Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. оно верно почти всюду. Д) Завершение доказательства. Согласно В) и Г) для выполнения условия (12) необходимо и достаточно, чтобы одновременно имели место (3) и (4). Заменив в последнем абзаце пункта Б) (12) на (3), (4), получаем все утверждения доказываемой теоремы. Я 4.3.4. Теорема двойственности. Обозначения в этом пункте те же, что и в предыдущем. Напомним, что по- пятне двойственности для задач выпуклого программи- рования было введено в п. 3.3,2. Оио было связано е методом возмущений, т.
е. с вклиэчением индивидуальной экстремальной задачи в семейство задач того же типа. Здесь мы поступим точно так же, ограничившись для простоты одними интегральными функционалами. Кроме того, мы предположим (и это будет существенно исполь- зовано в доказательстве), что А — это отрезок числовой прямой и топологическое пространство П, в котором принимают значения различные управления и( ), сепа- рабально, т.
е. содержит счетное всюду плотное подмно- жество (и„). Например, в качестве П можно взять любое подмножество в К', С(б, К"), Ст(Ь, К"), 1.т(А), но про- странство Е,„(А) (см. и 4.3.2) уже несепарабельно. У и р а ж н е н и е 1. Докажите вти утверждения. Итак, рассмотрим ляпуновскую задачу (Р;( (.))=~Ы,.(1))бР-.1, (й) (Гс(сс( ° ))'= $ Рс(1, п(1))с(1 О„п(1)ЕП, Ь с=!,2, ...,пс. Фиксировав 1„включим ее в семейство сГв(сс( )) !п1, Кс(и( ))+а, (О. (3(и)) Как и в п. 3.3.2, Я-функция семейства 4(а) определяется равенством Я(и) = 1п1(Tе(и( ))(Ус(и( ))+асн='О, и( ° )~'М) а~К .
(1) Аналогия между ляпуновскими задачами и задачами вы- пуклого программирования сохраняется и здесь и, хотя функции тс не являются выпуклыми, справедлива Лемма 1. Функция имБ(и) выпукла. Доказательство. Согласно лемме из п. 4.3.3 мно- жество пп и = (В = Я„..., В„) $ Ес = ст с (и ( ° )), сс ( ° ) Е 'И) выпукло в К"+с. Переписав (1) в виде 8 (сс) = 1п1 ( Ве ! й с + и с т ' О, В Е 1сп ст ) и, полагай дс($)=ус($„..., $ )=й„мы обнаружй- ваем, что 5 (а) является значением задачи выпуклого Заа программирования у, ($) !п1, д! (я)+а! (О, $ ~1т 1Г.
Эта последняя является частным случаем задачи, рассмотренной в п. 3.3.2 (отсутствуют ограничения типа равенства, в связи с чем )г, Л и т, п. следует опустить), так что выпуклость Я обеспечивается следствием 1 п 3.3.2. Теорема двойственности для ляпуновских задач. Пусть Л вЂ” промежуток в К, й — сепарабельное топологическое пространство, функции1!: Лхц К, !=О, 1, ..., т, непрерывны, '(1 — совокуинорть измеримых ояображений и: Ь П таких, что функции 1 1,(1, и(1)) интегрируемы но Ь.
Если Я-функция семейства х(а) непрерывна в точке а=О, то для любого а ~ !п( (догя 5) 8 (а) = зпр ( )!а + ~ сО (1, Х) Ж), (2) хыо ~ (3)- * +со, ).(К~, т — 1! 11!.р. «и!о)г.!- х л!р, в>р]г. и! )гтг ь ~ ! ! ~в, !)=ь!(!.!, )-!-х!!;!, !). иег ~=! До к аз а тел ьство. А) По лемме функдня а~ Я(а) выпукла, а из непрерывности ее в одной точке вытекает (предложение 3 п. 2.6.2) непрерывность и равенство Я(а) = (сопчЯ)(а) для всех и~)п1(доп!Я). По теореме Фенхеля — Моро (п.
2.6.3) сопчЯ=Я"', так что для тех же а Я (а) = Я" (а) = зир ()гх — Я' ().)). (4) гг я~~~ Теперь вычислим 5'(Х). По определению Я'().) =зир(га — Я(а))= а =знр 1)!а — \п1 ~ 1,(1, и(1)) й] ~ )'! (1, и(1))й-)-а,~О, в ! й Ь и(.) ~%~ = = зир знр 1!Ха — ~1„(1, и(1))й~= г! !'~ !!г< ) Гги, я<П>м ' г Подставляя найденное выражецие в (4), мы видим, что равенство (2), а с ним' и вся теорема, будут доказаны, если мы проверим, что п~ )п1 ~1(п(1, и(г))+ ~Р ~1111(1, и(1))~й= ~ Ф(1, Х)й, (б) п1)пыл 1 где Ф(1, )) определено равенством (3). Б) Лемма 2.
