Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(10.34) ны Таким образом, искомые условные вероятности получении оценки приближенно (так как в действительности ь%' тс0) могут быть найдены по зависимостям: ~(%" /%"„+ ь%; л) 26%'= Р(%"„„/%'ь л); т (%";„/%'„+ 35%; л) 23%' = Р (%",„/%'„л); (10,35) ~ (%",„/%'„+ (21 — 1) 8%; л) 25%',= Р (%'„'„/%'ь л); ч (%","„/%; — 3%; и) = Р (%" /%'„,'п). Выражения (10.32) и (10.35) позволяют по теореме Бейеса (10,22) найти искомые вероятности, характеризующие положение истинной величины Ж после летных испытаний: Р (%. /% ) (и ~) ( ли/1Р~ ) Я <цйР(в",„/пь ) 1=1 Проследим еще раз последовательность решения задачи.
Перед началом летных испытаний по заданному значениюЗУ и найденному закону распределения р„(Я7) в соответствии с выражениями (10.32) находятся вероятности Р(%';). После каждого (начиная со второго) летного испытания по формуле (10.23) находится оценка %"„„ и в соответствии с ней по формулам (10.35) определяются вероятности '/ 11" 323 Р(Ю„'„~Жь л). По зависимости (10.36) рассчитываются й зна' чений вероятностей Р (Ю',/)Р „,л).
Анализ полученных вероятностей, которые определяют плотность вероятности распределения истинного значения критерия эффективности ч()р'/)р;"„,л) при данной оценке Ю'„'„, позволяет принять решение о цродолжении,или прекращении летных испытаний ракет. Если истинное значение критерия эффективности ранет. ного комплекса Ф' существенно не отличается от требуемого значения )Г,р, то выполнение условия (10.3!) является основайнем для его принятия. В заключение следует заметить, что при оценке резуль. татов испытаний мы использовали лишь малую часть опытной информации, а именно.„ величины отклонений точек падения боевых частей и наличие отказов прн пуске ракеты н зо время ее полета.
В ходе летных испытаний могут быть получены более подробные данные телеметрических, внешне- траекторных, метеорологических'и других измерений, характеризующих условия и качество работы отдельных элементов ракеты. Целесообразность использования этих данных при. расчете эффективности ракеты не вызывает сомнения и эти вопросы будут изложены в последующих главах. Однако при этом мы должны будем использовать опытные да~нные совместно с математическими моделями.
В, этом случае сократится необходимый обьем летных испытаний, но будет частично утеряно нх главное достоинство — воспроизведение реальных условий полета ракеты. Рассмотренный на примере оценки критерия эффективности ракетного комплекса статистический подход к 'решению задачи испытаний имеет довольно общий характер. Аналогичным образом может быть поставлена и решена задача определения точности н надежности оценки любого пара. метра ракеты, фиксируемого в ходе испытаний. й 10.6, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОЦЕНОК ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАКЕТ В ходе опытной отработки часто возникает задача раздедьного определения оценок вероятности безотказной работы ракеты Р' и дисперсии точек падения (а")з.
Иногда это бывает вызвано тем, что систему управления, определяющую величину (ч")', и конструкцию ракеты разрабатывают раз. ные организации. В этих условиях возникает задача о нахождении оценок Р" и (р').з, а также о выборе метода опре. дел ния их достоверности. ффективные сострятельные н несмещенные оценки (ч')з и ' могут быть найдены на основе опытных данных соот. $24 Рз Рг против Рр Р 23Рз (10.37) я =чз против в=аз — 23я.
Такая процедура дает лишь одностороннюю оценку. Проверки гипотез как о положении в, так и Рр имеют аналогичную структуру. Поэтому рассмотрим процедуру проверки применительно к оценке р 1 — Рг вероятности отказа ракеты 'на траектории. Мы хотим проверить гипотезу р<:р' против р>р'. Для этого' выбираются вероятности ошибок первого и второго рода а и р, а также назначаются числа рз<р'<р. Риск, связанный с принятием неправильного решения, моЖет' быть определен следующим образом, Вероятность'считать, что р>р' при р(~, равна а, а вероятность считать д<р' при р)~р' равна 3.
Для проведения проверки в плоскости (т, а) (рис. 10.2) строятся прямые: Л,=й,+зл;'( 7-о="ю+ з~ (10.38) 12 †25 ветственно по формулам ('10.!!) и (10.14). При определении достоверности оценок можно всегда найти такие малые из. менения параметров .+Вв и -~ЪРр, которые практически не меняют эффективности ракетного комплекса. При таких рассуждениях достоверность оценок или объем .испытаний, необходимых для подтверждения этой достоверности, могут быть' найдены из решения уравнения типа (10,2!). Заметим, что эта задача упрощается, так как законы распределения оценок (ч*)з н Р' известны (формулы (10.13) и (10.17), Однако подобная задача может быть решена и более эффективно, если отказаться от мысли, что объем выборки является постоянной величиной.
При определении достоверности оценок параметров (ак)з н Р' методом проверки статистических гипотез используем последовательный критерий А. Вальда !8). ' Особенностью проверки статистических гипотез по последовательному критерию является то, что объем выборки не планируется заранее, а является случайным, Использование дополнительной информации о последовательности появления случайных результатов испытаний позволяет получить более достоверную, чем при классических методах, информацию при том же числе испытаний нли сократить число испытаний при том же уровне достоверности. А.
