Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Дальнейшее увеличение числа весовых коэффипнентов не ухудшает характеристик, но является излишним. Исследования этого метода синтеза приведены с помощью ЭВМ. Хотя при синтезе с помощью фильтра с конечной импульсной характеристикой можно достаточно хорошо реализовать ФЧХ (например, точно линейную, как описывается в гл.
9), при эквивалентных значениях задержек и числе весовых коэффициентов частотная характеристика реализуется лучше при синтезе с помощью БИХ-фильтра, Рассмотрим теперь несколько примеров синтеза БИХ-фильтров с использованием метода наименьших 231 о ч в в са Ю са 1ЗО в. О е 100 1о 0,125 0,250 0,37 Частата (частота отсчета раева 1) 1О не о 8 З -10 л в , -го " -зо с т й — 40 а 0 м -50 в о 0,125 0,250 0,575 0.500 Частота (частота отсчета равна 11 Рис. 10.18, Синтез низкочастотного БИХ-фильтра, обладающего практически нулевой фазой, с использованием метода нанлчсньших квадратов дли определении Л (2) и В 12) на рис. 10.17 квадратоз.
Эти примеры аналогичны приведенным в гл. 9 и имеют те >ке параметры, На рис. 10.18 приведены результаты синтеза низкочастотною БИХ-фильтра. Отметим, что частотные характеристики являются равномерными в полосе пропускания и имеют значительные выбросы за ее пределами. Заданное требование нулевой фазы достаточно хорошо выполняется на всех частотах, за исключением области перехода от полосы пропускания к полосе подавления. На рис, !0.19 представлены результаты другого синтеза.
В этом случае для получения более резкого среза характеристики введены различные множители стоимости. Полученный результат достигнут за счет некоторой неравномерности в полосе пропуска- 232 Ш а м 0 с м и -1О о и в с -го а -30 с й -40 й е ааа -50 о М -50 о Рлщ 10.19. Синтез фильтра, аналогичного нрнисдсиному на рис. 10,18, с испольнаианисм для улучшения характеристик и полосе пропусканин нсраиномсрной функции стоимости иия, В обоих вариантах БИХ-фильтры имеют 10 весовых коэффициентов в иерекурсивной части и 9 весовых коэффициентов в схеме обратной связи, при этом устройство с А(2) является некаузальным. При расчетах заданы 28 равномерно отстоящих друг от друга частот.
На рис. 10.20 приведены результаты адаптивного синтеза другого, низкочастотного БИХ-фильтра, для которого задана линейная ФЧХ в обеих полосах. Здесь такое же распределение весовых коэффициентов, ио устройство с А(2) в этом случае является каузальным Как показано на рис. 10.20, при этом введены 233 а о в о ы я а ю 1ЗО 4 'О. о о 1ЗО с о е — 1ЗО 10 1О -40 -50 о 0,500 0,250 0,375 0,125 Частота 1частата отсчета равна 11 1О 'т о о с И -10 а о — 20 й к -зо а а — 40 о с э — 50 о Рис.
10.20. Синтез низкочастотного БИХ-фильтра с заданной линейно неменяю- щейся фазой различные множители стоимости. Так же, как и в примерах на рис, 10.18 и 10.19, графики получены расчетом на ЭВМ не только для заданных частот, но и для большого числа промежуточных значений, Требование линейности ФЧХ хорошо выполняется в полосе пропускания, но практически не реализовано в полосе подавления. Видно, что вполне удовлетворительно реализована ЛЧХ. На рис.
!0.21 приводится пример специального фильтра, для которого заданы линейная ФЧХ и пилообразная в логарифмическом масштабе АЧХ. Проектирование такого фильтра затруднительно без адаптивного синтеза. Отметим, что при увеличении числа весовых коэффициентов и задании требований к линейности ФЧХ для большого числа частот можно получить характерис- 234 ао 0 й а о — 10 й -го Е -Зо й и о 0,125 0,250 О,З75 О,аао Частота (частота отсчата равна !1 Рис, 10.21. Адаптивный синтез 8ИХ-фильтра с линейно изменяющейся фазой и пилообразной (н логарифмнческом масштабе) А11Х тики, более близкие к заданным. В настоящее время нет способа точной оценки приближения как функции числа весовых коэффициентов н числа задаваемых точек.
Однако при использовании ЭВМ этого можно достичь методом проб и ошибок. Такой итеративный процесс можно реализовать на персональной ЭВМ или на терминале ЭВМ коллективного пользования с временным разделением. Теперь необходимо рассмотреть задачу, которая часто возникает при синтезе БНХ-фильтров описанными методами. Для этого обратимся к схеме на рис. 10.17, Трансверсальные фильтры А(г) и В(г) легко построить с помощью процесса адаптации по методу наименьших квадратов или другого алгоритма, использующего среднеквадратическую оценку (например, по алгоритму последовательной регрессии для нерекурсивных фильтров, кото- 23$ рый описан в гл.
