Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 56
Текст из файла (страница 56)
4.3.1. Редукция задачи оптимального управления, линейной по фазовым переменным, к задаче ляпунов- ского типа. Пусть Ь = 11„ 1,) †фиксированн отрезок числовой прямой, а;: Ь вЂ” К", 1= О, 1, ..., т, и А: Л- Л'(К", К") †интегрируем векторные и матричная функции; Й вЂ” топологическое пространство, ),: Ьх 11 — К, 347, 1=0, 1, ..., т, и Р(, .): ЛхИ- Н» — непрерывные -фУнкции; Уо~, У„, 1=0, 1, ..., т,— элементы К»о, с;, 1= 1, 2, ..., т,— числа. Экстремальная задача 1о(х(.)* и( ))=) (а.ЯхЯ+Ж иЯ))й(+ ь + Уо»Х'((о) + Уо»Х (Го) 1П(о х=А(Х)х+Р(1, и(1)), и(1)ЕН, (1) 14(х(.), и( ° ))= ~ (ае(У)х(1)+~;(1, и Я)) й+ Ь +умх(1,)+у„х(1,) ~~с;, в которую величины, связанные с фазовой траекторией х, входят линейно, называется задачей оптимального управления, линейной по оразовым переменным. Она, разу- меется, является частным случаем общей задачи опти- , мального управления из Э 4.2.
Однако здесь мы не- сколько расширим совокупность допустимых процессов. Обозначим через оо множество измеримых (в смысле определения п. 4.2.6) отображений и: Ь- И таких, что функции (о-э~,(1, и(1)) и (от»Р(1, и(о)) ннтегрируемы. Пара (х( ), и ( )) называется допустимым процессом, если х( ); Л вЂ” Й» абсолютно непрерывная вектор-функ- ция (см. п. 2.1.8), и( )Еч4, х (1) = А (1) х (1) + Р (1, и (1)) почти всюду и выполняются неравенства У, (х ( ), и ( ))~~си Допустимый процесс (х( ), и( )) называется оптимальным, если существует такое а) О, что для любого допустимого процесса (х( ), и( )), удовлетворяющего'усло- ' вию 1х( ) — х( ))сиь а»> < а выполнено неравенство У,(х( ), и( ))) Х,(х( ), й( )).
Мы покажем сейчас, что линейная структура. позволяет преобразовать задачу (1) к такому виду, где х( ) и и( ) в некотором смысле разделены (и, в частности, отсутствует дифференциальная связь). Пусть 11(, ) — фундаментальная матрица (п. 2.6.4) решений однородной линейной системы х=А (1) х. (2) 348 В соответствии с формулой (13) и. 2.5.4 х(1)=й(1, 1,)х(1,)+1й(1, )р(, ())г.
(3) с, Подставляя (3), преобразуелс функционалы задачи (1): ,с'с(х( ), и( ))= =1,.;ссрсс.сс ссс+1 сс, ссс...сссс))ссс+~)с(1, и(1))й+у„х(1,)+ с, -~с„[асс, сс сс,сс-'1асс„.ссс., с,>>с.~ са с, с с, = ~ ~ а, (1) й (1, т) Р ( с, и (т)) с(т й + ~ ~с (т, и (т)) Дт -1- сд се +~ ) ас(1)й(1, 1,)й+у„+уий(1;, 1,)) (1,)-).
сс + у„. ~ й (1„т) Р (т, и (т)) Нс= сь с,сс, = ~ ~ ~ а; (1) й (1, т) й Р (с, и (т)) -1- с, с +~с(т, и(т))+у„й(1„т)Р(т, и(т)) с(т-(- (с~ «-(1 .,с ссссс ссс с-с,';с-с„а о„ сс)*ссс сю с, = — ~ бс(т, и(т))с(т+бсх(1,), (4) где ссс(т, и),= р;(т) Г (т, и) †)с(т, и), Рс =уос — рс(1о) р,(т) = — у„й ( 1„ т) ~ ас (с) й (с, т) й, Х=О, 1„...,лс. (б) (6) 349 Теперь задача (1) приобретает вид 1«(х( ), и( ))= — ~ б,(1, иЯ)й+)»«х(1,) ш1, Ь У,(х( ), и( ))= — ~ б;(1, и(1))й+()х(1,)~~с,. Ь (8) Такую задачу мы будем называть задачей ляпуновского типа или просто ляпуновскай зада«си. 4.3,2. Теорема Ляпунова.
