Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Соотношение (15) позволяет показать, что квадратичный функционал с начальными условиями Б((;)=О, П(Я=Е. ' (1В) 4.4.6. Теорема Э. Нетер. В п. 1 4.1 мы уже познако- мились с некоторыми ситуациями, в которых уравнение Эйлера имеет первый интеграл. Например, если лагран- жиан не зависит явно от Г, т, е. имеет вид Е(х, х), то Н=Еэх — Е=сопз1 (интеграл энергии). В этом пункте мы познакомимся с общим приемом конструирования первых интегралов для систем дифференциальных урав- нений, 'являющихся уравнениями Эйлера некоторых ва- риационных задач. Этот прием основан на простой и вместе с тем глубокой теореме, доказанной замечатель- ной женщиной-математиком нашего века Эмми Нетер.
Универсальный принцип, выражаемый теоремой Нетер, часто формулируют так:'«Всякая симметрия в мире по- рождает закон сохраненияь, или еще: «Инвариантность системы относительно некоторой группы преобразований имеет следствием существование в системе первого ин- тегралаь. Так, например, инвариантность системы отно- сительно сдвига по времени, проявляющаяся в том, что время г не входит в лагранжиан, дает нам интеграл энергии.
Перейдем к точным определениям. Пусть дано семей- ство отображений оа К Х К" ' К Х й", ~ а( ( з«, Д„((, х)=(2::((, х, а), Х(г, х, а)). Относительно него мы будем предполагать, что: 1) функции Й и Х принадлежат классу С', 2) при а — 0 л,((, х, а)=(+аТ((, х)+о(а), Х((, х, а) =х+аХ((, х)+о(а). Векторное поле (Т((, х), Х(г, х)) будем называть касательным векпюрным полем семейства (Я ). Поддействием преобразований Я„точка Р=((, х) описывает некоторую кривую в Кх К" и (Т(~, х), Х(г', х)) — касательный вектор к этой кривой в точке Р (т. е. при а=О; рис. 40). Лемма.
Пусть х( ) ЕС'(1«„«1), 1«"). Тогда суи(ествуют такие б ) О, з > О, х( °, ° ) ЕС'((Ä— б, (,+б)х х( — е, е), 1«), 1„( ) ЕС'(( — з, а)), к=О, 1, что при 402 ац( — е, в) образ графика функции х( ) являеасся графиком функции х(, а): (1,(сс,) Г,(ац я". При ятом х(Г, 0)= — х(1), х„(Ю, 0)= — Х(Ф, х(Г)) — х(Г)Т(1, х(Е)), (2) (; (0) = Т((с, х (Ес)). (3) Доказательство. Образ графика х( ) при отображении З„задается параметрическими формулами г=т(з, а)=л.(я, х(з), а), Г, з(Г„ х = д (5, а) = Х (я, х (я), а), (а ~ ( е,.
(4) Обе функции т и )( как суперпозиции функций класса С' сами принадлежат етому классу. Согласно (1) — (1, х, 0)=1, д (1,х,О)=0, дх дл и потому — (з, 0)= д д + — х(з)— = 1 ° дт дХ дс дХ Используя компактность отрезка Г, ~з((з и непрерывность дт/дз,' находим такие 6, > 0 и ег >О, что при У гв еаГа) Зе ф1и) Рис. 40.
(6) 403 1а~ ( е„и 1,— 6, < я (1;+6, выполняется неравенство д, (я а) > 1/2. Тогда при фиксированном а~( — е, е) дт функция з т(я, сс) монотонно возрастает и отображает Р~ Я на Р.(а), Г (а)1=Ь (1., а), ((о а)1= Р((о х((з) а) л. (Ф' х(~1) )л' Из этих равенств видно, что 1,(а), 1=0, 1,— функция класса С', причем нз (1) следует (3). В силу той же монотонности отображение А, определенное равенством А(з, а)=(т(з, а), и), взаимно однозначно отображает прямоугольник П=(1,— Ь;, г,+Ь,)~ х ( — е, а,) на его образ Ю = А (П). Поскольку якобиан Х (дт/дт дт/ди) дт 1 дт 2' то, рассуждая так же, как в доказательстве предложения 2 п. 4.4.5, устанавливаем, что йг открыто н что обратное отображение А-'. Ю вЂ” П, которое, очевидно, имеет вид (1, а)~ (о(1, а), а), непрерывно днфференцнруемо н о ~ С'(В').