Вальдом разработана процедура проверки по последовательному критерию простых гипотез типа: !ив где Ьо= !пав — !п ' —" ро 1 — Ро 1 — !) !ив а' Ь,= .1п — ' — !п Ро !.— Ро . 1п 1 — Ро, 1 — Р1 !п — — !и— Р, Ро 1 Ро Плоскость (т, а) зтимн прямыми делится на зоны отклонения, безразличия и принятия нулевой гипотезы (р(~ Р'). Процедура проверки Окпп!а заключается в следуюапоялаяпяия п(ем. После каждого пс- а за пытання откладывает.во' ся точка ио, и; при выходе точки из обларти ,ав безразличия п~риниево мается или отклоняется баэразличйя нулевая гипотеза.
Обларяоа Нетрудно заметить, л «ятил ' что область безразли- чия при такой проце- 'дуре проверки незамк- Р !02 ПРовеРка гппотао пп А ВальпУ нута.- Поз ому число испытаний, необходимых для окончании проверки; является случайной величиной, распределенной на интервале (О, пи). Математическое ожидание числа испытаний,' необходимых для окончания проверки, определяется по формуле А (Р) 1и — + (1 — Е. (Р)) !и— 1 — и М(л) — " ", (10,39) Р1п — '+ (1 — Р) 1и — ' Ро Ро где Е(р) — оперативная характеристика; определяемая нзси- стемы уравнений (10.40) Рм Рь — 2»зр' ~ (10.48) Рп Ро»+2ар ) Такое решение позволяет найти один из интервалов длиной 2 ар, на кбтором находится истинное значение р с вероятностью т 1 — (а+э): р,— 2ор~р~р;, 4йр~р'г~р р„~р~ра+ 2»»р.
(10.44) 12" В пяти точках Ь(Р) находится 'легко и в практике этих пяти точек достаточно для построения оперативной характе. ристики: ~(0)=1; и(ро)-1 — в) ь(Р»)=»ч' У..()= „" „; Ь(1)-О. (10.41) Таким образом, существующий метод дает возможность определить лишь полузамкнутый интервал, на котором расположено истинное значение величин Рр илн в при случайном числе испытаний, необходимых для завершения проверки.
Поэтому. обычно находят число испытаний п,р, определяемое по классическому методу проверки гипотез, разработанному Д. Неймавом н 'Е. Пирсоном. Если проверка не оканчивается при п-п,р, то можно принять решение, используя классическую схему. При таком уречении последовательного критерия случайное число испытаний распределено уже не на интервале (О, оо), а (О, пав). Для проверки гипотез, позволяющих ограничить,с двух сторон интервал, содержащий истиннее значение параметров Рр или а, а также для планирования требуемого,объема испытаний можно предложить .
следующую процедуру проверки гипотез по последовательному критерию. Рассмотрим ее применительно к определению вероятности отказов р 1 — Р . Истинное значение р может лежать в широких пределах. Ьднако всегда можно по априорным данным назначить такой интервал (Р„р,), выход за который истинного значения р практически невозможен. Кроме того, всегда известно, что О<рак..р~р,~ 1, (10.42) Вудем полагать, что задан интервал ~йрр йр, физический смысл которого изложен выше, а также зада~вы вероятности ошибок 1 н 2-го рода а и р. Суть предлагаемой процедуры заключается в одновременной проверке сетки нулевых и конкурирующих гипотез.
Для каждой»ьй пары гипотез выбираем величины р»н и Ры сле-' дующим образом: Для каждой пары гипотез по формуле (10.38) можно' найти уравнения прямых 1,м и йоь Из формул (10.38) вндно,что прямые йц и Ео; (г чье) пересекаются, образуя замкнутую область безразличия А (рис. 10.3).
Таким образом, максимальное число испытаний не равно ою, а является решением системы уравнений: ~1;+,=й„.+,+з 1л; (ос = йо~+ зР (10.45) Но если учесть дискретность числа отказов т, то максимальное число испытаний и „, можно получить из неравенства о о+о + ьм аох йоо завах Ч 1' Окончательно получим (л1 о ы — "ой — 1 где йм+ь Ьм, зо+ь зо определяются по формулам (10.38). Анализ формул (10.38) и (10.46) показывает, что ло,о,зависит от истинного значения величины р, а 'также от заданных а,.р и зр.
При выборе величин р, йр, о и р максимальное число испытаний определяется однозначно. Для случая проверки гипотез о значении о в силу непре.рывности оценки о" л~ ьы — дя оо — аоод В остальноь1 же предлагаемая процедура проверки аналогична описанной выше. Таким образом, может быть найден новый интервал (О, амоо), на котором распределено случайное число испытаний, необходимых для окончания проверки. Предлагаемая процедура ликвидирует два отмеченных выше недостатка последовательной проверки, разработанной А. Вальдом.
При рассмотренной выше процедуре можно по- ' лучить замкнутый интервал, на когррый попадает оценка, а также максимальное конечное числ~ испытаний, необходимых для проведения проверки. Оценим эффективность предлагаемой процедуры. Многочисленные расчеты показывают, что значение лм„„ найденное по формуле (10.48) или (10А7), всегда не превышает усечения пор, определяемого по классическому методу, а иногда уменьшается на 40 — 50%, В табл. 10.1 приведены данные об уменьшении объема испытаний ( о ~~ 100?4, для Т 1 —,(а+р) при усе. л 328 МЪ м~ ф <~ ~ СЫ ч~ а 4 с~ с~ ~. ч~,д 4 > ч, сы ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
