Лекция_10 (1048785), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Таким образом, параметры дополнительных элементов системы должны удовлетворять условию .

Движение вновь образованной системы описывается уравнениями:

откуда имеем:

Определив значения коэффициентов системы, найдем связь между конструктивными параметрами системы:

.

Таким образом, зная частоту вынуждающей силы p, действующей на основную массу, можно всегда подобрать параметры и , при которых .

Устройство, использующее явление антирезонанса для гашения колебаний основной системы, называется динамическим демпфером. Его работа иллюстрируется графически:

– собственная частота колебаний системы с одной степенью свободы;

и – собственные частоты колебаний системы с двумя степенями свободы;

– частота вынуждающей силы.

Из приведенного графика видно, что, в случае неправильного определения параметров динамического демпфера Вы можете ввести систему в жесточайший резонанс.

Рассмотрим теперь несколько примеров задач.

Задача 1.

А втомобиль движется по дороге, имеющей периодические неровности. Считая, что профиль дороги описывается уравнением , определить критические скорости движения машины.

Решение

В решении задачи будем использовать уравнение Лагранжа II-го рода. Составим сначала уравнение движения автомобиля. В качестве обобщенных координат примем перемещение центра масс y и угол поворота корпуса автомобиля относительно центра масс .

В этом случае кинетическая энергия автомобиля:

а потенциальная энергия определяется только деформацией рессор:

где и – подъемы переднего и заднего колес при движении автомобиля по профилю дороги.

Учитывая, что путь, пройденный центром масс машины , определим вертикальную координату переднего колеса:

и заднего колеса:

.

Таким образом, после соответствующего дифференцирования выражений кинетической и потенциальной энергий, получим:

Решая эту систему дифференциальных уравнений без правых частей, определим собственные частоты колебаний автомобиля и . Как это делается, вам уже хорошо известно, поэтому можете сделать это самостоятельно, так как сейчас мы не будем на этом останавливаться.

Сейчас же несколько преобразуем правые части уравнений:

где ,

.

После аналогичных преобразований правой части второго уравнения получим:

Поскольку система подрессоривания автомобиля линейна, то при ее исследовании применим принцип суперпозиции. Это позволяет получить решения при синусоидальном и косинусоидальном воздействиях независимо друг от друга. В результате получим критические скорости движения автомобиля:

Задача 2.

Д ля гашения колебаний бака водонапорной башни используют маятниковый гаситель колебаний. Определить параметры гасителя и .

Решение

Составим систему уравнений движения, используя уравнение Лагранжа II-го рода. В качестве обобщенных координат удобнее всего принять горизонтальное отклонение массы от положения равновесия x и угол отклонения маятника .

Д ля определения полной кинетической энергии системы определим все скорости, которыми обладают массы:

– только горизонтальная ;

– горизонтальная и вертикальная .

Координаты маятника легко определяются:

Считая колебания системы малыми, можно принять и , как величина второго порядка малости.

Таким образом, кинетическая энергия системы:

а потенциальная энергия:

После определения соответствующих производных получим:

или

откуда, в соответствии с условием возникновения антирезонанса:

или

Задача 3.

Для гашения крутильных колебаний используют гаситель колебаний Прингла. Определить параметры гасителя m и , при которых амплитуда угловых колебаний диска равна нулю, если жесткость вала, на котором находится диск, равна c.

Решение

Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода. Примем за обобщенные координаты отклонение груза x от положения равновесия и угол отклонения диска от положения равновесия . В этом случае кинетическая энергия:

,

а потенциальная энергия:

После нахождения соответствующих производных получим:

или

или .

Вынужденные колебания при возмущающих силах, изменяющихся по произвольному закону

В этом случае непосредственное аналитическое решение неоднородных дифференциальных уравнений движения системы становится практически невозможным. Единственным способом решения является метод главных координат. Для этого необходимо перейти от выбранных координат к главным координатам. Напомню, что ранее нами была определена связь между этими координатами:

,

где – выбранная обобщенная координата;

– главная координата системы;

– коэффициент собственной формы j-ой обобщенной координаты при k-ой собственной частоте колебаний системы.

Для обратного перехода можно воспользоваться зависимостью:

,

где – приведенная масса системы при k-ой частоте собственных колебаний.

При переходе от выбранных обобщенных координат к главным система дифференциальных уравнений преобразовывается к виду:

где – потенциальная энергия деформации системы при j-ой частоте собственных колебаний.

Как вам известно, приведенная масса и потенциальная энергия деформации системы связаны между собой зависимостью:

.

Обобщенные силы связаны с внешними силами, действующими на систему, следующей зависимостью:

,

то есть для того, чтобы найти обобщенную силу , приложенную к j-ой координате, нужно определить сумму произведений внешних сил, приложенных к системе, на соответствующие им коэффициенты собственных форм при j-ой частоте собственных форм.

Таким образом, систему дифференциальных уравнений можно преобразовать к виду:

Каждое из этих уравнений является независимым, что позволяет решать их независимо друг от друга.

В случае произвольного изменения внешних сил решение каждого из уравнений системы можно искать в форме интеграла Дюамеля:

или

В качестве примера исследуем вынужденные колебания системы, рассмотренной нами ранее в задаче, обозначенной кляксочкой.

Теперь пусть на систему действуют три постоянных момента: .

Уравнения движения такой системы можно получить, используя полученную ранее систему уравнений свободных колебаний:

Для определения обобщенных сил вспомним определенные ранее коэффициенты собственных форм:

Используя эти значения, получим:

Кроме того, ранее нами были определены собственные частоты системы:

Решение первого уравнения системы:

дает нулевое решение .

Решение второго уравнения системы:

будем искать в форме интеграла Дюамеля:

Решение третьего уравнения:

также найдем через интеграл Дюамеля:

Теперь перейдем от главных координат к выбранным обобщенным:

,

Характеристики

Список файлов лекций