Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поскольку точка (1„х„р,)Е — любая, Р 'ЕС'(17) Далее, из (8) видно, что, как неявная функция, Е (1, х, Р) определяется уравнением Р(1, х, р, $)=р — (.„(1, х, $)=0, и так как оно образовано функциями класса С"-', то Е, а вместе с ней и Р-' принадлежит классу С -'(Ь) (см. в п. 2.8.4 замечание после теоремы о неявной функции). Из (6), (7) и (8) выводим тождество Я(1, х, Р) = рЕ (1, х, р) — 7. (1, х, Е (1, х, р)).
(9) Дифференцируя его, получаем ®~ РЕт ~-с 7-;Е~=(Р— ~-'(г х Е)1Е~ = — 7., (1, х, 3 (1, х, р)), Я„=Рń— Й,,— 1.;Е,= — Ь„(1, х, Е(1, х, р)), Я =Е+РŠ— 7, Е =Е(1 х р) р,— р,=1,„(1, х, $,) — 7,;(1, х, $,)= 1 = ~ — „„7.„(1, х, а$, + (1 — а) $,) йх о 1 ) 7-„; (1, х, абаз+(1 — а)~з)($~ $а)0а. о Если $,чь$„но Р(1, х, в!) = (г, х р!) (г х! р!) Р(1, х, $,), то р,= р, и л о= (р,— р„~,— ~,> = ~(р„— р„.)(~» — й„) ~в! ! 0 ч1=! +(1 а) в!) (зз! — Вм)(В у-%м) йа > О, так как по условию подынтегральиая функция положительна (Е положительно определена). Противоречие показывает, что р!=р,=Ф$!= $м т. е.
верно б). ° Вспоминая следствие 1, получаем Следствие 2. В условиях второй части нредлсже. ния 2 для любых (Г, х, $)ЕЪ', (г, х, р)е!л вьа!олняется неравенство ЯГ(1, х, р)+Т.(1, х, ь) ~(р, $). Перейдем теперь к связи между уравнением Эйлера — !Ь„(1, х, х)=1.,(Г, х, х) (13) и системой Гамильтона (1). Называя далее х: Ь- 11" решением уравнения (13) (или пару (х, р): Л вЂ” К"хЯ"'— решением системы (1)», мы подразумеваем, не оговаривая этого особо, что (Г, х(!), х(!))чЪ' при всех 1бЬ (соответственно (1, х(Г), р(1))бП). Для краткости решение х: Ь -К" уравнения Эйлера (13), а также его график ((1, х(1))(Г б Ь) мы будем называть вкстрел!алею, а решение (х, р): Л- К'хЙ" системы Гамильтона (1) и его график ((г, х(г), р(!)) 3 г Е й) — канонической экстремалью (из контекста всегда ясно, идет ли речь о функциях илн об их графиках).
П р е д л о ж е н и е 3. Пусть функция й е С* (У) удовлетворяет услсвиял! а) и б) предлагсения 2. Пара (х( ), р ( )) тогда и только тогда является ка. ионической вкстремалью, когда х( ) — вкстремаль и р (1) = (.„ (1, х (1), х (1)). (14) Доказательство. А) Пусть х( ) — зкстремаль. Если р( ) определено равенством (И), то, согласно (8), х(Г)-В(1, х(Г), р(Г)). Теперь первое нз уравнений (1) следует из (12), а второе — из (11) и (13). Б) Пусть(х( ), р ( )) — каноническая экстремаль.
Тогда из (12), (8) и первого из уравнений (1) следует (14), а тогда второе из уравнений (1) превращается в (13) согласно (11). ° 3 а м е ч а н и е. Предположение Е 4: С'(У) является здесь более сильным„чем это действительно необходимо: как и в п. 4.4.2, достаточно было бы требовать существование и непрерывность первых и вторых производных только по х, и хт. В справедливости этого замечания читатель может убедиться сам, внеся необходимые изменения в формулировки теорем о неявной функции и об обратной функции из п. 2.3.4. Гамильтоновы системы (1) обладают многими замечательными свойствами (см., например, [Ц).
Мы ограничимся только одним из них, имеющим отношение к выводу достаточных условий экстремума. Теорема об интегральном инва р нанте. Пусть функция Я~ принадлежит классу С' в открытом множестве Р~14х К" х (т"*, дифференциальная форма ы определяется в Р равенством м=рдх — Рйй(= Хр,дх~ — Я((, х, р)д(, (15) К=1 Гь ((гь(а), хь(а), р,(а))[а(а<Ь), Ь=О, 1 — два кусочно-гладких' замкнутых контура в Р (так что !ь (а) = = (ь(Ь), хь(а)=х„(Ь), рь(а)=р„(Ь)). Если Г, получается из Г, сдвигом по каноническим экстремалям, т.
