Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 62
Текст из файла (страница 62)
С другой стороны, усиленное условие Лежайдра Е,',' (1) > О является составной частью достаточных условий минимума. Из него следует, в свою очередь, выпуклость функции х~-ьЕ(1, х, х) вблизи точек (1, х(1), х(1)), и это наводит на мысль, что выпуклость лагранжиана Е по х во всей области определения должна входить в достаточные условия абсолютного минимума.
Теорема Боголюбова (см. п. !.4.3) подтверждает это соображение. Поэтому мы предположим, что Е;;(1, х, $) > О, т(1, х, $) ~У (3) Наконец, мы снова будем иметь дело с дифференциальной формой Пуанкаре — Картана а=рйх — Я(1, х, р)сЫ.
(В) 'Теорема 1 (достаточные условия минимума). Пусть Е принадлежит. классу С' в открытом множестве Р<" 1(х 1("х 11" и выполняются условия (3) и (4). Пусть, далее, Р определено так же, как в предложении 2 и. 4.4.3, и 6 — открьипое подмножество в Йх Й". Еслй. 1) х( ): 11„1,1 $4э — допустимад экстремаль задачи (1), (2) и ее график 1' = ((1, х (1) ) ~ 1, ( 1 ~< 1, ) с б; 2) существует функция р: О 14" класса О(б), график которой Х=((1, х, р(1, х)) ~ (1 х) Еб)тР и является лежандровым множеством; вм 3) р(1)=р(1, х(1))э=Е,„(1, х(1), хх(1)); то ) Е(1, х(1), х(1)Л ) $ Е(1, х(1), хЯ)й1 (9) ~4 н для любой допустимой х( ): 11,, 1,] 11", удовлвтворяюи(ей граничным условиям (2) и такой, что ее график Г=((1, х(1)) ~ 1, с-1».
1,)<=6. Замечание. Из предложения 3 п. 4.4.3 вытекает, что производная х(1)=Яр(1, х(1), р(1)) непрерывна вме'- сте с х(1) и р(1)=р(1, х(1)). Поэтому х( ) непрерывно дифференцируема, хотя допустимыми мы считаем все кусочно-дифференцируемые кривые. Это обстоятельство не ограничивает применимости теоремы. Действительно, а п. 4.4.1 было показано, что существование непрерывной (и даже кусочно-дифференцируемой) функции р( ) такой, что р(1) Ц(1, х(1), х(1)) является необходимым условием (сильного) минимума, вытекающим из принципа максимума. При условиях (3) и (4) это, как мы видим, означает, что х( ) должна быть непрерывной.
Доказательство, Обозначим р(1)=р(1, х(1)) н, рассмотрим кривые т-((1. х(г), р(1)) ~ 1.ч;га,(,) Х, ;=((1', х(1)',;(1)) ! 1,'~1 ~п -..' осколькуу х(Хс)=х(1,),1=0, 1, и, следовательно, р(Е,.)= = р(ао х(1;))=р(1о х(т~))= р(1;), концы этих кривых совпадают и можно рассмотреть замкнутый контур 7— — у~Х, который получается, если сначала пройти от (г„х(1,), р (1,)) до (т„х (1,), р (1,)) вдоль 7, а затем обратно вдоль у. Ввиду лежандровости Х О= ф м=)м — ) (1й) т Используя неравенство (7), получаем ~ е= ~ рдх — Яй=)(р(1)х(1)-Я(1, х(1), р(()))г(г« т 1а ~ ~1 К.(1, х(1), х(1)) (1=3(х(.)), (11) 8р причем равенство здесь возможно, только если р(1)х(8) — Я(1, х(г), р(Ю)) ааТ.(1, х(Ю), х(г)), т.
е. (снова используя (7)) если р(1) х(г) — Я~(1, х(1), р(1))= 1пах (рх(1) —.В(1, х(1), р)). м ~ и. кол мчп~ По теореме Ферма х(1)=Я~„((, х(1), р(г)). (12) Поскольку график р лежандров, должны выполняться равенства (24) п. 4.4.3, откуда с учетом (12) л й ы +-= — „р;(1, х(1))= +с~ й" з — — Я„.(1, х(1) Р(1)). (13) Согласно (12) и (13) (х( ), р(.)) — каноническая экстре- маль. Но (х(Ю,), р(1,))=(х(1,), р(1,)), и так как (х( ), р( )) тоже является канонической экстремалью (предло- жение 3 п, 4.4.3), то по теореме единственности х(1) —= =х(1), р(1) =р(1). Итак из (-11) м ) =)Л(1, (1),'(1))й(=д( ()), а для остальных допустимых х( ), графики которых лежат в 6 и которые удовлетворяют условиям (2) ~ со ( Ю (х ( )).
