Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 39
Текст из файла (страница 39)
(9.17) г-! ! 197 Равенство (9.17) получено исходя из того, что синусоидальная и косинусондальная функции некоррслнрованы, а средний квадрат синусоидального сигнала равен половине квадрата его амплитуды. '!'аким образом, из (9.!7) находятся все элементы матрицы гч в (9.12). Аналогичным образом могут быть найдены элементы вектора взаимокорреляционпых функпнй Р.
Из (7.37), (7.63), (9.10) н (9, ! 1) имеем гр„„( — гг) = Е (х(г — пТ) Й (!)) = Е ~ ~„"сг 81п 2п гг (1 — пТ! ~; ат г згп (2п (юг+ От) 1 г=! !!! ! и Е ~', а! сгз!и 2п (г (1-. пТ) гйп (2л 7г 1+ Ог) ~ ! г=! = Е ~ а!с~ э!и (2п~г г - -2п)! ггТ. Ог)зй! (2п(г г) г ! и с', г=! 2„сзг соз 2Е л г г Т г ! — н 2', а, с', соз (Ог) г=-! к ~ а, с соз (2п (гТ т Ог) г=! (9.19) ~', аг сз соз (2Е и ~г Т + Ог) г=-! При одинаковых требованиях для различных частот, т. е, при входных синусоидальных сигналах с одним значением амплитуды, общее выражение (9.19) несколько упрощается.
Само по себе выражение (9.19) во многом не определяет процесс синтеза фильтра. В некотором смысле более предпочтитель- 198 г и а,с',соз(2пг'гпТ ! Ог) г, (9.!8) 2 П!где!аз.гяя (9.17) и (9.18) в (9.12), нлхо !и г ггвнгге зыражгчгпс для оптимального вектора весовых коэффициентов адаптггв юго фильтра У с' 2; с', соз 2п !г Т ., ~ с'-,' соз 2Е л 7гТ г=! г=! г=! к и ~„' с-',сов 2п)г Т ~,' с-", Ъ"'= г=! гч иым является использование адаптивного процесса в схем на рис.
9.13. Однако часто при применении в процессе синтеза ЭВйй оптимальное решение является переменным, так как матрицу 11 и вектор Р в (9.19) можно вычислить непосредственно по задан ным требованиям. Если весовые коэффициенты адаптивного фильтра соответствуют оптимальному решению гчг*, то СКО (9.20) где Ег — комплексная передаточная функция заданного эталонного фильтРа на частоте (г, т.
е. Ег' а,ег г, (9.21) а О г — комплексная передаточная функция оптимального адаптивного линейного сумматора с вектором весовых коэффициен %* нтов * на частоте !г. В гл, 7 показано, что передаточная функция адаптивного трансверса чьного фильтра г. Еа (а) = ~ гг!„з (9.22) п=О где для получения частотной характеристики вместо з подставляется ег =е:"т, Нормированная угловая частота, соответствующая ггг, ыг = 2п (г Т (9.23) откуда г)*г в (9.20) принимает вид ~г Х ггг!! е (9.24) а=в ри вывогге соогношения (9.20) использован тот факт, что сиги л ошибмн равен сумме синусоидальных си~палов, а если их частоты различны, то мощность суммы равна сумме мощностей.
Введение положительных множителей с определяется методом проб и ошибок. До сих пор не создано общего аналитического метода для их определения. При синтезе фильтра можно положить все с равными, затем проанализировать полученную частотную характеристику фильтра и далее увеличить значения множителей с на тех частотах, для которых выполнение заданных требований наиболее критично и т. д, Как показывает опыт, это не представляет трудности. Хотя желательно иметь аналитический метод определения множителей с, метод проб и ошибок оказывается достаточно эффективным. Не используя (9.19), можно проводить коррекцию адаптивного фильтра методом наименьших квадратов, получая тем самым приближенные решения. Этот способ является простым и заключается в формировании сумм синусоидальных сигналов (9.10) и (9.11) для создания соответствующих обучающих входных сигналов адаптивного фильтра, как показано на рис, 9.13, 199 100 авданнык точек а о сн 100 ваданнык точек нчнентов Заданнан Еактнческан 180 й 0 е 180 0 е -1 ВО -1ВО 0,250 0,375 0,500 0,125 Насеста 1часчоча очсчета равна 11 0,125 о,гьо 0,375 насеста 1частача очсчета равна 11 0,500 Адаптивный метод обычно используется при необходимости синтеза фильтра с большим числом весовых коэффициентов.
Применение соотношения (9.19) требует решения большого числа совместных линейных уравнений. Например, если число весовых коэффициентов 256, то необходимо решить 256 линейных уравнений с 256 неизвестными. В зависимости от типа ЭВМ для синтеза фильтра более удобным может оказаться использование метода наименьшего квадратов, а не аналитического подхода. Гибкость такого подхода позволяет реализовать помимо классических низкочастотных, высокочастотных и полосовых фильтров, синтез других фильтров. На рис. 9.14 приведены результаты синтеза фильтра с 50 весовыми коэффициентами по заданной ча- ке о о и -ш а о„— 20 0 -зо -40 е — 50 а Рис.