Пусть Ь вЂ” промежуток в 11, П вЂ” сепа- ° рабельное топологическое пространство, функция 1: и х )сП )с непрерывна, п(1 — совокупность измеримых отображений и: и П таких, что функция 1 р(1, и(1)) интегрируема на и. Тогда функция )р (1)= 1п( (1" (1, о)) (6) ппй измерима на о, интеграл ~ ц)(1)й (конечный или рав- Ь ный — со) существует и ~ 1р(1) й=) 1П( 1'(1, и)й= 1П1 ~ ((1, и(1))й. (7) Ь я и ( )лчеь Доказательство. Пусть (оь)н)1) — счетное всюду плотное подмножество в П. Ввиду непрерывности (функциии срп (1) = нип )) (1, о„) )СЬСп непрерывны и при п оо 1рп(1)1 1пп 1п1 1(1, о„)=1п(р(1, о„) и )СЬСп ь =!п1 ) (1, о) пп ц) (1).
(9) КРоме того, существуют функции ип( ) ~'11 такие, что 1рп(1)=~(1, и„(1)). Действительно, прй п=1 это верно, ипасли 1рп,(1)=р(1, ип,(1)), то )р„(1). п)1п 11(8, о„)1=ю(п()р„)(1), р(Е, о„)1= )СЬСп = ю(п [Е (1, ип- (1)) У (1 оЛ- Г (1 й, (1)). где функция ип , (1), ЕСЛИ 1Рп , (1) ( ~ (1, О„), и (Г)пп оп, если )Рп,(1) ) 1(1, оп), принадлежит Я (ввиду непрерывности функций неравенство >р„> (1) > ) (1, ов) выполняется на открытом множестве, и потому ии(.) измерима; интегрируемость функции (г 7 (1, я«(г)) = >р„(1) следует из непрерывности ф„(1)).
Будучи в силу (0) поточечным пределом непрерывных (а значит, н измеримых) функций, функция ф( ) измерима (КФ, стр. 2841. Представив ее в виде разности 'р(1)='>(( о) — ИЯ вЂ” 1(1 о)1 непрерывной и яеотрицательной функций, мы убеждаемся, что интеграл ~ >р(г)>11 существует, конечный или равный Ь ( — со) (непрерывная на отрезке Ь функция 7(г, о) имеет конечный интеграл, а интеграл неотрицательной измеримой функции >р(1) — у(г, о) существует, но может равняться + оо).
Поскольку у (1, и(())) ч>(г) для любой и( ) ЕЯ, неравенство 1п( 11((, и(1))Й~~ч>(1)Й (10) «ь>еЯ ь а очевидно. Если левая часть равна †, то равенство (7) верно. Если же она конечна, то ввиду неравенств ~ >р> (() Й ) ~ ч>«(1) Й = Ь а =$)((, и„(Г))Й~ >1п( $~(1, и(())Й ь «о>езйь последовательность интегралов ) ч>„(()Й ограничена. Прил меняя теорему Б. Леви (КФ, стр. 3031 к неубывающей последовательности — >р„( ° ), мы находим, что функция ер( ) интегрируема и ~ гр (г) Й = Ищ ~ Ч>„(г) Й - 1п( ~ Ч>«( г) Й = Ь «««л «а =(п1 $((г, и„(Г))Й) >п( $ 7(8, и(8))Й.
«д «ь>езйд Вместе с (1О) это дает (7). ° По лемме 2 верно (5), что, как мы видели, доказывает теорему. У яр аж не н и е 2. Сформулируйте н докажите теорему днойст. венности для ляпуноаской задачи общего вида (см. 0) в н, 4.3 3). 366 4.3:5. Принцип максимума для задач оптимального управления, линейных по фазовым переменным. Вернемся к поставленной в п. 4.3.1 задаче с,(х(.), и( ))=$'1а,(()2(!)+),((, и(с))!йе+ Ь + Тссх ((,) + Тссх (гс) — 1п1, (1) х=А(!)х+Р((, и(!)), и(!)~П, (2) ,/с(х( ), и( )) а[ос(!)х(й)+сс((, и(!))1сИ+ Ь +Т,сх((,)+Тссх((с)~~с„(=1,2, ..., т.
(3) Теорема (прннцип максимума для задач, линейных по фазозым переменным). Пусть фусскцииар с! !1"* с=О, 1, ° ° *т и А: с1,Я'Я" !4") интегрируемы на отрезке а=(с„(с1с:!с; П'— топологическое пространство; сс: ссхП й, с=О, 1, ..., т, Р: ссх х П Ч." — непрерывные функции, сс — совокупность измеримых отображений и: сс — П таких, что функции, Сс»сс((, и(!)) и с Р(Ф, и(с)) интегрируемы. 1.
