Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 60
Текст из файла (страница 60)
374 Уравнение Эйлера для вторичной задачй (4) „— ', ~Е;„(!) й(1)+й,„(!) й Щ=й.„.(!) й(!)+Х„„(1) й(1), (5) называется уравнением Якоби исходной задачи (1), (2) и. 4,4.1. Определение. Точка т называется сопряженной к точке 1, (относительно функционала ((), если уравнение Якоби (6) имеет решение й( ), для которого й(!э)= = й (т) = О, но ') Е„; (т) й (т) ~ О. (7) т) Обычно в учебниках по вариационному исчислению сопряженные точки определяют в рредположении, что выполняется усиленное условие Лежандра Е..
(О > О. При этом предположении эа Е . (т)л(т) =О~в(т)=О, и так как й(т) =О, то по теореме единственности Ь( ) — О. Поэтому условие (7) эквивалентно нетривиальности Ь ( ) и обычно заменяется этим предположением. 375 Теорема 1 (необходимые условия сла- бого экстремума в простейшей задаче). Лустэ функция Е удовлетворяет условиям леммы. Если х( ) доставляет слабый минимум в задаче (1), (2) п. 4.4.1, то 1) х( ) удовлетворяет уравнению Эйлера ((4) и.
4.4.1); 2) выполнено условие Лежандра (5); 3) выполнено условие Якоби: в интервале (1„! ) нет точек, сопряженных с 1,; 4) выполняется неравенство (3). В случае, когда х(.) доставляет слабый максимум, в (3) и (5) следует заменить знак ) на <. Доказательство. Утверждения 1), 2) и 4) мы уже доказали (!) — в предыдущем пункте).
Поэтому нуж- но доказать лишь 3). Предположим противное, м пусть точка т~(1„1,) — сопряженная к г„а й( ) — соответ- ствующее решение уравнения Якоби: й(!а) = й(т) =О и имеет место (7). Положим й!О )'й(!), 1,<Г<т, ( О, т<1<(ы Тогда а(Ь( )) = т = ~ (Й(1),Е„„(1)Й(1)+ 2Ь(1) Е„(1)Ь(1)+ а +Ь Я (,„„ (1) Ь (1)) а = "")ЙЯ (Е„„(1)ЙЯ+Е„„ЯЬ(1))а+ +) Ь(1)'[Е„,(1)Ь(1)+Е„, ЯЙ(1)")гИ ь (здесь использовано, что Ь (1)'Е,„(1) Ь (1) =Й(1)' Е;, (1) Ь (1)). Вспоминая, что Ь( ) удовлетворяет уравнению (6), проинтегрируем (с учетом равенств Ь(1„)=Ь(т)=0) по частям в первом интеграле, после чего интегралы сократятся. Таким образом, 1~(Ь( ))=О, а это означает, что Ь( ) доставляет (наряду с функцией Ь( )е— в 0) сильный минимум в задаче (4).
Снова применяем принцип максимума нз $ 4.2. В соответствии с ним найдутся Х,"э0 и такая «усочно-диффереицируемая функция р ( ): 11„111— — 1ет,,"', что р (1) = 2Л,Е„„(1) Ь (1) + 2,Е„„(1) Ь (1), пт1п <Ь ~Ч." (1)о+ АЙ Я'Е (1) — ~ (1)~) аэ Х,Ч (1) Е;„(1) Ь (1)+2~,Ь (1) Е„„(1) Ь (1) р (1) Ьь(1). (9) Тем же рассуждением, что и выше, доказывается, что 1,*~0, и мы можем считать, что Х,=1(2, Из соотношений (9) следует, что р(1) =Е„.. (1) Ь(1)+Е„„(1) Ь()).
(10) Но для 1~ т функция Ь( ) =О, так что из (10) вытекает, что р (т+0) = О. С другой стороны, р (т — 0) = =Е„„(т) Ь(т — 0)=Е;„(т)Ь(т)чьО в силу (7). Поэтому р — разрывна, но она в силу принципа максимума должна эта быть иецрерывной. Противоречие доказд!веет выполнение условия Якоби. йй! Итак, мы установили, что все необходимые условия экстремума в простейшей задаче, которые обычно рас. сматриваются в курсах вариационного исчисления: Эйлера, Лежандра, Якоби и Вейерштрасса †являют следствиями принципа максимума.
Перейдем теперь к достаточным условиям слабого экстремума. Теорема 2 (достаточные условия слабого экстремума в простейшей задаче). Пусть функция Е удовлетворяет условиям леммы, функция х( ) Е С'(!ты 1,1, й") и ее расишренный графин (1,.(1), '(1)) !7;«1«Ч~Ъ7. Если: 1) функция х ( ) удовлетворяет уравнению Эйлера ((4) п.
4.4.1); 2) удовлетворяются краевые условия х (т,) = х„х (1,)=х;; 3) выполнено усиленное условие Лежандра Ей; (1, х (1), х (1)) >О, У1 Е [1ы 111; 4) выполнено усиленное условие Якоби: в полуинтереале (1„Я нет точек, сопряженных с 1„то х(.) доставляет строгий слабый минимум '(при замене в (11) знака > на < — максимум) в простейшей задаче (1), (2) п. 4,4.1.