9.14. Адаптивный синтез заданного цифрового фильтра с использованием постояииой фуикции сходимости 200 стотной характеристике, построенной по 100 точкам, равномерно распределенным по всему интервалу Найквиста от нуля до половины частоты отсчета. В результате синтеза необходимо получить фильтр, заданная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) которого изменяется линейно по логарифмической шкале от — 50 дБ на нулевой частоте до 0 дБ на частоте, равной четверти частоты отсчета, и имеет постоянное значение коэффициента передач — 60 дБ в остальном интервале частот. Требуемые АЧХ и фазочастотная (ФЧХ) характеристики показаны на рис, 9,14 крестиками.
Здесь же приведены характеристики синтезированного фильтра. В соответствии с требованиями ФЧХ должна быть линейна и иметь фазовый сдвиг примерно — 13п в интервале от нуля до одной четвертой частоты отсчета. Отметим, что требования к АЧХ чо к 0 о и -1О а . -го с -зо с. й -4О .5 .и — 50 о — БО Рис. 9.10. Адаптивный синтез фильтра, аналогичного приведенному ив рис. 9.!4, с использованием постоянной функции стоимости 201 и ФЧХ более точно выполняются при большем значении коэффициента передачи фильтра (см.
упражнение 24). Множители с, составляющие функцию стоимости, выбраны равными между собой, как показано иа рис. 9.14. Аналогичный синтез проведен для случая, когда не все множители с равны между собой, Результаты синтеза приведены на рис, 9.15, Частотные характеристики, более близкие к заданным, получены увеличением множителеи с на одних частотах и уменьшением на других. Результаты синтеза выводились на дисплей при работе ЭВМ в интерактивном режиме, что позволяло сразу видеть влияние изменения множителей с, Увеличение множителей с приводит к тому, что на соответствующих частотах требования выполняются более точно, уменьшение этих множителей приводит к обратному результату. Чтобы увидеть влияние этих множителей, необходимо сравнить графики на рнс. 9.14 и 9.15.
В некоторых случаях ддя подавления некоторого нежелательного выброса частотной характеристики можно увеличить значение одного множителя с, Во многих случаях необходимы линейная ФЧХ или ФЧХ с нулевым фазовым сдвигом. Линейное изменение фазы соответствует некоторой задержке, а нулевая фаза — ее отсутствию. На рис. 9.!6 показаны некаузальный фильтр с нулевым фазовым сдвигом на всех частотах (а) н каузальный фильтр (б), отличающийся от предыдущего наличием временной задержки. Весовые коэффициенты отводов симметричны относительно центрального весового коэффициента.
Для некаузального фильтра имеем 1 77 (г) = ма+ 2," п11 (г' + г — '), 1=1 П(е1 м) =ма+ 2 2, ш,созсо, 1=1 Поскольку передаточная функция является действительной, фаза равна нулю. Для каузального фильтра имеет ту же передаточную функцию, умноженную на г ь (т. е. на е 1ь ), следовательно, ФЧХ является линейной. При четном числе весовых коэффициентов фильтра с линейно изменяющенся фазой можно выбрать равными оба центральных весовых коэффициента, а другие — симметричными относительно них. Алгоритм адаптивного процесса, при котором сохраняется условие симметричности, можно получить на основе модификации метода наименьших квадратов В соответствии со схемой на рис, 9.16,а значение центрального весового коэффициента ц ь выбираемое исходя из (6.3), ш.
ь+1 =соса+29е,х„. (9.26) Тогда соседние весовые коэффициенты попарно принимают равные значения, а далее попарно адаптируются в соответствии с алгоритмом фильтр с б) Рнс. 9.!б. Некаузальный фильтр с нулевой фазой (а) н каузальный линейно изменяющейся фазой (о) 202 п1 1 „+, =ю, +, =ьуп,+реа(ха+,+ха'1), 1(1(Ь, (9,27) Видно, что данный алгоритм удовлетворяет условию симметрии, при этом сохраняется линейность ФЧХ. Кроме того, очевидно, что при весовых коэффициентах, сгруппированных симметричными парами, СКО является квадратичной функцией весовых коэффициентов (хотя число степеней свободы приблизительно равно половине числа весовых коэффициентов).
Оценка градиента в этом случае является несмещенной, поэтому данный алгоритм относится к алгоритмам наискорейшего спуска. Таким образом, алгоритмы (9.26) и (9.27) всегда приводят к линейной ФЧХ, но с другой стороны допускают широкий разброс частотной характеристики, Рассмотрим теперь примеры их использования, На рис. 9.17 приведены результаты синтеза низкочастотного фильтра с 50 весовыми коэффициентами и с линейно изменяющейся фазой.
Из рисунка видно, что, как и ожидалось, ФЧХ удовлетворяет требованиям. В интервале от нулевой частоты до частоты, равной четверти частоты отсчета, выполнены почти точно требования к АЧХ. Как показано на нижнем рисунке, в интервале от четверти до половины частоты отсчета задано значение коэффициента передачи †1 дБ. Это требование не выполняется, но в пределах это~о частотного интервала коэффициент передачи 203 1 о о о 1.т 50 весовых коэффициентов о о и 100 ааваннмх тенек о о 180 180 т та 0 е й О е 180 — 180 0,500 0,125 0,250 0.37 частота (еастота отсчета равна 11 0 цт ц -10 о — 20 , -зо о 40 — 50 1э й -50 х -70 -80 Ф о — 90 — 100 О 0.1 25 0,250 0.375 0,500 Частота настоев отстета равна 11 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
