11 Wavelet преобразования (1044257)
Текст из файла
3
Лекция 11. WaveLet- преобразования
WaveLet-преобразование является альтернативой преобразованию Фурье в тех случаях, когда сигнал не носит периодического характера. Различают непрерывное и дискретное WaveLet-преобразования. Предполагается, что все интегралы, рассмотренные ниже, существуют
Непрерывное преобразование.
Пусть имеется функция и некоторая функция
- материнская функция. Рассмотрим числа вида
(1)
Если , то в результате получаем обычное преобразование Фурье ( параметр
не используется по понятной причине). Формула (1) определяет общее Wavelet преобразование. Существует формула обратного преобразования, позволяющая в некоторых случаях восстановить исходную функцию по ее преобразованию. Однако основной смысл преобразования (1) заключается в другом. Величина
не зависит от параметров. Это означает, что вектор, заданный функцией
, имеет постоянную длину в смысле пространства
. Предположим, что удалось найти такие значения параметров, для которых
достигает локального максимума. Это означает, что проекция функции
на соответствующую функцию
имеет максимальное значение, поэтому графики этих функций аналогичны. Положив
, получим невязку, для которой решается такая же задача. В результате получаем приближение исходной функции функциями, порожденными с помощью функций
. Это дает альтернативное описание исходной функции. В зависимости от того, какого рода особенности требуется обнаружить, выбирают вид материнской функции. При цифровой обработке, когда исходная функция задана лишь в отдельных точках, используется дискретное преобразование. Оказалось, что и в общем случае удается построить теорию, напоминающую теорию преобразования Фурье.
На практике, в качестве материнской фуекции при указанном подходе часто используют функцию ( мексиканская шляпа). Константу
определяют из условия нормировки
Шкалирование
Рассмотрим множество функций на вещественной оси. Пусть
, причем функции
образуют ортонормированную систему. Это означает, что
(2)
Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через
Предложение. Имеет место формула
(3).
Обратно, из (3) следует (2)
Доказательство. Имеем
. Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием,
. С учетом (2) это означает, что
. Далее, пусть
. Преобразование Фурье этой функции есть
. Теперь
, так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство
. Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается
. Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.
Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через
.
Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.