Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если функция (: Лх П й непрерывно, а и: Л 0 12 Е. М. Алексеев в Ар, абз измерима (е смысле определения и. 4.2.6), то и функция 1~-ю )'(1, и(1)) измерима. Доказательство. Пусть А„а Л выбраны так, что т (о~; 11 А„) 0 (т — мера Лебега) и ограничения и( ) (л„ л могут быть продолжены до непрерывных функций на А„. Тогда и функции 1 +1(1, и(1)), 1Е А„, могут быть продолжены до непрерывных на А„. ° Пусть теперь заданы непрерывные функции ~,: Ьх хП К. Обозначим через сй совокупность измеримых отображений и: б — П, для которых суперпозиции 1~-ь~,(1, и(1)) не только измеримы, но и интегрируемы на б, так что на Я определены функции и ( )— — ~ 6(1. и(1)) й( Ь С другой стороны,, пусть Х вЂ” линейное пространство, функции у,: Х К вЂ” выпуклые для 1=0, 1, ..., т' и аффинные с конечными значениями для 1= т'+1, ..., т, А ~ Х вЂ” выпуклое подмножество.
Экстремальную задачу 3Г,(и( ° ))+й,(х) ~1,(1, и(1))й(+у,(х) 1п1, Ь 3Г,(и( ° ))+д,(х)= (1) - )г ~, (1, и (Ю)) й( + у, (х) ~ ' Ь 1 =О, 1=т+1, ..., т, хЕА, и(.)~Я мы будем называть ляпунсвской задачей. В качестве частного случая ляпуновская задача включает в себя стандартную задачу выпуклого программирования, изученную нами в и. 1.3.3 (надо положить т'=т и ~,=0), и мы увидим далее, что теорема Ляпунова позволяет распространить на рассматриваемую здесь более общую ситуацию рассуждения, при помощи которых была доказана 'теорема Куна — Таккера.
Функция Я (и ( ° )> х, Х, Х,) = ~ ).; ((Г, (и ( )) +у, (х)) (2) г=о называется функцией Лагранжа задачи (1). Теорема (принцип Лагранжа для лялуновской зада чй). Пусть функции ~р бхай К' 364 непрерывны, д,: Х % вып(уплыв для ( О, 1, .... т' и с4финные конечныедля(=т +1...,, т, А с Х выпукло. 1. Если пара (и( ), х) является решением задачи (1), то найдутся вектор 1 =(Ло ..., к ) ~ К ' и число к„ не равные одновременно нулю и такие, что: а) |п1п ~", ХД(1, и) ~ Х,(8, й(1)) почти всюду, (3) ко у о о с о ~и м ю1п Х ).;у,(х) Х Х,у,(х) (4) ела о ! о (принцип минимума); б) Х;~~О, 1=0, 1, ..., т' (5) (условие согласования знаков); в) Х~(4Г~(й(;))+у~(х)) О, !-1, .
„т (б) (условия дополняющей нгжесткости). 2. Если (й( ° ), х) бЯХ А и существуют такие к ай"'* и лч > О, опо выполняются условия (3) — (6), то (й ( ), х)— решение задачи (1). Доказательство. А) Лемма о выпуклости о б р а з а. Образ 11пК=($=($„..., $„)!Во=К,(и( )), и( ) ~%) отображения и( ) ~У (и( ))=(У,(и( ), ..., У (и( )) является выпуклым множеством в К'"+'. Доказательство. Пусть Р = (Ы Ы. ° В) = У' (иоо ( )), д = 1, 2 Функция р( )=(р,( ), ..., р„,( )): )с — К"+', определяемая равенствамй 6И ип'И)) — (о(1 и'м(Е)) Ебб О, 1(Л ннтегрируема, поскольку и'ю( ) ~%.
По теореме Ляпунова множество М=~$~$=~р(1)й1, -АЕЖ~ л выпукло, н так как атому множеству принадлежат точки 0 (А=8) и $' — Г (А=А), то для любого аЕ10, 1) !2» авв существуют такие АйЕФ (т. е. измеримые по Лебегу), а(И вЂ” 0)- = $ р,(1)Й= $ [Гт(1, иа'(И)) — Рс(1, им'(г)))с(1- Яи йапй (с (1, ив'(1)) Й+ ) ~, (Г, и"'(г))сИ вЂ” ц„ Айой йчлй откуда ~с(1, иа'(1))с(1+ ~ (с((, им'(1))Ш ла и й й,л„ =с4)+(1 — сс) $) ( О 1 т (7) Положим теперь ) ио>(1), ГЕ А (1Л, ии1 (1) Тогда в силу (7) У с (и„( ° )) = с4', + (1 — а) $*„ так что К(и,„( ))=а$'Ф(1 — а)$'.
