Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В данной главе рассматривается другой вид моделирования — обратное моделирование и приводятся примеры, иллюстрирующие применение этого метода при решении практических задач, Обратная модель некоторой системы с неизвестной передаточной функцией представляет собой систему с передаточной функцией, которая я некотором смысле является наилучшим приближением функции, обратной неизвестной передаточной функции Иногда импульсный отклик обратной модели содержит задержку, которая специально вводится для лучшего приближения, Чтобы понять важность обратного моделирования, лучше всего показать его полезные приложения.
Одним из таких приложений является обработка речевых сигналов, о когорой говорилось в гл. 8. В данной главе рассматриваются приложения к системам связи и синтезу цифровых фильтров. Кроме того, возможно применение этих методов в системах управления, н которых обрагная модель неизвестной системы используется для формирования сигналов управления этой системой. Если характеристики системы неизвестны или мсдчеиио меняются, необходимо вводить адаптацию. Более подробно приложения к системам управления рассматрииаются я гл.
11 Кроме того, в 118, 31~ рассматриваются другие приложения этих методов. Из приложений к системам связи в данной главе обсуждаются такие дисперсиоиные каналы, как телефонные и радиоканалы. Дисперсиоиным является капал, и котором сигналы иа различных частотах распространяются с различными скоростями или с разли шыми задержками, для описания этих понятий предположим, 211 что канал имеет передаточную функцию Н(го), где о) — нормированная частота. При умножении Н(о)) на е->"" в канал вводится задержка на п временных шагов. В более общем случае при умножении Н(о)) на е >е, где 9 — функция от е), в канал вводится групповая задержка на дО/п>го временных шагов [11. В физическом канале — акустическом или радиолинии — суммарная или общая групповая задержка равна протяженности канала, деленной на скорость распространения сигнала.
Говорят, что канал является дггсперсионпыл>, если групповая задержка представляет собой непостоянную функцию частоты (т, е. если г(зО»йог~0) 121. В дисперсионном канале для его «выравниваниял, т. е. для создания частотной и фазовой характеристик в полосе передачи сигнала, обратных характеристикам канала, и тем самым для компенсации дисперсии, на приемном конце можно поместить адаптивный фильтр.
На вход приемника поступает сигнал, представляющий собой свертку переданного сигнала и импульсного отклика канала. Обеляк>ший фильтр на входе приемника компенсирует характеристику канала и восстанавливает первоначальную форму сигнала. При неизвестных или медленно меняющихся во времени характеристиках канала снова необходимо вводить адаптацию. ш„м нензвестнай системы . Ихсан снтнез 'з а) штм неизвестной зхас снтн Общее опмеание обратного моделирования На рис.
10.1,а показан один из способов проведения обратного моделирования. Наблюдение неизвестной передаточной функции неизвестной системы осуществляется по входному сигналу з>м Внутренний шум неизвестной системы представляется адднтивным шумом па на ее выходе. Выходной зашумленный сигнал неизвестной системы хе подается на вход адаптивного фильтра.
В результате процесса адаптации сигнал на выходе адаптивного фильтра является наилучшим (по критерию минимума СКО) приближением сигнала на входе неизвестной системы. Как и в предыдущих рассуждениях, в общем случае минимальное значение СКО зависит от числа весовых коэффициентов, поэтому в некоторых случаях минимальное значение СКО можно снизить, увеличивая число весовых коэффициентов адаптивной системы. Предположим в данном случае, что шум >ге равен нулю и в результате процесса адаптации значение ошибки ей очень мало. Пусть также мало значение )г для метода наименьших квадратов (см. гл. 6); тогда процесс сходимости является медленным, и относительным средним значением СКО можно пренебречь.
В этом случае импульсная характеристика адаптивного фильтра по существу не меняется во времени. Его передаточная функция об* ратна передаточной функции неизвестной системы, Передаточная функция последовательно включенных неизвестной системы и адаптивного фильтра в установившемся режиме равна единице, 212 б) Рие. !0.1. Виды адаптивного обратного моделирования: без задержки (а) и о задержке)) (б) а импульсная характеристика — единичному импульсу без задержки. Следует отметить три фактора, ограничивающие возможность построения обратной модели с малым значением СКО. 1.
Наличие шума неизвестной системы пй, что приводит к возникновению шума на выходе адаптивного обратного фильтра. Кроме того, шум >ге влияет на импульсную характеристику адаптивного обратного фильтра в установившемся режиме. Эта импульсная характеристика является оптимальной в смысле мини. мума СКО при совместном решении задачи подавления шума п» и построения обратной модели неизвестной системы. При наличии шума передаточная функция адаптивного фильтра в установившемся режиме в общем случае пе является обратной к передаточной функции неизвестной системы. 2.