Если (х( ° ), й( )) — оптимальный процесс для задачи (1) — (3), то найдутся такие не равные одновременно нулю число Х, ) О,,вектор к= () „.. „Х„) Е !4"' и абсолютно непрерывная функция р; сс — К ', что вьсполняютсяс а) уравнение Эйлера — Лагранжа (сопряженное уравнение) р (() = — р (!) А (с) + ~~~~ ~Х;ас (!); (4) б) условия трансверсальности т Р ((ь) = ( 1) Х )чуьс й=4! 1 с=о в) принцип максимума псах б ((, о) = б ((, й (!)) (6) юев почти всюду, где б(! ).=р(!)Р((, о) — Х Ч ((,о): с о г) условие согласования знаков Х,~~О, 1=1, ..., т; (8) д) условия дополняющей нежесткости Хч)l~(х( ), й( )) — сг)=0, 1=1, ..., П1, (9) 2.
Если для допустимого проиесса (х( ° ), й( )) су- ществуют такие Х, > О, ХЕК"' и абсолютно непрерыв- ная р():Л й"', что выполняются условия (4) — (9), то (х( ), й( )) — оптимальный процесс для задачи (1) — (3). Формально, условия (4) —,(9) здесь те же, что и сост- ветствующие условия в п. 4.2.2 (читатель легко прове- дет необходимые преобразования от одних условий к другим)„но напомним, что содержание их несколько иное. Управление и(.) предполагается здесь всего лишь измеримым, а следовательно, необходимые условия (4)— (9) из результатов ч 4.2 не вытекают.
Кроме того, вторая часть теоремы дает нам доста- -точные условия оптимальности, чего- не было в ~ 4.2. Доказательство. А) Редукци я к ля п у н ов- ской задаче. В п. 4.3.1 задача (1) — (3) уже была сведена к экстремальной задаче ляпуновского типа(см. (8) в п. 4.3.1), которая. отличается от задач и. 4.3.3 воз- можностью присутствия в ограничениях неравенств .- .
Это, однако, не страшно, поскольку терминальные члены в (8) п. 4.3.1 линейны и, поменяв знаки там, где нужно, мы снова получим выпуклые функции. Перенумеруем индексы так, чтобы в (3) ограничения типа равенства стояли в конце, а затем, как и в 4 3.2, положим е,=1 для 1=0 и тех1, для которых в (3) стоят знаки ( и =, и е~ — — — 1 для тех 1, для которых в (3) стоит знак)~. Далее положиму„(х( ))=р,х(1,) и д,(х( ))= е,((),х(1,) — с,), 1) 1. Теперь задача (8) п.
4.3.1 приобретает стандартный ляпунъвский вид Х, (х ( ° ), и ( )) = — е, ~ О, (1, и (1)) с(1 + у, (х ( )) 1п1. .1, (х ( ), и ( )) = — е; )г О, (1, и (1)) й1 + Ь 1(0, 1=1, ..., т, где О! определены форм)лами (5) п. 4.3.1. Б) <Необкодимоо. Если (х( ° ), й(.)) — оптнмальный процесс, то по теореме п. 4.3.3 существуют Х„пеотрнцательные прв О~с ~т', не равные одновременно нулю в такие, что — ~ еЯ,Ос(1, й(с))= ш1п( — ~ ас)тбс(1, о) (11) с о с о почти всюду, ~~ Хс4(с (х( ° )) = ппп ~~.', 1сбс (х( )) с=о о<> с о (12) Яс.сс(х(.), и( ))=О, 1(1(пс. (13) Легко видеть, что, полагая с.с=еХ„мы удовлетворим условию (8), а из (13) следует (9). Далее, положнм Р,(с) Й )чрс (г) (14) где р,( ) определены формулами (7) п.
4:3.1, откуда я из (6) п, 4.3.1 рс (гс) — уи Рс (со) = ум — ()с. (1б) = ~ асЦ~рс(1)Р(1, о) — сс(с> о)1=* ~ асХсОс(1, о), с о с=о после чего (11) превращается в (6). Наконец, подставляя в (12) определения д„получаем 'ос зс) сбс ~х с 1~) = шсо (Х зЯФс) х. с о с о Такое равенство возможно, только еслн ~ч~,' 1фс с=о Непосредственным дифференцированием (нли используя формулу (14) п. 2.б.4) проверяем, что р( ) является решением уравнения (4) и (5) верно при со= 1.
Из (7), (14) и из (5) п, 4.3.1 получаем О(Ю, о)=р(1) Р(1, о) — Х Гс)с(1, о)= с о = ~~~ ~е(ХЯ( О, после чего ((5), 7«- "О) следует из (14) (=о '' и (15). В) «Достаточно». Пусть дли допустимого процесса (х( ), й( )) нашлись такие Хо > О, Х„р( ), что выпол. вяются условия (4) — (9). Пусть, далее, е,— те же, что и раньпм, Х(=е(Х( и р,(.) по-прежнему определены ра. венствами (7) п. 4.3.1, тан что имеет место (15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