Из (4) н (1) имеем т(з, 0)=л.(з, х(з), 0)=— з. Поэтому А оставляет на месте точки (з, 0) и то же делает А-', откуда о(1, 0) — С Далее, как неявная функция, о(, .) находится из уравнения Р(о, г, а) т(о, а) — 1 0: Отсюда, во-первых, согласно (4) и (1), оа(1, 0) = Ра Р»= — (т (о(Г, О), 0) 1та (о(1! 0), 0) = = — ~3:~ (8, х (г), 0) + л,» (Е, х (г), О) х (8)1-' л„ (Ю, х (г), 0) = = — Т (1, х (М)), (6) а, во-вторых, поскольку Р класса С', то по сделанному в п. 2.3А замечанию оЕС'((Р'). Далее, А отображает отрезок ((з, 0) ~ 1, а-.з (Ц в себя и этот отрезок содержится н ЯГ. Следовательно, Ф' содержит прямоугОльник (1, — Ь, 1~+ Ь) х ( — з, з), если Ь > 0 н з > 0 достаточны малы, и на этом прямоугольнике х (г, а) = Х (о (Г, а), х (о (1, а)), а)- (7) ' — функция класса С*.
При этом з мы выберем так, чтобы при )и! < е выполнялись неравенства )1, (а) — 1, ~ < Ь. Тогда, вспомнная определения функций о(, ° ) н 1;( ), мы видим нз (4) н (7), что образ графика х( ) прн отображении Я„есть график функции х(, а): 1г,(и), (а)1» Я» 404 Наконец, дифференцируя (Т) с учетом (1), (6) и равенства а(1, О) =1, йаходим „с„(|, 0)=[ХЯ, х(К), О)+Х„(1, х(Е), 0)х(КЦа„(Ю, О)+ +Х„(1, х(т), 0)=х(!) [ — Т(1, х(1))1+Х(К, х(1)); т. е. верно (2).
° Определение. Пусть функция |и У вЂ” !! по крайней мере непрерывна в открытом множестве У~=!1м х !!" х !!". Интегральный функционал Р(хИ, Мы 1,) = Ъ |.(1, х(1), х(1)) и (8) и называется инвариантным относительно семейства опюбражений (Я„), если для любой функции х( ) ЕС'([|„г,1, К~) такой, что 1(Ю, х(1), х(1))~1,(1(Е,)сУ б (х (, сс), 1, (ы), 1, (а)) = — б (х ( ), Е„1,) (9) для всея достаточно малых и. (Здесь х(, а), 1,(а), 1,(а) построены по х(.), как в лемме, и интервал, в котором имеет место (9), может зависеть от х( ).) Теорема Э. Нет ер. Пусть функции Е, |.„, Е„непрерывны в открытом множестве У~йх)4" х !!" и интегральный функционал (8) инвариантен относительно семейства преобразований класса С', удовлетворяюсцих условшо (1).
Тогда функция <р(1, х, х)=|.а(т, х, х) Х(1, х)— — [|.„(1, х, х)х — Е(1, х, х)'1Т(1, х) (10) постоянна на каждом решении х() уравнения Зйлера — ц (т, х(т), х(1))=|,„(1, х(1), х(1)) (11) таком, что х(.)ЕС'([!ы 11[, !!"), ((1, х(!), х(1))~1о»( (1(1,)сУ и |.4(, х( ), х( )) чС'([1„1,[, Й"*). Доказательство. А) Пусть х( ): [(о 1[ В" то решение уравнения (11), о котором говорится в условии теоремы. Воспользовавшись леммой, построим семейство (х(, а), 1,(а), 1,(а)), где х(, ) — функция класса С' на (1,— б, 1,-~-6) к( — е, з).
