого «вертикального» направления (т. е.
направления, параллельного плоскостям 1 сопз1, х=сопз(). Если мы спроектируем полоску в пространство (1, х), то мы получим пучок экстремалей, выходящий из точки А, (рис. 39), Около точки А,=(т, х(т)) отображение (1, )ч)— — (1, х(1, Х)) перестает быть взаимно однозначным («экстремали, бесконечно близкие к х( ) и имеющие с ней общее начало, пересекаются в А,»). Точка А, также называется сопряженной с А,, Упражнение. на сфере о»=((х, у,х)1хт+у«-).х»=д») дуги большого круга суть а«стоек»ли функционала данны Про»едем через тенаУ лей Оа НЕКОтОРЫФ бОЛЬШОй КРУГ, НайДИта На НЕМ ТОЧКУ, СО. нраыенную о Ае. Предложение 2.
Если на экстремали х( ): [1„(т1 - (т" выполнено усиленное условие Лежандра (1) и усйленное условие Якоби (полуинтервал (г„(т1 не содвржигп точек, сопряженных с 1»), то эту экстремаль можно вклгсчить в поле экстрамалей, покрываюи(ее некоторугс окрестность 0 ее ерагрика ((1, х(1))) 1»(1(Г»). Доказательство. А) Докажем сначала, что для достаточно малого б > О ни одна из точек отрезка [1„1,1 не будет сопряженной ни к одной точке 1;Е(1,— б, 1»).
В противном слуЧае существуют такие 1',"'- 1„1,'"' Е [1„1т1 и такие решения $'"'( ) уравнения Якоби (7), что $ш' (Р"') = $<»1 (4"') = О,ц„. (Пт) $'а> (у">) ~ О. Ввиду однородности уравнения можно положить ~$'т(1»ш')~=1. Переходя, если нужно, к подпоследовательности, мь1 можем считать, что 1',"'- 1; Е[1„1т1, 4'"'(11") т) ! т) 1 =1 При выполнении условия (1) уравнение Якобтг сводится к линейной системе (5), коэффициенты которой непрерывны на отрезке Ь =т [1„1»[, и задача Коши сначйльными условиями 5 (1() О, т((1~)-Е" (г~) $(1~)+Х;,(1~) й(1~) =Е "(1~) т) имеет -для нее решение ($(1), т)(1)), определенное иа 5 (п. 2.5.4). По теореме о непрерывной зависимости рецщ.
ния от начальных данных (п. 2,5.5) $ьо(г)- $(1) и ч'"'(1) 6.(1) $" (1)+Ьк(г) $" (1) ч(1) равномерно на Ь. Но тогда и $'"'(1) — $(1) равномерно иа Л. Далее, $ (1») = 1пп $ (4,"') = 1пп $оо (Г»"') = О. При этоы точки 1,=1пп 4"' и 1;=11ш1,'"' не могут совпадать, по. л в скольку в противном случае т) = $(1»)=О,-ибо ~на 1 ) $ (1') ) ~ '1 ф(п~ (1) $(1')~ »11 ~ ч ,р1 ии> о с- 1$ч"' — »э 11с+ шах ) $ (1) — ьв (1~) ) - О, и», с,'1 Так как $(1,) $(1;) О н Ц„(1;)$(1;)чьО, точка 1;Е(1„1Д сеяряжена 1, вопреки условию.
Б) Выберем 1;< 1, так, чтобы на ~1„МД не было точек, сопряженных с 1;. Построим семейство канониче. ских экстремалей (х(, Л), р(., Л)), заменив в (3) 1, на 1;. В силу предложения 1 де1 ~"„(т, р,) чьО, Ут Е~(„(Д. Определим отображение <р: С»- В х й' цилиндра С»= .1»,— 6, 1,+Ь~хВ(р„б) равенством~р(1, Л)=(т,х(1,Л)). В точках (т, р,), тЕ(1„1„1 его якобиан бе1Ч'=де11 )=де1х».,ьо, ~хс кх р и мы можем выбрать 5 так, чтобы это неравенство' со- хранилось во всех точках С». Кроме того, по теореме об обратном отображении (и.
