Лекция_2 (1048770), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решение

Для составления дифференциального уравнения колебаний маятника воспользуемся квазистатическим методом. Рассмотрим силы, действующие на маятник.

Считая колебания малыми, запишем уравнение моментов всех внешних сил относительно точки подвеса В:

.

Для определения неизвестных величин R и α запишем следующие соотношения (см. дополнительный рисунок):

Полагая, что sinα=α, подставим все полученные соотношения в исходное уравнение:

Таким образом, обобщенная масса a=J_B, обобщенная жесткость c=mω²rl, и собственная частота колебаний:

.

Свободные колебания системы с одной степенью свободы

при наличии силы трения

«Вязкое» трение

Пусть теперь на систему действует еще и диссипативная сила. Рассмотрим сначала наиболее простой случай – случай «вязкого» трения. Как мы уже говорили, сила трения в этом случае линейно зависит от обобщенной скорости движения системы и направлена всегда в противоположную сторону, то есть:

.

Уравнение движения при такой зависимости будет следующим:

.

Это уравнение удобно привести к следующему виду, уже известному нам в более простом случае:

, при этом .

Для нахождения корней этого дифференциального уравнения необходимо составить характеристическое уравнение:

, корни его определяют решение.

Подкоренное выражение, в зависимости от соотношения параметров n и k, может быть отрицательным, положительным или нулевым. В соответствии с этим и решение исходного дифференциального уравнения распадается на три случая.

1. n<k – случай малого сопротивления или затухающих колебаний.

При таком соотношении n и k можно записать:

, где

i – мнимая единица;

.

Решение исходного дифференциального уравнения записывается в следующем виде:

,

где постоянные интегрирования С₁ и С₂, как и ранее для консервативной системы, определяются из начальных условий движения системы. То есть в момент времени t=0 должны быть известны начальная координата q₀ и начальная скорость .

Из первого условия находим, что С₁= q₀.

Из второго условия имеем:

отсюда .

Для получения более наглядного решения поступим так же, как мы это делали для консервативной системы. Обозначим , .

Тогда, подставив эти выражения в исходное решение, после нескольких преобразований получим:

Как видно, при наличии вязкого трения движение системы описывается непериодическим законом, график которого имеет вид:

Однако в теории колебаний такое движение называется периодически затухающим.

Величину k₁ называют частотой затухающих колебаний. Эта величина дл любой данной системы постоянна и определяется только ее конструктивными параметрами. Соответственно и длительность одного периода величина постоянная.

.

Для оценки процесса затухания в теории используют коэффициент затухания, который определяется как отношение двух последовательных максимальных отклонений системы от положения равновесия:

Как видно из полученного соотношения, изменение амплитуды затухающих колебаний при «вязком» трении подчиняется закону геометрической прогрессии.

Однако, чаще для оценки процесса затухания используют понятие логарифмический декремент затухания δ.

Определим из последнего выражения величину n:

,

и подставим ее в зависимость, определяющую частоту затухающих колебаний:

Эта зависимость показывает, что даже при значительном затухании частота затухающих колебаний k₁ мало отличается от частоты собственных колебаний k консервативной системы.

Так, пусть на каждом периоде колебаний амплитуда уменьшается в 2 раза, то есть ψ=2, δ=lnψ=0,693. Подставив эту величину в формулу (*), получим:

.

На фазовой плоскости затухающие колебания изображаются семейством спиралей, закручивающихся к началу координат:

1. n>k – случай большого сопротивления или апериодическое движение.

В этом случае оба корня характеристического уравнения вещественны и отрицательны:

.

Общее решение дифференциального уравнения описывается в следующем виде:

,

при этом постоянные интегрирования C₁ и С₂ находятся, как и ранее, из начальных условий движения системы.

Графическое изображение закона движения системы во времени имеет вид:

1. n=k – предельный случай апериодического движения:

.

Решение дифференциального уравнения записывается в виде:

,

где постоянные интегрирования С₁ и С₂ находятся из начальных условий движения системы.

Фазовый портрет двух последних случаев имеет вид:

Характеристики

Список файлов лекций