В установлении связи между задачами оптимального управления и выпуклого программированйя теорема Ляпунова играет ключевую раль. Оиа будет сформулирована здесь для случая векторной функции йч 1« — $«« и меры Лебега т на прямон (с. Незначительное усовершенствование доказательств позволяет распространить этч теорему на случай праизвольиога пространства с задаинои в нем а-алгеброй Я и произвольной непрерывной (неатамическай) конечной векторной мерой рп Ь- К". В приведенной ниже формулировке Я вЂ” это а-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств в 1«, а р(А)= ~ р(1)Н1.
А В отличие ат других мест нашей книги, здесь и в следующем пункте нам придется использовать некоторые факты из функционального анализа и теории меры, которые, несмотря на их большое принципиальное зна.чение, обычна не входят в основные университетские курсы. Начнем с определений. Термины «измеримость», «интегрируемость», «почти всюду» и т. п. далее понимаются в смысле Лебега (для измеримости удобно пользоваться определением, приведенным в п. 4.2.8), Две функции называются эквивалентными, если они совпадают почти всюду.
0 п р е дел е н и е 1, Пусть Л вЂ” произвольный промежуток числовой прямой. Пространствами Е,(Л) и ь„(Ь) называются нормированные пространства, элеыентами которых являются классы эквивалентных между собой функций х: а р«, обладающих конечной нормой, которая задается равенствами: в пространстве 1.,(е»): 1х ( )1=-11х(1) (Й; « в пространстве Е„(А): !!х( )1!=ворога!!х(1)(= 1п( знр 1х(1)/. (2) ь н, ы (н)=0 1еь' Ф Предложение 1. Пространства Е,(А) и Е„(А) банаховы, причем Е! (Ь) сепарабельно. Пространство Е (А) изометрически изоморфно сопряженному пространству Е,(А)е, такчтозамкнутые шары в нем и-слабо компактны. Доказательство.
этих утверждений мы заменим следующими ссылками: полнота и сепарабельность пространства Е,(А) — ) КФ, гл. Ч11, э 11 (существование счетного базиса у меры Лебега на бесконечном промежутке сразу следует из его существования на конечных отрезках, поскольку каждый такой промежуток представйм в виде объединения счетного числа отрезков); компактность в н-слабой топологии замкнутых шаров в пространстве, сопряженном к сепарабельному (КФ; стр. 202), изометрический изоморфизм между Е,(А)' и Е„(Л) (а, значит, и полнота последнего) 14, стр.
3141. О п р е деле н и е 2. Пусть Х вЂ” линейное пространство, А <= Х. Точка х множества А называется его крайней точкой, если х=ахт+(1 — а)х„О(а<1, хт, х,ЕА=Фх,=х,. Упражнение !. Докажите, что по крайней-мере одна из точек хь ..., ль является крайней дли ил выпуклой оболочки вопч (хт..., хн).
Теорема Крейна — Мильмана. Компактное выпуклое подмножество локально выпуклого линейного топо- логического пространства Х содержит по крайней мере одну крайнюю точку и совпадает с выпуклой замкнутой оболочкой своих крайних точек. Доказательство этой теоремы см. 14, стр. 4771. Перейдем теперь к основной теореме этого пункта.' Теорема А. А. Ляпунова.