Вообще неизвестная система является каузальной, и сигнал за задерживается при прохождении через физическую систему. При таких условиях необходимо, чтобы обратный фильтр был устройством с предсказанием, а таким устройством может при- нц быть только каузальный в статисти геском смысле адаптивный фильтр. Во многих приложениях допустима обрат- 213 ная система с задержкой, которая исклю ~аст необходимость предсказания для адаптивного фильтра.
Этот случай представлен ца схеме рис 10.!,б. Включение задержки на Л отсчетов позволяет намного уменьшить минимальное значение СКО и приводит к тому, что импульсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы и адаптивного фильтра в установившемся режиме приближенно представляет собой импульс с задержкой Л, Кроме того, обратная модель с задержкой имеет свои преимущества в случаях, когда передаточная функция неизвестной системы имеет нули за пределами круга единичного разиуса ца г-плоскост44 Тогда за пределами круга единичного радиуса располагаются полюса обратной передаточной функции.
Для того чтобы такая обратная система была устойчивой, необ. ходнмо чтобы импульсная характеристика была левосторонней по осн времени (т. е. некаузальной). Однако некаузальную импульсную характеристику с задержкой можно приближенно представить сдвинутой по оси времени каузальной импульсной характеристикой. 3. Адаптивный фильтр, реализованный в виде адаптивного трансверсального фильтра, обладает конечной импульсной характеристикой.
В этом случае возможна только приближенная реализация импульсной характеристики оптимальной обратной модели для системы с бесконечной импульсной характеристикой. При отсутствии шума пх обратные фильтры эффективно реализуются, если достаточно число весовых коэффициентов и правильно выбрана задержка Л. Вообще выбор задержки не является критичным, и если в конкретном при.чоженни ее наличие дает какие-либо преиму'цества, то можно выбирать Л равной половине времени задержки адаптивного фильтра. Кроме того, оказывается, что при построении обратных систем по схеме рис, 10.1,б эффективными являются намного меньшие значения задержек, обеспечивающие малое значение СКО. При наличии шума пч на выбор Л оказывают некоторое влияние его свойства, Помимо этого, если шум пх имеет большую амплитуду, то это приводит к искажению оптимального вектора весовых коэффициентов обратного фильтра.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные задачи оптимального моделирования. При этом вывод оптимальных векторов весовых коэффициентов осуществляется для идеального функпнонирования, поскольку в данном случае не учитывается относительное среднее значение СКО. Такое функционирование может быть достигнуто при уменьшении скорости адаптации в пределе до нуля. Обратимся к схеме на рис, !0,!,б, для которой Р(г) — передаточная функция неизвестной системы, гр„(!) — автокорреляционная функция входного сигнала з, Ф,х(г) — энергетический спектр (7.42), Н(з) — передаточная функция обратного фильтра с задержкой.
Предположим, что Н(г) описывает нерекурсивный 2!4 адаптивный ч ильтр с фильтр с бесконечной двусторонней импульсной характеристикой. Тогда из (7.67) рабочая функция 5=<рая(0)+ ~ у пйш„<р,„(1 — т) — 2 ~ ш,4рах( — !). (10.1) (= — х 4= — я=в Как и ранее, оптимальный вектор весовых коэффициентов %х найпо весовым коэ дем, приравнпвания нулю производные (1О.!) по песо 4. коэффициентам. Таким образом, — = 2 ~ ш,(рхх(й — !) — 2грех ( — й) =- О. дмь (!0.3) Следовательно, ш,* зарх,(уг — !) = т„а(я) 4= — о Лля вывода (!0.2) из (!О !) использованы соотношения (7.39) и (740). Здесь ш*~ снова обозначаст оптимальное значе- ние весового коэффициента.
Соотношение [!0,2) можно преобразовать аналогично тому, как из (7.3) при Ь„=О получено (7.8). Свертка левой части (10.2) азовзнис оптимально- является произведением, поэтому з-прсо разовз ис го вектора весовых коэффициентов дю х ~~~ха (~) Н" (а4 ==а-преобразование от [%'~,) = Шхх Таким образом, г-преобразование оптимальных весовых коэф- ф 4 г нтов равно отношеншо взаимного энергети с го эне гетического спект а сигна.чов х и г( к энергетическому спектру входного сиги .. д ала а ап- тивной модели х.
Проанализируем теперь спектры (!0.3) для схемы на рис, 10.1,б. Из (7.48) энергетический спектр входного сигнала Фхх (з) = Фхх (з) [Р (х) ! + Фхх (з) ° (10.4) 3 есь принято, что шум неизвестной састемы и входной сигнал являются независимыми. Взаимный спектр ха в десь и нанти следую"цим образом. Из (7.47) имеем Фах (г) = 6 (г) Фаз (г), (10.6) где 6(г) — передаточная функция от 4( к х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
