Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 54
Текст из файла (страница 54)
такая, что: а) ограничение и ~ А, продолжается до функции, непрерывной на замыкании А„; б) Г~ 1) А„ имеет лебегову меру нуль. н Ясно, что всякое кусочно-непрерывное отображение измеримо в смысле этого определения (в качестве А„ берем интервалы непрерывности). Почти также очевидно, что в случае, когда П~К'функция, измеримая в смысле етого определения, измерима и в обычном смысле (КФ, гл. ч', й 41. Действительна, пусть и„( ) — функция, непрерывная на А„, и совпадающая с и( ) на А„.
Полагая и„(г)= О вне А„, мы получаем измеримую функцию на К. Характеристическая функция )(л„( ) множества А„также измерима, а поскольку и(Г)=-~Хл„(()и„(1) почти всюду на У, измерима и и(г). Уп раж пенне. Докажите, что если Це- Н' и функция и: у -ь Ц измерима в стандартном левеговон смысле, то опа измерима и в смысле приведенного выше определеаия. Указан не: воспользуйтесь С-свойствоы Лузина (КФ, стр. 291).
В формулировке следующей леммы Й вЂ” некоторое каусдорфово топологическое пространство (КФ, стр. 951. Л е м м а 1. Пусть функции р и ер, непрерывны в б х П х: (тз, (т1- К" — решение дифференциального уравнения х=ср(г, х й(т)) (4) и его график Г=((~, х(Е))! (е(Г~~Ет)е:б. Пусть далее б, > О и и„: (Га — б„(а+бе) — П вЂ” семейство измеримых управлений такое, что для всех ( и всех а ~Й значения и„(т) содержания в некотором компакте зье<=П Пусть, наконец, й(Г) =— иа (1) для некоторого а ЕЙ и 7,+з, Ищ ~ !тр(т, х((), и„(()) — юр((, х(т), й(())(В=О. (5) а-~аН вЂ” аь 'Тогда решения Х„((, („хе) задачи Коиш х=ер((, х, и„(1)), х((,)=х, при некотором б > О определены на отрезке [та — б, т',— 51 для всех (1„х„а) из некоторой окрестности точки (г'„ х(ге), а) в КхК" ХЙ и пРи ге Г„ха — х(тз),а- а Х,„(1, е„хе)- х(г) равномерно по г ~ (1„1т).
336 Доказательство. Применим к рассматриваемому случаю теорему 2 п. 2.5.5, положив Р„(1, х)=ср(1, х, и„(1)). (6) А) Если А„— те множества, о которых говорится в определении измеримости, примененном к и„( ), то при фнксированном х функции 1» ~р(1, х, и„(1)) непрерывнц на А„, а следовательйо, 1 ~Г„(1, х) — измеримые функции и выполнено предположение А) п. 2.5.1. При фиксированном 1 функции Р„вместе с ~р дифференцируемы по х, так что выполнено и предположение Б) п. 2.5.1.
Б) Для любого компакта зь'<:6 функции ~р и ~р, непрерывны на компакте УСхК„а следовательно, и ограничены. Обозначив М= шах 1~р(1, х, и)), М„=- тах!)ср„(1, х, и)р, ~х~', ЖхЖ'. мы видим, что выполняется условие В') теоремы 2 п. 2 5.5 с х(1) =М и й(1) ==М„поскольку по условию и„(1) ЕК,. Условие Г) той же теоремы, совпадает с,(5). Таким образом, к рассматриваемой ситуации применима теорема 2 п. 2.5 5, из которой и вытекает доказы* ваемое утверждение. Я Доказательство леммы о пакете иголок. А) Проверим выполнение условий предыдущей леммы. Часть из них, относящаяся к ~р и х( ), входит в условия теоремы о принципе максимума.
Выше мы уже предположили, что управление й( ° ) продолжено вне отрезка 11„111, так что при 1<(о и при 1~1, это непрерывная функция. Поэтому мы будем считать далее, что и( ) определена на отрезке Л=(г,— б„ 11+6,), б, ) О, а ее точки разрыва лежат в интервале ((а 11) Пусть Р" < р" ( . .
< р" †э точки, г"" = г, †„ 1"'" = 1, + б,. Функция 1' и(1), Го "(1<1<', ( й (Р'> — 0), 1= (<'>, непрерывна на отрезке 1, = [1о '>, б'~1 и образ М, этого отрезка при непрерывном отображении и,: 1 — 11 компактен в П, поскольку 1,— компакт.
В соответствии с фор- ззт мулами (3) значения управлений и(1; а, т, о) лежат в компакте $ .~. 1 уь,= 1) ус,О(о„...,ои). 1=1 Остается проверить условие интегральной скодимос- ти (5). На компакте Ю = ((1, х (Г), и) / 1 Е Л, и Е М,) = Г Х уг', непрерывная функция ~р ограничена: ~ гр ~ 'М. При столь малых а~ > О, что полуинтервалы Л не пересекаются, из формул (3) имеем 5+а, (гр(1, х(1), и(1;а, т, о)) — гр(1, х(8), й(1)) /й= ь ье = Х ~ ( гр (1, х (1), о ) — гр (1, х (1), й ( С)) / й ( 2М,Яа = 1=1 „ у !=1 = 2Ма- О при а~(О, так что условие (5) выполнено. Применяя лемму 1, убеждаемся в справедливости первых двух утверждений леммы о пакете иголок п.
