Лекция_1 (1048769), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

J – момент инерции стержня относительно точки подвеса.

Потенциальная энергия системы складывается из двух составляющих: потенциальной энергии деформации пружины U₁ и изменения потенциала силы тяжести U₂:

, где

с – угловая жесткость пружины;

.

Определим теперь составные части уравнения Лагранжа II-го рода.

Сила трения в шарнире по условию задачи отсутствует, и другие внешние силы на рассматриваемую систему не действуют. Следовательно, . В итоге имеем:

.

Аналогичное уравнение можно получить, используя принцип Д’Аламбера. Для этого запишем уравнение суммы моментов, действующих на систему, относительно точки подвеса и приравняем ее к нулю.

На стержень действуют следующие моменты: от силы инерции – , момент от пружины (– ) и момент от силы тяжести (– ). Таким образом, в соответствии с принципом Д’Аламбера, можно записать:

.

Как видно, результат в обоих случаях совпадает.

Пример 2

Метод Д’Аламбера.

Анализ системы показывает, что система обладает двумя степенями свободы. Следовательно, для полного описания ее состояния необходимо иметь два уравнения. Примем в качестве обобщенных координат перемещение груза по балке x и угол поворота балки φ.

Запишем уравнение равновесного состояния груза массой m на балке, пренебрегая силой трения между им и балкой:

, где

– центробежная сила, действующая на груз при повороте балки с угловой скоростью .

Второе уравнение получим из условия равновесия моментов, действующих на балку:

.

Угол поворота балки φ складывается из двух составляющих: статической φ_ст и динамической φ_д. Угол φ_ст определяется деформацией пружины в равновесном состоянии. В этом случае на балку действуют только два момента: момент от грузa mgx и момент от пружины cl²φ_ст. Так как система в этом положении равновесна и другие момента на нее не действуют, можно записать:

.

Учитывая, что φ_ст=const, имеем:

.

Таким образом, имеем:

Система уравнений, таким образом, имеет вид:

Уравнение Лагранжа II-го рода.

Определим кинетическую энергию системы:

,

и потенциальную, которая в данном случае определяется только деформацией пружины:

.

Элементарная работа внешних сил по обобщенной координате x определяется как , а по обобщенной координате φ .

Таким образом, можно определить составляющие уравнения Лагранжа II-го рода:

В результате имеем:

Как это ни странно, но во втором случае система уравнений несколько отличается от первого. То есть во втором уравнении появился дополнительный член . Для того, чтобы понять это, вспомним Теоретическую механику, из которой известно, что при сложном движении возникает сила Кориолиса.

Таким образом, использование уравнения Лагранжа II-го рода практически всегда гарантирует учет всех «видимых» и «невидимых» сил, чего не может гарантировать принцип Д’Аламбера.

Итак, теперь, после того, как мы рассмотрели методы составления физических и математических моделей механических систем, необходимо перейти к рассмотрению методов решения и анализу полученных уравнений.

Метод решения уравнений определяется в первую очередь числом степеней свободы, которым обладает система. Поэтому начнем с наиболее простых систем, обладающих одной степенью свободы.

Системы с одной степенью свободы

В общем случае движение любой механической системы с одной степенью свободы происходит под воздействием четырех сил: силы инерции , силы трения или диссипативной силы R, силы упругости или восстанавливающей силы F и внешней или возмущающей силы P(t).

Дифференциальное уравнение в таком случае, очевидно, нетрудно составить, если использовать принцип Д’Аламбера:

.

Теперь немного остановимся на рассмотрении природы возникновения каждой из сил. Наиболее просто определяется природа возникновения силы инерции, поскольку она подробно была рассмотрена в курсе «Теоретическая механика».

Природа восстанавливающей силы F может быть самой разнообразной, но всегда она является функцией обобщенной координаты (смещение системы), поэтому ее еще называют позиционной. В зависимости от вида функции этой силы, механические системы разделяют на линейные и нелинейные. Для линейной системы эту функцию записывают в виде:

, где

с – обобщенный коэффициент жесткости системы;

q – обобщенная координата.

Рассмотрим несколько примеров определения обобщенного коэффициента жесткости системы:

Во всех приведенных примерах E – модуль упругости первого рода, J – момент инерции поперечного сечения балки, жесткость цилиндрической пружины определяется как , где G – модуль упругости второго рода, d – диаметр сечения витков, D – диаметр пружины, n – число витков.

Следует отметить, что не всегда обобщенный коэффициент жесткости определяется упругими свойствами системы. Приведем несколько примеров.

1. Маятник в поле силы тяжести.

У равнение движения такого маятника имеет вид:

.

Как видим, такая простая система как математический маятник, представляет собой нелинейную систему.

Очевидно, если считать колебания маятника малыми, то есть отклонения системы от положения равновесия небольшими, то можно принять допущение, что , и тогда система становится линейной:

.

При этом жесткость системы определяется как .

1. Маятник с пружиной.

В этом случае на систему действует момент от деформации пружины , поэтому уравнение движения имеет вид:

,

или для малых колебаний:

,

то есть коэффициент обобщенной жесткости .

1. Массивный диск на валу.

У равнение движения такой системы имеет вид:

, где

J – момент инерции диска,

– коэффициент обобщенной жесткости системы, при этом

G – модуль упругости второго рода, J_p – полярный момент инерции сечения вала.

Как правило, диссипативные силы или, проще говоря, силы трения зависят от скорости движения системы и направлены противоположно движению. Появление силы трения приводит к потере энергии и, вследствие этого, к затуханию колебаний системы.

Зависимость диссипативных сил от скорости движения системы определяется, в первую очередь, природой возникновения. В теории колебаний механических систем используют, как правило, два вида трения: «вязкое» и «сухое».

«Вязкое» трение иногда называют линейным, так как эта сила прямопропорционально зависит от скорости движения системы:

« Сухое» трение или трение Кулона имеет уже сугубо нелинейную характеристику:

Иногда рассматривают движение механической системы при воздействии на нее комбинированной силы трения, представляющей собой линейную комбинацию «сухого» и «вязкого» трения:

И, наконец, иногда используют нелинейную зависимость силы трения от скорости движения. Как правило, она имеет показательную зависимость.

О внешних силах мы уже с Вами говорили. Их появление в системе приводит к вынужденным колебаниям. Законы изменения внешней силы P(t) во времени могут быть самыми разными. В дальнейшем мы с Вами научимся решать задачу вынужденных колебаний при разнообразных законах изменения силы P(t).

Начнем исследование динамических свойств системы с одной степенью свободы с самого простого случая, когда на систему действуют только две силы: сила инерции и восстанавливающая сила. При этом рассмотрим сначала колебания системы при линейной зависимости восстанавливающей силы.

Характеристики

Список файлов лекций