° Б) Существование множителей Лагранжа. Как уже было сказано, наши рассуждения будут парал- лельны доказательству теоремы Куна — Таккера из и 1.3.3. По условию пара (й( ° ), х) — решение задачи (1). Не ограничивая общности, можно считать, что К,(и( ))+ + и, (х) — О (в противном случае можно вычесть из К, +д, эту константу). Докажем, что множество С=(сс=(сс„..., а„) !Б(и(.), х) ЕЯхА, 'г„(и ( ' )) + йй (х) ( ао, Кс (й (' )) + дс (х) (» ао (=1, ..., т', К,(и( ))+д,(х)=аи Е=т'+1, ..., т) (8) выпукло. Действительно, пусть ай= (а"„..., с4) Е С, /г=1, 2, Оч,В(1, (и'"'( ° ), хсм) — такие элементы из Ях А, что 1г,(и'Ц ))+п,(хиз) (а"„ у, (имя ( )) + иг (х'"') По лемме о выйуклостн образа существует функция ие ( ) Е Я такая, что 'Гс(ие(')) '8!Ге(иц'( ))+(1 — 8)К (ио>(.)), !0,1,...,т.
КРоме того, хе=8х"'+(1 — 8)хна~А ввиду выпуклости А н йе(хе) (7~(Охеп+(1 — 8)х'е1) Ои (хц')-! (1 8)у (хун) для 1=т' + 1, ..., т, поскольку зтн функцнн аффин- ные. Следовательно, У е(ие('))+Ос(хе) =8»(Г~(ин'( ° ))+дг(х11)1+(! — 8) ~У р(и"'( ))+и~(хце)1* =Оа»+(1 — 8)а'„! т'+1, ..., т. Далее, д,— выпуклая функция, н Потому !Ге(ие( ))+ае(хе)= =81Г,(исо( ))+(1 — 8)ег,(ин>( ))+и,(8х"'+(1 — 8)ха)~ <8((Г,(иц>( ))+и,(х"'))+(1 — 8) (У,(и м( ))+и,(х" ))< <8„+(! 8) ~. Аналогично доказывается, что 1Г (ие( ))+О7(хе) ~Оа)+(1 — 8)а~, 1=1, ..., т'. Но тогда нз определения множества С видно, что 8а'+ +(1 — О)аеЕС, т. е. С выпукло.
Полагая в (8) (й( ), х) = (й( ), х), получаем включение Сэ(а (а„..., а„)»а >О, а,)0, ! 1, ..., т', а, О, (=т'+1, ..., т». (9) В частности, С непусто. Кроме того, 0(С, так как в противном случае, согласно (8), Т,(и( ° ))+д,(х) <О, (Г~(и( ))+д,(х)<0, 1=1, ..., т', У,(и( ))+н,(х)=0, (=т'+1, ..., т, лля некоторой пары (и( ), х) н, следовательно, (й( ), х) не является решением задачи (1). Применяя конечномерную теорему отделимости (п.
1.3.3), находим такие 1„! О, 1, ..., т„не равные 357 одновременно нулю, чй для всех абС выполняется неравенство ~ Х,а, > О. г=а Поскольку (е, О, ..., О, ау — — 1, О, ..., 0)бС, где 1() лг' и а~=О для (ФО, ), то выполняется неравенство е~,+Хг>0. Переходя к пределу при е(0, получаем Х > О.
Точно так же (е, О, ..., О) Е С ~ Х, > О, и таким образом, верно (5). При любом е > 0 (е, О, ..., О, аг — — У"т (й ( )) + д~ (х), О, ..., 0) б к С =о Х,е+ Х~ ~Т~ (й ( )) +,дг.(х)] > »0 оУт~Т~(й( ))+Я~(х)1>0. (10) Поскольку (й( ), х) — допустимая пара, Вместе с (10) и уже доказанными неравенствами Х~ «О, 1(1(т', это дает (6). Далее, для любых е> О, (и( ), х)ЕЯхА, соглас- но (8), (К,,(и( ))+ +а',(х)+е, Е,(х( ))+я',(х), ..., 4Г (и( ))+и (х)) б 6СзФ ~ х,(У',(и( ))+К!(х))+еАо г о .У(и( ), х, Х, )Ч)+Й,>О=~.У(и( ), х, Х, ~,)>0. Но, согласно (б), (11), 1>и'+1 и сделанному выше предположению о (Г, +б,„.У(й(.), х, Х, Х,)=О.
Поэтому для функции Лагранжа (2) выполнен принцип минимума ш(п .У (и ( ), х, Х,4,)=.У (и( ), х, Х, Х,). (12) МХА Если же ло > О, имеет место (12) и выполняются условия (о) и (6), то для всякой допустимой пары (и( ), х) <ос п3' ~о(К„(сс( ))+ао(х)) =- Х )<с(К<(и( ))+сгс (х)) с о <!ос = ~~~~ Хс(К<(сс( ))+сгс(х))=Я(сс( ), х, Х, Хо)~) „<вс, «и ) .У (й ( ° ), х, Х, Х,) = ~~~'„Хс (К с (и ( )) + дс (х)) = % (У', (й ( ° )) + д, (х)) =<с Ко(и( )) + д, (х)) ) > К. (й ( ) + а.