е. если для каждого а точки У,(а) = =(г,(а), х,(а), р,(а)) и дъ,(а)=(г,(а), х,(а), р,(а)) лежат на одной канонической экстремали, то (16) Доказательство. А) Согласно Классической теореме о дифференцнруемости решений по начальным условиям (п. 2.5.7) и теореме о суперпозиции (и. 2.2.2) решение задачи Коши для системы (!) с начальными условиями (1,(а), х,(а), р,(а)) — обозначим это решение (х((, а), р ((, а)) — будет кусочна-непрерывно дифференцируемо по а и непрерывно дифференцируемо по !. Отображение о: ((1, а)!ак а<Ь, (Е[1,(а), 1,(а)!) — Р (при г,(а) < < 1,(а) надо здесь написать [1,(а), г,(а)1), определяемое равенством о(1, а) =((, х(Г, а), р((, а)), задает в Р дву- 382 мерную поверхность Х (рис.
38). Ориентировав д надлежащим образом, будем иметь дХ = Г,— Г, (две дуги, отвечающие а а и ((=Ь, геометрически совпадают, но Рис. Зв. имеют противоположнуч) ориентацию, так что интегралы по этим дугам сокращаются). Согласно формуле Стокса б и (а) фб) — фа)= ) б)=) йа=) ~ йа1п„о„1((1йх га ге дз 3 а (~(а) и равенство (16) будет доказано, если мы проверим, что йд (о „а„| = О. Б) Дифференцируя форму (15), получаем йо = ~((р()'(((х( — Я(((1+ ~ (Я' .
((х(+Яд. ((р() М1= л = Х ~((р( б(((х( — Я'.. ((х(,б(а — я'~,((р(,д((11~ (Г7) (напомним, что при внешнем умножении ИЛИ=О) Если $ =($„$„, $р) и т)=(Ч,, Ч„„Чр) — два касательных вектора, то из (17) получим: 4 Ч( Чд. Ч,, ! Поэтому Яе, Я~„, ) хн(~, а) рн(1„а) =О, О хга(Ф, а) Р~а(Ф, а) ~йь (ои оа1=* поскольку о(1, а) = (х(1, а), р(1, а)) по аргументу является решением системы (1), а значит, первая и вторая строки определителя совпадают. ф В связи с равенством (16) дифференциальную форму (15) называют интегральным инеариантом Пуаннаре— Картона. Определение 2. Множество Ас=1) называется лежандровым, если (18) х (1„Л) = х„р ( („Л) = Л. (19) Множество Е = ((Х, х, р) ( х = х ( 1.
Л), р = р (1, Л). ) р,— Л ~ < е, а ч., 1(Я вЂ” искомое; е ) 0 и интервал (а, )1) Э 1, подбираются так, чтобы Хс0. Действительно, как было сказано выше, замкнутый кусочно-гладкий контур у~И вЂ” зто образ кусочно-гладкого контура Г= ((1(з), Л(з)))а~е~Ь, 1(а)=1(Ь), Л(а)=Л(Ь))~= ~(а, )))Х(р,— е, р,+е) Зй для любого кусочно-гладкого замкнутого контура у<-А. Другими словами, ограничение а ~ А — замкнутая форма. (Понятие куеочной гладкости нуждается здесь в уточнении.
Мы будем предполагать, что А является образом открытого множества О~=(тл при отображении ~р: 6- О— класса С'(б), и у есть образ при этом отображении обычного кусочно-гладкого замкнутого контура в 0.) Следукецие три примера лежандровых множеств играют далее существенную роль. 1) Фиксируем некоторую точку (1„х„р,) ~1:) и рассмотрим семейство канонических зкстремалей ((х(1, Л), р(1, Л)) ~ а < 1<р) с начальными условиями при отображении ((, Л) ~ (г, х(1, Л), р(1, Л)). Спроекти.
ровна Г на плоскость г 1„получим контур Г,=Ц(„ Л(в)) ~а~в(Ь, Л(а) ы Л(Ь)), образ которого У, ((гы х(г„Л(в)), Р(г, Л(в))~а в~Ь)= =((г„х„Л(в)) ~ а < в <Ь) (20) в силу (19). Поскольку у, получается из у сдвигом по каноническим экстремалям, то по теореме об интеграль- ном инварианте ф е = ~ и = $ р дх — Я Н = О, 7 те тв ибо на у, в силу (20) дх=О. Й =О, Поскольку (18) верно для любого у~=2, это множество лежандрово.