Ввиду (10) получаем Ю(х( )) ) Ю(х( )). ° С л е д с т в и е. Если в условиях теоремы б совпадает с проекцией Р на КХ К"=((1, х)), то х( ) доставляет строгий абсолютный минимум в задаче (1), (2). Часть условий только что доказанной теоремы в курсах вариационного исчисления обычно представляют в несколько иной форме, связанной с понятием поля экстремалей. Определение. Пусть Л и 6 — открытые множества в К и К х К" соответственно. Семейство функций (х (, Л): ~1, (Л), (е (Л)) — К" ~ Л Е Л) образует поле вкстремалей, покрываюи(ее 6, если: 1) х(, Л) является экстремалью (решением уравнения Эйлера) задачи (1), (2) для любого ЛЕЛ; 2) отображение (1, Л) ~(1, х(1, Л)) взаимно однозначно и его образ ((1, х) ! х = х (г, Л), 1, (Л)»» 1 (» 1, (Л), Л Е Л) ~ б. 3) функция р: б — К"', определяемая равенствами р (1, х) = Е; (1, х (1, Л), х (1, Л)), (г, х) = (1, х (1, Л)), принадлежит классу С'(6) и имеет лежандров график.
ФунКция и: 6- К", определяемая равенствами и(1, х)=х(1, Л), (У, х)=(1, х(г, Л)), (15) 390 называетая функцией наклона поля. Экстремаль х ( ): [1„1Д- К' включается в поле х(-, ), если ее график содержится в 6 и х(1)=х((„Х) для некоторого ХЕА. Подставляя (14) н (15) в (8) и, вспоминая определение лежандрова множества (п.
4.4.3), мы можем условие 3) переформулировать еще и так: 3') В области 6 интеграл п,,*й (Е„.(1, х, и (1, х)) йх— гц ха — [Е„.(1, х, и(1, х))и(1, х) — Е(1, х, и(1, х))!)й( (16) не зависит от пути интегрирования между точками (1„х,) н (1м х,) (согласно теореме классического анализа последнее равносильно тому, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю). Интеграл (16) называется инвариантным интегралом Гильберта. Теорема 1'. Пусть функция Е удовлетворяет тем жв условиям, что и в теореме 1, и пусть х(.): [1„1,1- — К" — допустимая вкстремаль, график которой содержится в 6.
Если х( ) может быть включена в поле вкстремалей, покрываклцее 6, то х( ) доставляет функционалу (1) минимум в классе допустимых функций, удовлетворяюиулх условиям (2) и таких, что их графики содержатся в 6. Читатели легко убедйтся, что это всего лишь пере- формулировка теоремы 1. Особенно удобна она при и= 1, так как в этом случае условие 3) приведенного выше определения следует из 1) и 2) (см.
второй из примеров лежандровых множеств в п. 4.4.3). Этим замечанием можно пользоваться при решении многих задач. 4.4.6. Сопряженные точки. Достаточные условия сильного н слабого экстремума. В этом пункте мы по-прежнему будем предполагать, что Е Е С' (г'); х ( ) Е С' ([1„111, К ) — допустимая экстремаль задачи (1), (2) п.
4.4.4, вдоль которой выполняется усиленное'условие Лежандра Е„.-„(Г, х(1), х(1)) > О, ~Г(6[1ы Я (1) По непрерывности матрица Е„"„остается положительно определенной в некоторой окрестности Р расширенного графика ((1, х(1), х(1)) ~ 1,(1(Я. Окрестность Р вы- 391 берем так, чтобы ее сечения Рь „Я ~ ((, х, $) Е Р) были выпуклы. Тогда выполняются условия предложения 2 и, 4.4.3 и соответственно мы можем определить область ОаВХВ"хВ и гамильтониан Я: О- и класса С'. Правые части канонической системы х=Яр(Г, х, р), р= — Ж„.(1, х, р) (2) непрерывно дифференцируемы в В, Каноническую экстремаль (х( ), р( )), отвечающую экстремалн х( ), а следовательно, и самое х( ° ) можно продолжить на некоторый интервал, содержащий отрезок (Г„г1). После этого, сузив, если нужно, г', мы можем считать, что )7 имеет вид )7 (((,х, $)(~х — х(г)(<е,я — х(г)1<е, 1,— е<(<г,+е). бе( ~ — ф™ — ~ ) =О.
(4) Доказательства, А) По теореме п. 2,5.7 совокупность производных решений системы (2) по начальным данным при Л=р, образует фундаментальную матрицу решений соответствующей системы уравнений в вариациях $ =Я~,А+Ф„ч, т) = — Ф„$ — М,,Ч 14нтересукяцие нас производные дх~дЛн др/дЛн расположенные в столбец, составляют половину (и из 2й) столбцов Звв Пусть (Г„х„р,)=((„х((ч), Ц((„х(Г,), х(Г,))). По.