(х)) так что (й( ), х) — решение задачи (1). В) Редукция к элементарной задаче. Легко видеть, что соотношение (12) эквивалентно одновременному выполнению соотношений (4) и пнп ~~.", )<<К<(сс( ))= «<о сов<=о ш(п ~ ~ с<Д(1, и(Ю))<И=) '~ )<,с<'с(Ю, й(1))с(1 и<.<оооо с=о ос о ~ ~,К,( (.)).
(1З) с=о действительно, если выполняются (4) и (13). то .2'(сс( ), х, Х, Х,)=~ Ъ.<К<(и( )) <- ~ Асяс(х) ~ с=о с о ш ос ) '~ ~)<<К<(сг(.))+ ~ Хсйс(х) =.У(й( ), х, к, А,) для всех и( )Е."'сс и хЕА, т. е, имеет место (12). Если же, например, ~, Аспас (х) ( ч~'.~ 1<ус(х), для некоторого с=о с о хЕА, то .У(сс( ), х, л, Х,) = ~~.", Х,К,(сс( ))+ + Х,~а,(х) <,Х,) К (й( ))+,Х,~~й~Й) так что (12) не может иметь места. Чтобы перейти теперь от (4) и (13) к принципу минимума, т. е. к (3) и (4), нам нужно показать, что в (13) можно «внести ппп под знак интеграла», т. е. показать что функция й( ° ) тогда и только тогда является решением вспомогательной задачи оптимального управления ) Х 1Д(1, и(.))й 1п1, и( )ЕФ, (!4) ь с=о когда имеет место соотношение (3).
Подобное. утверждение уже было доказано нами в п. 3.!.4. Однако там предполагалось, что функция и( ) кусочно-непрерывна, а здесь она только измерима, так что нам придется воспользоваться более тонкими рассуждениями. Г) Элементарная' задача с измеримыми управлениями. Лемма об условиях минимума в элементарной задаче оптимального управления. Пусть Л вЂ” промежуток в К, 1« — топологическое пространство, функция 1: ЛхЦ К непрерывна и Я вЂ” совокупность измеримых отображений и: Ь- П таких, что функции ! ~)(г, и(!)) интегрируемы на Л.
Для того чтобы й( ) ~'И было решением задачи г (и( )) ~1(Г, и(!))а( — 1п1, и( )ЕЯ, (!5) необходимо и достаточно, чтобы равенство Г (1, й(!)) = ш1п((1, и) (16) и«» было верно почти всюду в Л. Д о к а з а те л ь ство. «Достаточно». Согласно (16) Г(1, и(!)))~(1, й(1)) почти всюду для любой и(.)ЕЯ, откуда У'(и( ))) У(й(.)). «Необходимо».
Пусть й( ) — решение задачи (15). Поскольку й( ) измеримо, существуют (п, 4.2.6.) измеримые множества А„а Л такие, что т(Л"~() А„) = О л и и!л„продолжается до непрерывной на А„функции. Назовем точку т Е А„существенном, если т ((т — 6, т+Ь) П () А„) > 0 для любого б > О, и покажем, что равенство (16) имеет место во всех таких точках. 360 В самом деле, если бы для некоторой существенной т Е А„и некоторого о Е Ц выполнялось неравенство 1(т, о) < 1(т, й (т)), то ввиду непрерывности функций й( ))л, и 1 ~1(1, о) такое же неравенство сохранилось бы и в некоторой 6-окрестности точки т в множестве А, т.
е. ~(1, о) < ~(1, й(1)), У1Е(т — 6, т+6)() А„. Функция ] й(1), 1((т — 6, т+6)()А„, ] о, 1Е(т — 6, т+6)() А„, очевидно, принадлежит % и К(и( )) — (Г(й( ))= ~ ()'(1,п) — )(1, й(1))]В<О, и-О, т+и д лл поскольку 1(1, о) <~(1, и(1)) и т((т — 6, т+6)()А„) >О. Остается доказать, что множество несущественных точек имеет меру нуль.
Если тЕ А„несущественна, то по определению найдется такое б„что лз ((т — 6„ т+6,)() А„)=О. Сузив интервал, найдем 4акие рациональйые (а„, р,), что т ((а„р,) П А„) — О. Множество всех интервалов с рациональными концами счетно, поэтому не более чем счетно и множество тех из них, которые имеют вид (а„р,) для некоторой несущественной точки тЕА„. Пусть это интервалы 1„1„... Тогда А„О 01а содержит все несущественные точки А„н гп (А„О (1 1„):~ < ~~", гп (А „О 1„) = О. Поскольку множеств А„не более чем счетное число, то объединение множеств несущественных точек каждого из них также имеет меру нуль. По доказанному (16) может нарушаться лишь иа Л' 0 А„и в несущественных точках, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
