Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет (1049210), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Для решения этих задач в первую очередь необходимо знать закон генерального распределения Р(х). На основе этого закона можно различными методами, основным~из которых является метод максимума правдоподобия, получить формулы для оценок основных характеристик. Отсылая читателя к литературе по математической статистике (например, [19), [Зб)), приведем здесь некоторые основные формулы оценок, которые будут использованы далее в этой книге. Для нормального генерального распределения т (х) = = ехр [— 313 состоятельной несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания т, является величина п ~~~~ х! 1=1 т' = = л л (10.9) Оценка т„' имеет также нормальный закон распределе- ния р (т'„) = )— — — ехр — ",, — (10,10) 7 л Г (и..— ~ )-1 п с математическим ожиданием т„и' средним квадратическим отклонением = .
и Состоятельной несмещенной и эффективной оценкой дисперсии л' является величина л '~', (х! — и ) (лл)т = л — 1 Распределение величины (л — 1) 1а")~ 52 (10.11) (10.12) следует закону 2' с (и — 1) степенями свободы, плотность вероятности которого выражается следующей формулой: ' при г>0, (10.13) 2 г( — ) р % л ' (10.14) 313 Гл — 1! и — 1 где Г ~ — ! — гамма-функция от —. 2 2 Для нормальной генеральной совокупности случайные величины т" и а' независимы.
В практике определения надежности ракетных систем большое значение имеет оценка величины вероятности р по данному числу т появления события А в и независимых испытаниях. Вероятность р является параметром, входящим в распределение дискретной величины Х, принимающей только два значения 1 и О, в зависимости от того, появляется ли событие А в рассматриваемом испытании или нет. Несмещенной состоятельной и эффективной оценкой параметра р является частость появления события А в л опытах: Эта оценка является несмещенной. Ее математическое ожидание А4[р+[ =р, (10.15) а дисперсия О [р+[ р (1 — Р) (10.16) Оценка р' так же, как и 'вероятность р, имеет биномиальное распределение.
Вероятность того,'что событие А появляется ровно т раз, выражается известной формулой )~ (10.17) Характерной особенностью законов распределения оценок, как это видно из формул (10ЛО), (10.13) и (10.17), является то, что они зависят не только от случайной оценки как от аргумента, но и от истинного значения оцениваемого параметра и числа испытаний. В общем виде плотность распределения оценки уч может быть представлена следующим образом: р(у~/у, и», где у — истинное значение оцениваемого параметра. При большом числе испытаний законы распределения (а")'(л — 1) оценок, и р' сходятся к нормальному. Это положение часто упрощает определение точности оценок. Так, при и>50 для решения практических задач законы распределения '(10.!3) и (!0.17) можно заменять нормальными.
Прй ограниченном числе испытаний,оценки неизвестных параметров, находимые, например, по формулам (10.9), (10.11) и (10.!4), представляют собой лишь частные значения некоторых случайных величин. Чтобы получить представление о точности и надежности оценки у* параметра у, широко пользуются понятием доверительного интервала и доверительной вероятности, Раскроем смысл этих понятий. Для каждого малого а)0 можно указать такое ьу, что Вер (у" — йу (у (у" + 6у) = 1 — а, (10,19) Чем меньше для данного а будет величина Ьу, тем точнее оценка у~. На основании выражения (10.19» можно сделать следующее заключение: вероятность того, что интервал (у"— — ьу, у'+ ау) со случайными концами покроет неизвестный параметр у, равна 1 — а. Такой интервал называют- доверительным, а вероятность 1 — а — доверительной вероятностью.
Задачу определения точности н надежности оценки можно сформулировать и несколько иначе. 314 Для каждого малого а>0 можно указать такие неслу. чайные числа у — Ьу;-у+Ъу, что Вер(у — 'Еу <у" <у+ Еу) = 1 — а. 110.20) Выражение (10.20) можно пояснить следующим образом. Если извлекается выборка в а йначений из генерального рас.пределения, соответствующего значению параметра у, тособытие у — Еу <у" <у+ Ьу имеет вероятность 1 — а. Рассмотренные выще законы распределения оценок позволяют найти связь.между доверительными интервалами доверительными вероятностями и числом необходимых испытаний. К Действительно, Вер<у — Еу<у.<йу+у) = х+Ь =,) Р1у"/у л)Ф'"=1— (10.21) г — Ь Таким образом, при известном законе распределения оценки Р(у*/у, а) и известном истинном значении у всегда можно на основании уравнения 1!0.21) определить одну нз величин а, ву, и прн двух других заданных.
$ 1ОЛ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПЫТНОИ ОТРАБОТКИ РАКЕТ После рассмотрения вопросов определения оценок по результатам ограниченного числа испытаний целесообразно вновь вернуться к содержанию этапа опытной отработки ракет. В $10.1 были сформулированы две основные задачи этого этапа. При решении первой задачи дорабатываются конструкции ракеты и других элементов комплекса. Это приво. дит к изменению. генерального распределения искомых параметров.
