Лекция_9 (1048783), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В итоге можно констатировать, что, зная собственные частоты и формы колебаний, всегда можно осуществить переход от выбранных обобщенных координат к главным и обратно. Это обстоятельство весьма важно при исследовании вынужденных колебаний системы.

Нетрудно показать, что дифференциальные уравнения движения системы в главных координатах будут иметь вид:

Но это еще не все. Оказывается, что приведенная масса и энергия деформации системы при одной и той же собственной форме – величины взаимосвязанные. Запишем:

Теперь вспомним систему линейных алгебраических уравнений, которую мы получали при определении собственных частот системы:

, где ,

или

, где .

Для n-ой собственной частоты колебаний системы преобразуем это выражение:

, где .

Таким образом:

Определим для примера со знаком кляксы систему дифференциальных уравнений в главных координатах. Для этого нужно найти приведенные массы и энергии деформации системы . Так как обобщенные координаты выбраны таким образом, что кинетическая энергия имеет каноническую форму записи, то можно воспользоваться упрощенными зависимостями:

Вспомним, что ранее были определены коэффициенты собственных форм:

;

;

,

поэтому:

Для определения энергии деформации системы при разных формах колебаний вспомним, что

Теперь нетрудно записать систему дифференциальных уравнений движения в главных координатах:

Общее решение системы дифференциальных уравнений в случае равенства нулю одного из корней частотного уравнения

Итак, в некоторых примерах мы уже встречались с такими случаями, когда один из корней частотного уравнения равен нулю. В этом случае частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее этому корню имеет вид:

поэтому общее решение с учетом других корней частотного уравнения приобретает следующий вид:

Физический смысл частного решения при нулевом значении одного из корней частотного уравнения представляет собой равномерное движение всей системы как единого целого. Так, для примера «клякса» нулевое значение одного из корней частотного уравнения означает, что все диски могут вращаться равномерно с некоторой угловой скоростью, и на фоне этого движения будут происходить колебания дисков с частотами и . Постоянные интегрирования и определяются из начальных условий движения системы.

Матричная форма записи системы дифференциальных уравнений

Гораздо удобнее исследовать динамику системы с конечным числом степеней свободы в матричной форме. В этом случае как система дифференциальных уравнений, так и решение имеют более короткую и удобную форму записи:

где – матрицы-столбцы обобщенных координат и ускорений;

– симметричная матрица инерционных коэффициентов, то есть ;

– симметричная матрица коэффициентов жесткости, то есть .

В случае, если обобщенные координаты выбраны таким образом, что кинетическая энергия имеет каноническую форму записи, то матрица инерционных коэффициентов становится диагональной, то есть при :

.

Если же принятые обобщенные координаты дают каноническую форму записи потенциальной энергии, то диагональной становится матрица коэффициентов жесткости:

.

Частное решение системы дифференциальных уравнений можно так же записать, используя матричную форму:

,

где – матрица-столбец амплитуд колебаний.

Дифференцируя два раза записанное частное решение и подставив результат в исходную систему дифференциальных уравнений, получим:

или

,

откуда следует, что для получения нетривиального решения необходимо, чтобы

.

Характеристики

Список файлов лекций