2.3,4) у каждой точки (т, р,) найдется окрестность 0„ которую ~р взаимно однозначно отоб ажает на Яг,=<р(У,) и Ч-'ЕС'(М7,). К окажем, что йри достаточно малом б отображение Ч взаимно однозначно на всем С». Если это не так, то сушествуют две последовательности (1„', Л„'), (г'„, Л„) такие, что Л„' р„Л,",- р, н (1„', х(1„'. Л„')) ф(1„', Л„')=~р(1„', Л"„)= =(1„, х(1„, Л"„)). Отсюда 1„'=1"„ Переходя к подпоследовательностн, мы можем считать, что („' 1'„'- г.
При достаточно больших л точки (1„', Л„') зэк и (1'„', Л,",) Е У„и равенство ф(1„', Л„') =ф(1„, Л"„) противоречит определению У,. Теперь покажем, что б=ф(1п(Сь) является окрестностью графика Г= ((1, х(1)) ~ 1, =1(1с). Поскольку Г=ф(((с, р,)!Г,(1((с)) с б, нужно доказать открытость б. Но если (1, х)=ф(7, Л)Еб, (Г, Л)ЕСь. то бе1ф'(Т, Л)ФО, н по той же теореме и. 2.3.4 некоторая окрестность точки (1, Л) отображается на окрестность точки (1, х). Поэтому (с', х) — внутренняя точка б и б открыто. Таким образом, семейство экстремалей (х(., Л)) взаимно однозначно покрывает б. То, что это семейство образует поле, было показано в первом примере лежаидрова множества в п. 4.4.3.
° Построенное поле состоит из экстремалей, проходящих через одну и ту же точку (1;, х,) и называется цент)сральным. Теперь мы возвратимся к достаточным условиям минимума. Прежде всего покажем, как из общей теоремы и. 4.4.4 получаются достаточные условия слабого минимума. Соответствующая теорема была уже сформулирована в и.
4.4.2. Доказательство теоремы Якоби (теорема 2 и. 4.4.2). Если на допустимой экстремали х(.) задачи (1), (2) и. 4.4.4 выполняются усиленные условия Лежандра и Якоби, то, согласно предложению 2, ее можно включить в поле экстремалей, покрывающее некоторую окрестность б графика х(). По теореме 1 (или !') и. 4.4А неравенство Ю(х( ))= ~Е(Г, х(1), х(1))с(1 ~ 3(х(.)) ц выполняется для всех х( ) ЕСс(((„1,), 11'), удовлетворяющих краевым условиям х(1,)=х(1,), х(1,)=х(1,) и таких, что график х( ) содержится в б, а расширейный график — в 1'. Если 1х( ) — х( )(с достаточно мала, . то последние два условия удовлетворяются. Следовательно, х( ) доставляет в задаче (1), (2) п.
4.4.4 С'-локальный, т. е. слабый, минимум. ° Перейдем к достаточным условиям сильного минимума. В этом случае сами функции х( ) и х( ) по-прежнему 398 можно считать столь близкими, что график х( ) содержится в О, но х( ) может быть любым и расширенный график х( ° ) не обязан помещаться в (7.
Вне (7 условие (1) не гарантирует выпуклости функции йь-ьЕ(г, х, $), и неравенство Юнга, использованное в доказательстве теоремы 1 п. 4.4.4 (см. там формулу (7)), не обязано выполняться. Поэтому в формулировку теоремы придется ввести дополнительное предположение (условие Вейерштрасса) о неотрнцательности функции я1(г, х, и, 9)=т". (1, х, $) — Ь((, х, и) — Ц(1, х, и)(5 — и). Теорема Вейерштрасса о достаточных условиях сильного минимума. Пусть функция Е принадлежит классу С' в открытом множестве 1' ш 11;4 х)4" х)1".
функция х( )~С'([(„(т1, й")т) и ее расширенный график Г=((Г, х((), хЯМ(,(1(т,) У. Если: 1) х( ) удовлетворяет- уравнению Эйлера —,", Е„(() = Е. ((); 2) х( ) удовлетворяет краевым условиям х ((,) = ;с„ х (1,) = х,; 3) вдоль х ( ) выполнено усиленное условие Лежандра (1); 4) вдоль х( ) выполнено усиленное условие Якоби: в полуинтервале (1„1,1 нет точек, сопряженных с („; 5) существует окрестность )т ~ Г, для которой выполняется условие Вейерштрасса еу((, х, и, $) ) О для всех (1, х, и, 9) таких, что ((, х, и) Е)т, ((, х, 3) ЕУ, то х( ) доставляет сильный минимум в простейшей задаче (1), (2) п.