Фиксируем отрезок Л = [р, у1 так, чтобы выполнялись неравенства (о 8 <й<1 <!с < у<1,+б, и уменьшим, если нужно, 405 е так, чтобы при ~а~ < е выполнялись неравенства р ( (1,(а) (1,(а) < у. Покажем, что отображение Ф: ( — е, е)- С'(сх, 1(и)х Хй', при котором ос[ (х(, а), 1,(а), 1,(а)) дифференцируемо по Фреше в точке а= О. Ясно, что достаточно проверить это для первой компоненты а[ х(„а). Фиксировав еЕ(0, е) и применяя теорему о среднем (к дифференцируемым отображениям а — х(1, а), г — фиксировано), имеем при [а)(е ! ' х(Е, а) — х(С, О) — ахи(С, О) [ зпр ' '„' ~( сох ~(зцр зцр [хи(Е, с) — хи(с, 0)/- О, соь их[о, и] ! хс(С, а) — хс (С, О) — ах[а (С, О) [ зцр ~ ~( сбь ='зцр зпр (хс,,(1, с) — хс„(1, 0)~ О, соЬ их[охи] при а- О, поскольку х„и хс равномерно непрерывны на компакте ЬХ[ — е, е].
Следовательно, в пространстве Сс (Л, Ки) х(, а)=х(, 0)+сох„(, 0)+о([а[), (12) что и означает дифференцируемость по Фреше. Кроме того, из (12) вытекает, что Ф'(0)=(х„(, 0), [;(0), сс'(0)~. (13) Б) Положим с (а) = (7 о Ф) (а) = Р (х(, а), 1, (а), [с (а)). Согласно (9~ Р (а) = Р (0) и, значит, Р' (0) = =У'(х( ), [си сс)[Ф (0)1=0. Воспользовавшись формулой (9) из п. 2.4.2 для производной интегрального отображения, получаем из (13) 0= 2'(х(.), 1„1,) [Ф'(0)1= = ~ (Ь„(8, х(1), х(с))х„(1, 0)-1- + С; (1, х (Е), х (1)) хис (1, 0)) с[[ + +Е([с х([с) х([с)) 1[(0) !с=о ° (14) По предположению, Ь; (1, х(1), х([)) непрерывно дифференцируема.
Интегрируя в (14) по частям (как в п. 1.4.1) 406 и учитывая (!1), (2), (3) и (10), имеем [Еа ((о хЮ х(1!))ха(1» О)+ +Е(1;, х(1;), х(1!))1~(0)Я.,',= =[7Яп х(1;), 'х(Г,)) Х(1;, х(1;))+(7-(Го х(1;), х(тк))— — Ь„ (1„ х (1,), х (1,)) х (1,.)) Т (1„ х (1,.))),' ,'= = ф (1;, х (1,), х (1«)) — ф (1„ х (1,), х (К,)). Итак, ф(1» х(1«)1 хз(11))=ф(1«х(1«)~ х(!»)). Повторяя те же рассуждения для произвольного отрезка [1„ ф:[1„ 1,], получаем равенство ф(1, х(1), х(1))=ф(1„х(1«), х(1,))=сопз1. ° Сл едет вне. Если в условиях теоремы Нетер вьтолняются предположения а) и б) предложения 2 п. 4.4.3, то-функция ф(1, х, р) = рХ (1, х) —.Я! (1, х, р) Т (1, х) (15) постоянна на каждом реи»енин (х(1), р(1)) системы Га-мильтона (1) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