2) Пусть в задаче (1), (2) х( ) — числовая функция,. н пусть задано семейство экстремалей х(, Л): (а, р) ~-ь К, ЛЕ(а„р,), причем х(, )ЕС'((а, (1)х(а„р,)). Мйожество Ж=((1, х, р) ~х=х(8, Л), р=р(У, Л)= =11(1, х(г, Л), х((, Л)), 1~(а, р), ЛЕ(а„р )1 -искомое. Действительно, пусть у, у„Г и Г, опреде- лены, как вите. Тогда ф ы ~ ф м:з~ у р ах у те те ( р((„Л(в))~~((„Л(в))Л'(в)дв.
(21) Обозначив через Ф(Л) первообразную функции Л~-в ь-э р (1„Л) х„(1„Л), продолжаем равенства (21): фа= ~Ф'(Л(в))Л'(в)дв Ф(Л(в))/... О, И танк как Л(а)=Л(Ь) (контур замкнут). 3) Предложение 4. Пусть в открытом множестве б~)схйл задана Функция р: 6- К"', р=(р„'..., р„), график которой Х=((г, х, р(г, х))~(1, х)Е6)~0. Для того цтобы Е было лежандрсвым множеством: а) предполагая, что р непрерывна, необходимо и до- статочно, чпюбы существовала функция 3 ЕС'(6) такая, звь (23) Доказательства.
Подставляя р=р(1, х) в (15), получаем форму го= р(1, х)йх —,рь (1, х, р(1, х)) й(. Лежандровость множества Х означает, что фв=О г для любого Г<:б. Согласно классической теореме из анализа эта равносильно точности гв, т. е. существова- нию такой 5, что ьь=-й5. Отсюда вытекает а). Если рЕ С'(6), то а Е С'(6) и йьь=й(й5)=0, что эк- вивалентна (24). Достаточность этого условия при одно- связности б следует из тай же классической теоремы, что и а), ° Уравнение (23) называется уравнением Гамильтона— Якоби. Если нам известно некоторое его решение в обла- сти б, та (22) определяет функцию с лежандровым гра- фиком, 4,4.4. Достаточные условия абсолютного экстремума в простейшей задаче.
Рассмотрим снова простейшую задачу классического вариационного исчисления й (х( )) = ~ Ь (Г, х, х) а( — ех1г, (1) и х (гю) хо х (~1) хм (2) Будет предполагаться, что лагранжиан Е принадлежит классу С' в открытом множестве К<= К х й" х К". Допустимыми для задачи (1), (2) будем считать функции 386 р(1, х)= дв (ц к) %- ~ 'й)-= б) предполагая, ипо рЕС~(б), необходимо, и в одно- связной области 6 и достаточно, чтобы в каждой точке (1, х) р б выполнялись соотношения (24) дкь дк~ ' л др, д5~ ч~ д5~ дрь д1 дк~ ~~ дрь дк, ' и что для любых (1, х) сечение У,,„=Д ~(г, х, $)ЕУ) выпукло.
(4) Из предложения 1 п. 4.4.3 вытекает тогда, что функция у( ~) ( 1,(1, х, $), (1, х, $)ЕУ,' (3) ( + ао, (1, х, $) (У выпукла по $. В соответствии с предложением 2 п. 4.4.3 условия (3) и (4) обеспечивают корректное определение гамнльтониаиа Ж~ С'(11) соотношениями М (1, х, р) = рх — 7, (1, х, х), р=ь„(г', х, х), (6) из которых надо исключить х.
По следствию 2 того же пункта 7. (1, х, $)+ЯГ (1, х, р) > р$, У(1, х, 5) ЕУ, т (1, х, р) Е 1'.1. (7) 387 х( )~КС'(~1„1Д, $Р) е кусочно-непрерывной производной, расширенный график которых ((1, х(1), х(1)~1,( (1(1,)сУ. Для определенности все рассуждения будут проведены для случая минимума; необходимые изменения в формулировках в случае максимума читатель легко произведет, заменив 1. на — 1.. В пп. 4,4.1 и 4.4.2 мы уже видели, что выполнение условия Лежандра Е„'„'(1)=1,Ы (1, х(1), х(1))= О необходимо для того, чтобы допустимая функция х( ) доставляла минимум в задаче (1), (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