строим семейство канонических экстремалей ((х(, Л), р(, Л))( Л-р,~<б), определяемых начальными условиями х(Г„Л) =х„р((„Л)=Л (3) (ср. первый пример лежаидрова множества в и. 4.4.3). При достаточно милом б экстремали этого семейства вместе с (х( ), р( ))=(х(, р,), р(, р,)) содержатся в О при (~~1„я функции х(, ), р(, .), очевидно, непрерывно дифференцируемы (и. 2.5.7). Предложен ие !, Для того чтобы точка т~(1„ГД бмяа сопряженной и Г, необходимо и достаточно, чтобы атой матрицы и в соответствии с условиямн (5) (др/дХ3 с!с«с, =, (ес) (е) Равенство (4) эквивалентно существованию такого иену- левого вектора с~К«, что д, (т р,) -„"~,Г(т, р)сс дх дх с Обозначим з-;, (с ре) сь дх с=! ' « ~Ч .д~-(С, Р,>сС.
с ! Ч(Г) =7.гг$(Г) +ЙЛ И (й) Доказательство. По определению (см. п. 4.4.2) уравненис (7) есть уравнение Эйлера для вторичной экстремальной задачи с лагранжианом = — (4Ч ««4 + 2$'Ьы $ + $'с-««Ц (9) Соответствующий гамильтоннаи «! получается преобразо- ванием Лежандра по $ $= Ч'$-2, Ч )«4 сые+7э $. (10) Будучи линейной комбинацией столбцов фундаментальной матрицы, это тоже решение системы (5), причем в силу (5) Цс,)=0, !)(с,)=с~О. Кроме того, й(т)=0. Итак, равенство (4) эквивалентно существованию нетривиального решения системы (5), у которого $(с,) = = $(т) =О. Б) Л е м м а. Пара (и ( ), Ч ( ° )) яеллетсл решением систелсы (5), тогда и только тогда, когда к( ) решение уравнения Якоби -„",К ~+~ а=Я 1+~..И (7) Чтобы получить второе из этих равенств, заметим, что д*Е ь'дх д дх~ дхх откуда — '.
ах,;Ь=~.— ". $,=~",—." ~,=(Е ц,. д$; дх дх; дх;дх~ 1 / Аналогично Исключая из (10) $, получаем Е = —,' ()~т'Ч вЂ” 2~ ~„ЫЧ+ +Р[Х„Х„Е„„— Х„А;-„'1Ц. (11) Теперь воспользуемся формулами (1!), (12) и (8) п. 4,4.3: Я„(1, х, р) = — ! „(1, х, Е (1, х, р)), ях (1, х, р) = Б (Г, х, р), р= Е„(1, х, Е (1, х, р)). Дифференцируя по х и р, получаем: ~ххах — Тхх р~~хр~ др ~ххах ~хх'раях> Р ур= дх О= — „=Т.„ь+Ь "й„=~, +~..-Ж „.
Отсюда 394 ~„=йт', "-1" ~рх= Тхх ~'ххах д~Х дв~ —. $, + ч~'„— $г =(2~'Л)г ° дх, дхх дх~ дх; «х хх' (12) Я~~хх Ьхх+~'ххххх Х"хх ' Следовательно, (11) можно переписать так: $ — — (т( Я„«1+2$ Я„л«)+ $ Я~„Ц. Согласно предложению 3 п. 4.4.3 пара (9( ), т)( )) тогда и только тогда является решением канонической системы 5=9ч. «) = — 93. (13) когда $( ) является решением (7) и выполняется второе из соотношений (10), совпадающее с (8). Остается заметить, что 'система (13) тождественна (5). ° В) Завершение доказательства.
В первой части доказательства было показано, что (4) эквивалентно существованню нетривиального решения (9( ), «)( )) системы (5), у которого $(Г»)=9(т)=0. По лемме $( ) является решением уравнения Якоби и имеет место (8), откуда Ч(т)=А (т)$(т). Равенство Ч(т)=0 противоречит (по теореме единственности] нетривиальности решеняя, поэтому «) (т) ~ О. Вспоминая определение из п. 4.4.2, мы видим, что (4) эквивалентно сопряженности точки т точке 1«. йй) Доказанное утверждение позволяет дать следующее геометрическое истолкование понятия сопряженной точки. Рис. 39. Пусть снова (х( ), р(.)) — каноническая экстремаль, отвечающая рассматриваемой экстремалн х( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