4.2,3: для достаточно малого е, > О решение х (1; (м х„а, т, о) задачи Коши (1), (2) при ((„х„, о), удовлетворяющих неравенствам (9) п. 4.2.3, определено на Л = — 1(о — 5, 1",+51 (первое утверждение), и при 1, гм х,— х„а (О х(1; („х„, а, т, о)- х(1) равномерно по (Е'11„1,1' (второе утверждение). Б) Перейдем к рассмотрению отображения (1„1„х„ а) — х(1,; г„а, т, и). Обозначим, как обычно, через Х (1, 1„х,) решение задачи Коши х=<р(1, х, и(1)), х(1„)=х,. (7) По теореме 1 п. 2.5.5 функция Х(,, ) определена и непрерывна в области (1„— 5„, 11+6„)х6, где 6 — некоторая окрестность графика Г решения х( ).
Если же мы сузим область определения так, чтобы 1, и 1 не переходили через точки го> разрыва управления и( ), то дифференциальное уравнение в (7) удовлетворяет усло- виям классической теоремы о дифференцируемой зависимости решения от начальных данных (п. 2.5,7), так что Х ((, („х,) будет непрерывно дифференцируемо по совокупности аргументов. В частности, Х непрерывно дифференцируемо в некоторых окрестностях точек (Гм (ы х((а)), поскольку в некоторых окрестностях точек 1„ управление и( ) по нашим предположениям непрерывно. Далее, обозначим через Е ($, а, т, о) значение при г= 1, решения задачи Коши для уравнения (!) с началь= ным условием х((,) =$, т.
е. Е ($, а, т, о) =х(1„1„$, а, т, о). (8) В соответствии с формулой (13) п. 2.5.5 и формулами (3), задающими управление и(1, а, т, о), имеем х((„1„х„а, т, о)=Х(1„(„Е (Х(Г„(„х,), а, т, о)) (9) (от Г, до Г, мы решаем уравнение х=Ч~(1, х, и) с управлением и=и(г), а затем от 1, до Г,— с управлением и=и(г; а, т, й) и, наконец, от (1 до 1,— снова с управлением и=й((). Важно отметить, что, как и формула (13) п. 2.5.5 формула (9) верна при любом расположении точек г, относительно г,.
Если мы теперь сможем продолжить отображение (ь, а) 1 Е(ь, а, т, о) до отображения класса С', определенного в некоторой окрестности точки (х(Г,), 0) (т. е. сможем продолжить его на отрицательные ау с сохранением непрерывной дифференцируемости), то в соответствии с формулой (9) и отображение (1„(„х„а)~-»х((,; 1„х„а, т, с) будет продолжено на некоторую окрестность точки ((„Г„х„0), а по теореме п. 2.2.2 оно будет непрерывно дифферейцируемым как суперпозиция трех непрерывно дифференцируемых отображений: ((„х,) »-»Х(Г„(„х,), ($, а)»Е($, а, т, о), (Г„т),)»-»((„Г„т1,). В) Пусть тЕ((„(,) и оЕП фиксированы. Обозначим через У,(г, Г„у,) решение задачи Коши у=т(г у ) у(г ) =у ° (10) В силу локальной теоремы существования (п.
2.5.2) и классической теоремы о дифференцируемости решения по 339 начальным данным (п. 2.5.7) )»„(1, („у,) определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (т, т, х(т)). Если т — точка разрыва управления й( ), т. е. и (т — 0)~ тай(т), то наряду с й( ) рассмотрим управление )' й ((), 1 > т, ) й (т), 1 < т.
Поскольку и (.) непрерывно в некоторой окрестности точки т, решение Х (г, („х,) задачи Коши х = ~р (1, х, й (()), х((,) = х„ (11) также определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (т, т, х(т)). Если же т — точка непрерывности й( ), то само Х((, („х,) обладает тем же свойством, и в следующих далее формулах можно считать Х=Х. Дополним набор т = (т„..., тн) точками т, = 1» и тн+, — 1„так что 1,=т, <т,<...<тн < тн+,— — („и рассмотрим суперпозицию отображений Й ($,а, т, о)=.Р оХн оЯн о...оХ» о2» о Х», о...оЯ, о Х„ (12) где Р($, а) =к Х» ($, а) = (Х (т»+ы т», $), а) (13) и е»(3, а) =(Х(т», т„+йа+а», У, (т»+йа+а„, т»+йа, Х(т»+Фа, т», $))), а).
(14) Поскольку Х, и Я» непрерывно дифференцируемы в окрестности точки р„=(х(т ), 0), причем Х»(р»)=р»„ Я (р») = р„, а Р линейно, суперпозиция (12) определена и-непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки р,=(х(~„), 0)=(х„О). Лемма 2. Если все а» ) 0 и достаточно мала, то Е (я, а, с, о) =- Е (я, а, т, о) = х(г'„г„$, а, с, о). (15) Доказательство. Обозначим для краткости х(~)= = х((, е„я, а, т, о).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