Однако по ряду агрегатов, систем и машин может быть накоплен статистический материал, позволяющий получить оценки тех генеральных характеристик, которые не претерпевают изменений из-за конструктивных доработок. При решении второй задачи предполагается неизменным генеральное распределение, что дает возможность получить основной статистический материал для получения оценок всех искомых параметров ракет.
'В связи с большой. стоимостью и сложностью организации натурных испытаний элементов ракетного комплекса чаще всего невозможно получить большие выборки. В этом случае весьма ценной является априорная (доопытная) ин.- формзцця об истинном значеннн тех нлн иных параметров, получаемая на стадии проектирования, моделирования и испытаний отдельных узлов или систем. На основании априорной информации можно построить гипотетическое распределение в (х) параметра Х. Например, можно считать, что вероятность безотказной работы ракеты, представляемой на летные испытания, равномерно распределена на интервале от 0,4 до 0,9.
Прн наличии предварительного, гипотетического распределения <~„(х) и полученной в-результате и испытаний оценки х*, можно по теореме гипотез найти апостериорную (послеопытную) плотность распределения истинного значения параметра х: ) Ти ( ) Т (х"~А ~) ()029) Т„(х) Т (х"/х, и) рх где Т(х'/х, л) — плотность распределения оценки х~, зависящая от истинного значения х и числа испытаний и; Т(х/х, л) — плотность распределения истинного значения х при условии получения оценки х" после проведения п испытаний. Таким образом, в ходе проектирования и опытной доработки ракеты необходимо получить предварительные законы распределения интересующих нас параметров Р,(х). При проведении же натурных испытаний можно получить оценки этих параметров х', что позволит прн известных законах Р(х"/х, л) наиболее достоверно судить о положении истинных значений х.
Отсюда становится понятной вся важность получения законов распределения оценок. б (в.б. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК КРИТЕРИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАКЕТНОГО КОМПЛЕКСА Оценки критерия эффективности, получаемые в ходе летных испытаний, являются наиболее информативными. Однако при проведении летных испытаний обычно нет возможности учитывать воздействие противника на ракетный комплекс и действие боевой части по цели. Параметры же, характеризующие вероятность подготовки ракеты к пуску за заданное время, можно определять и без запусков двигателей ракеты, Поэтому в ходе летных испытаний целесообразно фиксировать безотказность доставки боевой части в район цели, а также точность этой доставки. Таким образом, в результате летных испытаний находятся оценки параметров Рр и ч при фиксированных значениях 316 Р„Рпро, тс„Яа, Ф.
Поэтому оценка критерия эффективности по результатам летных испытаний й~;„в соответствии с за- висимостью (10.1) будет определяться оценками Р" и о*'. В =1— ли — 1 — Р,Р;Р„,о 1 — ехр — „, ', (10.23) Оценка вероятности безотказной доставки боевой части в соответствии с выражением (10.14) имеет следующий вид: (10.24) (10.25) с учетом которой определяют оценку (ч*) а. При этих условиях после ряда преобразований и преодоления трудностей, связанных с дискретностью распределения оценки Р' и непрерывностью распределения оценки (ч*)а, может быть получен искомый закон распределения оценки критерия эффективности юп=л 1 ~ ж(1 — Рг) Р» ~ (ай) Л1(1 — 1~ ) и ~ (1 ) м Юли~ (а) Х х' (х — Ы)" ' ехр ~ — „— аФ (х — сЕ)~, (10.26) 317 где т — число отказов.
Оценка Р' подчиняется биномиальному закону распределения (10.!7). Поскольку отклонения точек падения боевой части имеют нормальный закон распределения, то оценка дисперсии (а")' может быть найдена по формуле (10.11), а ее закон распределения выражается через плотность распределения х' согласно выражению (10.13), Таким образом, поставленная задача сводится к определению закона распределения случайной величины Ф";„, являющейся нелинейной функцией (10.23) двух случайных величин Р" и (а )' с известными плотностями вероятности.
Р Можно считать, что причины, вызывающие внезапный отказ и формирующие оценку Р', не зависят от причин, вызывающих рассеивание точек падения н формирующих оценку (аа)'. Однако между этими' оценками все же есть определенная связь. Дело в том, что при отказах на траектории число наблюдений и уменьшается до величины 1 — В л — а — 1, 2 дл а 2»» Ф ~» .
р(= — „. 211з (~,„= Р,Р„ В выражении (10.26) считаются заданными числа У, )с„ »гц, Я»», Рр, л, определяющие истинное значение критерия эффективности )р „, так как в соответствии с зависимостями (10.1) и (10.23) В~»»' =1 — 1 — 0»»Рр 1 — ехр — . (10.27) Я Формула (10.26) на первый взгляд кажется достаточно громоздкой. Однако, задаваясь определенным истинным значением %' „ и числом испытаний п, можно с помощью таблиц биномиального распределения и распределения х' вручную рассчитать кривую т ()р,/Ю'„„, л). При использовании электронных цифровых вычислительных машин такой расчет вообще не вызывает особых трудностей, На рнс, 10.1 показан вид плотности вероятности ~р()э',"„~%»„л) при %'»„=0,61, а=10 и У=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