Если р: А — 11", р( ) =(р,( ),..., р, (.)) — интегрируемая векторнаяфункция, то множество М = ( х б К" ( х = ~ р (1) йг, А ~ Ч является вьтуклым компактом в )ть, (Напомним, что Я— это о-алгебра множеств, измеримых по Лебегу) 35! Д о к а з а т е л ь с т в о А) Рассмотрим отображение Л: ь„(Л) — К", определяемое равенством Оно линейно, и. кроме того, оно непрерывно относи- тельно е-слабой топологии в Е„(Л) (по определению эта топология слабейшая из тех, в которых все отображения ф(.)» ъ(ф( ), р( )), р( ) ЕЕг(Л) непрерывны).
Множество )Р=-(ф(.)ЕЬ„(Л)~О<ф(Г)~1, (ЕД) является замкнутым шаром в Е (Л) (радиуса 1д и с центром в точке»р( ), ф(()=1/2). Следовательно, оно выпукло и, согласно предложению 1, компактно в»»-сла- бой топологии. Поэтому его линейный и .непрерывный образ Л)(У также является выпуклым н компактным. Характеристическая функция 1, (ЕА, ХА( ) ) 11 ~(А любого множества А ~ Б, очевидно, принадлежит Я7, а потому ~Р(1)"1=) Хл(1)Р(1)ПГ=Л(Хх(.))ЕЛ)(у» А Ь и, следовательно, М <= Л%'.
Остается доказать, что М = ЛВ'. Б) Пусть точка АБЕЛ%'. Ее прообраз (рг=Ф'() Л '($) является пересечением выпуклого и компактного в е-сла- бой топологии множества 1(У и замкнутого в той же то- пологии (поскольку Л относительно иее непрерывно) выпуклого множества (аффинного многообразия) Л-»($). Следовательно, ЧГх выпукло и компактно и по теореме Крейна — Мильмана имеет крайнюю точку х(. ) Е В'х. Если мы докажем, что х( ) является характеристи- ческой функцией некоторого множества А Е~т., то тогда $= ~ х(») р(») г(( = ~ р(г) ог ЕМ Ь А и теорема будет доказана. «ав В) Если О~х(1) ~1 и х( ° ) не является характеристической функцией„то для некоторого е) О множество В,=(11е -х(1) ~1 — е) имеет положительную меру.
Функция ае-ьт(а) т((1„а) ПВ,1 непрерывна и изменяется от О=т(1е) до т(В,)=т(1,) (т(В) — мера Лебега МНОжЕСтВа В). ЗадаВ ПрОИЗВОЛЬИО )У, ВЫбЕрЕМ але й =1, ..., У вЂ” 1 так, чтобы т(ае)=й!Увв. Этим определяется разбиение В,=В,()... () ВАс множества В, на У попарно непересекающихся подмножеств В,-( —, а,(ПВ„., В„=(а,, ав)ПВ„... ..., В„, (а, „со)ПВе положительной меры, Положим теперь ( ум гчв~ у(')='( о, 1(в.. (3) При се' ) и однородная линейная система ) у (1) р (1) с(1 —,~ ~ув ~ р~(1) Ш вЂ” О Ь ВА имеет ненулевое решение (у„..., улс). Соответствующую функцию (3) обозначим у( ). Если О (Х ~ е шах(1удЦ ', то (че, 1ЕВ„ ~ У("~'( =О, 1(В„ и потому х( ° ) ~ Ау( ° )ЕФ'.
При этом Л(х( ) ~Ху( ))=Л(х( ))~)сЛу( )= = В ~ 2. $ у(8) р (г) (1 3. Ь Следовательно, х ( ) ~ Ху ( ) Е 1у1, и так как Х чь О, то х( — не крайняя точка. аким образом, х( ) — характеристическая функция и теорема доказана. ° 4.3.3. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач. В этом пункте Л вЂ фиксированн промежуток числовой прямой (конечный или бесконечный), П вЂ некотор топо- логическое пространство. Лемма о суперпозицион ной измери мости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