8). Задача состоит в том, что при использовании в синтезируемом фильтре на рис. 10.15 обратной связи с передаточной функцией В(г) иногда оказывается, что петля обратной связи является неустойчивой. Передаточная функция синтезируемого фильтра имеет вид А (2)/[! — В (г)).
(10.22) Каузальный фильтр является устойчивым только тогда, когда все КОРНИ 21 22, ... гм ПОЛИНОМа 1 — В (г) (10.23) находятся внутри круга единичного радиуса на г-плоскости. Полипом (!0.23) можно разложить на множители 1 — В (2) = 2 (2 — гз) (г — га) ... (г — гм). (10,24) Во всех случаях можно получить устойчивый БИХ-фильтр из неустойчивого, если все корни (!0,24), находящиеся вне 1круга единичного радиуса, заменить на обратные величины.
Тогда полученный устойчивый фильтр будет иметь АЧХ, идентичную характеристике неустойчивого фильтра, которая, в свою очередь, аппроксимирует заданную. Однако ФЧХ может сильно отличаться от первоначально заданной. Замену корней во всех множителях (10.24), имеющих корни вне окружности единичного радиуса, легко осуществить подстанов1кой г — ' вместо г, Другими словами, положим, что множитель в (10.24) имеет вид (10.25) (г — гр), где [г [) 1. Тогда в полиноме его заменяют на множитель (г — ' — гр). (10.26) Остальные множители, имеющие корни внутри окружности единичного радиуса, входят в (!0.24) без изменений.
При перемножении всех сомножителей получается новая передаточная функция В(г) в (10.24), реализация которой в схеме на рис. 10.15 приводит к устойчивому БИХ-фильтру. Замена сомножителей для обеспечения устойчивости не влияет на АЧХ по следующей причине. Пусть гр — действительная величина. Тогда в соответствии с (7.19) один из сомножителей, входящих в коэффициент передачи по амплитуде, равен [г — яр[, где г=еа", и очевидно, что [г — гр[ = [г ' — гр[для всех г=е/". (10.27) Пусть теперь гр — комплексная величина, Тогда комплексно-сопряженная величина йр также должна быть корнем знаменателя в передаточной функции О(г). Заменим множители (г — гр) и (г — гр) на (г-' — гр) и (г ' — Яр).
Тогда снова для общего значения г на окружности единичного радиуса [(г — гр) (г — гр) [ = [(г 1 — гз,) (г 1 — 2р)[ для всех 2 = е/~. (101352 236 Аналогичные рассуждения справедливы для всех сомножителей, заменяемых для обеспечения устойчивости. Отметим, что при такой замене не сохраняется ФЧХ, В результате полученный БИХ-фильтр может иметь ФЧХ, сильно отличающуюся от заданной даже при очень близкой к заданной АЧХ. Фактически представленный на рис. 10.18 БИХ-фильтр обладает описанным выше видом неустойчивости.
Прн замене полюсов в соответствии с (10,26) получаем устойчивый фильтр, приведенный на рис, 10.22, который, как и показанный на рис. 10.!8„ имеет 10 весовых коэффициентов в нерекурсивной части и 9 весовых коэффициентов в схеме обратной связи, Здесь АЧХ близка к заданной, а ФЧХ сильно отличается от заданной. На рис.
10.23 приведен график распределения нулей и полюсов переда- ! 155 о о -1ао 1О ш о о 5 -15 о 2 -зо 2 -зо с *„-ао и 'Э вЂ” 50 й -5О 0,25 0.125 пассоса 1еастаса отсеееа рав а 11 Рис. !0.22. Синтез аналогичного показанному на рис. 10.18 БИХ-фильтра, или достижения устойчивости которого приняты обратные значения полюсов, расположенных вне области устойчивости 237 ба+ а, г '+з 1+э, — '+Ь;з-т (10. 29) коссе едининнога уса ном маснггабе из нулей накоза пределами нка Рис.
10.23. Синтез БИХ- фильтра при использонании звеньев с двумя полюсами, реализующих передаточную функцию 1 — В (а) 239 точных функций фильтров рис. 10.18 и 10.22 и показано, как осуществляется замена полюсов на обратные величины в соотвстствии с (10.26). Для выполнения требований к АЧХ и ФЧХ с сохранением устойчивости адаптивного БИХ-фильтра существуют, по крайней мере, два основных подхода. В общем виде рассмотрим кратко каждый из пих. Схема, реализующая первый способ, приведена на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