4.4.4 (строгий, если в условии Вейерштрасса ес > О при $Фи). т) Напомним, что х( ), доставляющее сильный минимум, прн выполнении условия (1) должно иметь непрерывную производную, хоти сейчас задача рассматривается в КС'((т„ц), цч) (см, замечание после формуларовнн теоремы 1 п. 4.4.4).
399 ,Цокаэательство. Определим окрестность Р=~1 так же, как и в начале этого пункта, и построим окрестность О э 1'=((г, х(1))~1,~,1~11) и поле экстремалей, покрывающее О; беэ ограничения общности У* К Обо. значим через и(1, х) наклон поля в точке (1, х)~е -(г, х(г, Х)) 6О: ' и(1, х)= х(Г, Х) при х=х(Г, А), и пусть р(г, х)=ц(Г, х, и(г, х)). Согласно предложению 2 и примеру иэ п. 4.4.3 функция р: О Й"' имеет лежандров график Х ((1, х, р(1, х))((г, х) бО) с Ы. Теперь для допустимой х( ), график которой содер. жится в О, Ю (х (. )) — 1 ~ = 1 1.
(Г, х (1), х (1)) (1 -' 7 и с, — ')(р(1, х(8))х(1) — Ж(1, х(Г), р(г, х Я)))й и и '= $ (Е(Е, х(1), х(Ю)) — Ц(М, х(Г), и(1, х(Ф))х(Г)+ и +уЯ, х(Г), и(г, х(1)) и(1,, х(Г)) ЦФ, х(1), и(Ф, х(1))))й1=э с -1г(г, (1), (1, (1)),'((Ви. Поскольку экстремалв х( ) содержится в поле, х(Г) = ° и(1, х(Ю)), а потому и Ю(х( ° )) — $м $4'(8, х(М), и(г', х(Г)), х(1))сИееб. (14) т и ь.ледовательно, Ю(х( )) — б(х( ))=18(1, х(1), и(1, х(1)), х(Г))Ш (15) < как и и теореме 1 и. 4.4.4 ) м= ) м1.
ч 1«($ ( )) = ~ Я'(1, з* з) «(с с лагранжиаиом (9) можно привести к «полному квадратув. Вычисляя функцию Вейерштрасса (и полагая 3 ( )=О) получаем а (й ( )) = ) ( Р (г) й+Р (г)-' ~Х, (1) — и (1) "--'(1П В ~' (1, (15) где Р(8)«=Еле(Х), а Е( ) и П( ) — решения матричной системы В(г) =й~,„(1) В+У„(г) и, п(1) = — я!„„(1)  — Ф„,(г) и Ьа В. М. Алексеев к др, (17) По построению (см. доказательство предложения Я п.
4.4.5) точки (г, х(г, Ц, х(8, Л)) =(г, х, и (1, х)) Е У=7 при (1, х) =(1, х(1, Л)) Еб и ((, х(1), х(1)) Е)~, поскольку х( ° ) — допустимая функция. Следовательно, применимо условие Вейерштрасса и из (15) Ю(х( )) — Ю(х( ))~~0. Таким образом, если х( )ЕКС'(1«ес с«1, 1(") допустима, УдовлетвоРЯет кРаевым Условинм и 1х( ) — х( )1с столь мала, что график х( ) лежит в б, то Ю(х( )) У(х( )). Значит, х( ) доставляет сильный минимум в задаче (1) — (4) п. 4.4А. Равенство Ю(х( ))= 7(х(.)) возможно при этом только в случае, когда 4'(г, х(1), и(г, х(1)), х(г)) = 0 для всех г, кроме, быть может, точек разрыва х( ).
Если ичье вр =р«У>0, то х(с)ь и(1, х(с)) и, в частности, х( ) оказывается непрерывной. Далее, согласно соотношениям (8) и (12) п. 4.4.3, р (1, х) = 7.„(1, х, и (г, х)) ва и (1, х) = Е(1, Х, р(1, Х)) ЬЬИ(Ф, Х) =рГ (8, Х, р(Г, Х)) явХ(8) У,(1, х, р(1, х)Э. Полученная формула совпадает с (12) п. 4.4.4 и, рассуждая, как и там, мы устанавливаем, что х(Г) = х(с). ° Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