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 4.4.5, 4.4.3. Гамильтонов формализь). Теорема об интегральном инвариаите. В п. 4.1.! мы уже упомянули, что уравнения Эйлера — Лагранжа вместе с уравнениями дифференциальнпй связи можно привести к еамильтоноеой (или канонической) системе вида х=УГр(1, х, р), р= — Я,(т, х, р), (1) где функция ЯС называется гамильтоиианом (нли функ. цией Гамилыпона) исходной задачи. Здесь мы рассмотрим это преобразование более подробно, оставаясь в рамках простейшей задачи (1), (2) п. 4.4.1. Переход от уравнения Эйлера этой задачи ((4) п. 4.4.1) к канонической системе (1) осуществляется прн помощи преобразования Лежандра.
Им мы сейчас и займемся. Определение 1. Пусть функция 1: о — 11 принадлежит классу С'(о) в открытом множестве о нормиро- 377 ванного пространства Х и ее производная взаимно однозначно отображает о на с(= (р ~ р=1' $), $ Е о) <=Х', В: д — о — обратное к Г отображение. Функция й: Ы- К, определяемая равенством 1(р)=<р В(р)> — 1(В(р)) (2) называется классическим преобразованием Лежандра функции Б Предложение 1.
Пусть функция 1: о-" 11 принадлежит классу С'(о) в открытом вьтуклом множестве о нормированного пространства Х. Если 1"ч положительно определена, т. е. с8з1($; т1)=1е(ф)~т1, т1~>0, Уамбо, УПЕХ, т)чь0, (3) то преобразование Лежандра й( ) функции 1( ) определена и совпадает в Н с преобразованием Юнга — Фенхеля (п. 2.6.3) функции 1($), $ Ео, -(- со, $ ( о, которая выпукла. До к аз а те ль от в о. Выпуклость 1 доказана в и.
2.6.1 (пример 2), взаимная однозначность отображения $ з 1'$) доказывается аналогично пункту Б) до. казательства предложения 2 ниже. По опредеаению сопряженной функции (и. 2.6.3) 1'(р) =зпр (<р, $> — 1($)) = — 1п1 (1($) — <р, 5>), $ Если равд, то р=1'$)=1оф для некоторого 7Ео. Следовательно, 0=(1'($) — р)ЕдД ) — <р, >]$), откуда $ — точка минимума функции 1( ) — <р, ° > и ' 1'(р)= — (1(я) — <р, $>)=<р Г> — 1(ь).
Поскольку р = 1' 5), то $ = В (р) и по определению 1'(р) = Мр). ° Вспоминая неравенство Юнга (и. 2.6.3), получаем Следствие 1. В условиях предложения 1 1$)+й(р) ><р, $>, Ур Ы, У$ Ео. (5) Чтобы получить из лагранжиана 1.(1, х, х) простейшей задачи ее гамильтониан Я(1, х, р), нужно произ- 378 вести преобразование Лежандра по аргументу х.
Таким образом, ЯГ(7, х, р) = рх — Е(Г, х, х), (6) где х нужно исключить, используя соотношение р = Ц (г, х, х), (7) так что формулой (6) зт' определено корректно, если отображение х э.Е. (7, х, х) взаимно однозначно. (В формулах (6) и (7) х выступает как самостоятельный аргумент; 'чтобы не путать его с бх/Ж, мы будем далее обозначать х =5, хотя для соответствующих производных Е сохраним обозначения Е„,дА/дх, и т. д ).
Предложение 2. Пусть функция ((, х, ь) э Ь (7, х, $) принадлежит классу С'(Р), г) 2 в открытом множестве 1"сЙ х Й" х Й" 1) Если: а) вторая производная Е„„в )7 не вырождается, и. е. бе(~ .. (Г, х, я))МО, 'ч((, х, я)Е$', ~дх~ дху б) отображение Р, определяемое равенством Р(7, х, я)= = (7, х, Е; (7, х, $)) взаимно однозначно отображает У на РсЙхЙ" хЙ"*, то Р открыто, Р 'ЕС'-'(Р) и функция яь: Р Й, определяемая равенствами (6) и (7), принадлежит классу С'(Р). 2) Если при любых (Х, х) сечение 1', „=($!(г, х, $)ЕЪ') вьтукло и при любых ((, х, 5) Е $' матрица Е„, (г, х, $) положительно определена, то условия а) и б) вьтолняются и заключение п. Ц справедливо. ' Доказательство.
А) Обратное к Р отображение, существующее согласно б), очевидно, имеет вид (г, х, р) э э(г, х, Е(г, х, р)), так что р=Е„(1, х, $) еа $= Я ((, х, р). (8) Поскольку ЛЕС'(К), г)2 отображение Р~С'-1()7) с сС'(г)..Его матрица Якоби имеет вид 379 (10) (11) (12) Из формул (10) — (12) видно, что первые производные ункции Я являются суперпозициями функций класса следовательно, сами принадлежат этому классу.
Поэтому Я ~ С'(Р). Б) Если матрица Ь„, положительно определена, то по критерию Сильвестра (см. [71, стр. 181 — 182) де1 1.», > О, так что верно а). Пусть сечения Уь а выпуклы. Тогда для любой пары точек (1, х, $„)ЕУ, 1=1, 2, точки (1, х, а4,+(1 — а)$) Е У, а ~10, Ц. Обозначив ра=7.„. (1, х, $„), имеем н ее определитель, равный де1Ь,„, отличен от нуля со. гласно а). Пусть (1„ х„ р,) = Р (1„ х„ $,) †люб точка из 17. По теореме об обратном отображении сушествует окрест- ность УЭ(1„х„$,), образ которой Р((7)тТ1 является окрестностью (1„. х„р,). Следовательно, Р открыто, По той же теореме Р-' (которое определено однозначно) совпадает на Р Я) с отображением класса С'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
