Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Первый из рассматриваемых способов ортогоналпзацип, основанный на ДПФ, предложен в [38], Схема адаптивного фильтра для это> о спосооа приведена на рис. 8.23. Входной сигнал подасгся на элементы задержки с отводами, соединенными с вычислителем ДПФ с многими входами н многпмн выходамп, который описан в гл. 7. Прн поступлении каждого нового отсчета входного сигнала данные продвигаются в линии задержки на один шаг и осуществляется вычисление нового ДПФ. Каждый из входных сигналов ДПФ соответствует заданной полосе частот.
Можно сказать, что используемое таким образом ДПФ реализует набор полосовых фильтров, равномерно заполняющих полосу частот от нуля до частоты, равной половине частоты отсчета. Выходки>е сигналы ДПФ па рпс. 8,23 представляют собой дискретные комплексныс функции номера отсчета lг, Опн являются слабокоррелированпыми, поскольку находятся в различных частотных полосах. Этн сигналы нс являются полностью некоррелпрованнымн из-за того, что полосовые фильтры ДПФ части >но перекрывают некоторые частотные составляющцс сигналов [6~, В схеме на рис.
8.23 комплексные выходные сигналы вы.нслптсля ДГ1Ф умножаются на комплексные адаптивные весовые коэффициенты, в результате чего формируются также комплексные величины уа. Предполагается, что действительный полезный сигнал представляет собой комплексный сигнал, мнимая часть которого равна нулю. Следовательно, вычисляемый в процессе адап- !72 тации сигнал ошибки также является комплексным. Хотя уь— комплексная величина, ее мнимая часть в общем случае мала, поскольку полезный отклик является действительной величиной. Адаптация весовых коэффициентов осуществляется в соответствии с алгоритмом наименьших квадратов в комплексной форме [391: Ж„ь, =-%а+2!>ел Х>,. Здесь черта над Ха обозначает комплексно-сопря>кенную величину, В соответствии с этим алгоритмом вектор весовых коэффициентов ггд сходится в среднем к опти>мальному вектору, при котором миннмизируется сумма средних квадратов действительной и мнимой частей сигнала ошибки.
Положим, например, что входной сигнал ха на рис. 8 23 представляет собой чистый синусоидальный сигнал, содержащий >»' отсчетов за период Тогда единственный ненулевои сигнал вычислителя ДПФ является входным сигналом умножителя на коэффициент ш>д, представляющий собой сннусоидальный сигнал с заданными амплитудой и фазой, изменяющейся по линейному закону. Предположим далее, что полезный выходной отклик г!ь является сннусоидальным сигналом и имеет ту же частоту, что и входной сигнал, Тогда для сведения сигнала ошибки еа к нулю необходимо, чтобы весовой коэффициент ш>д сходился к постоянной комплексной величине, прн которой амплитуда и фаза действительного выходного сигнала рь равны амплитуде и фазе полезного отклика >Г,, а все остальные весовые коэффициенты сходились к нулю.
Можно повышать эффективность процесса адаптации в схеме на рис. 8.23, если нормировать каждый пз выходных сигналов вычислителя ДГ!Ф, с тем чтобы они имели равные уровни мощности. Для этого необходимо ввести коэффициенты, обратно пропорциональные квадратному корню из среднего значения мошности соответствующего выходного сигнала выпислптег>я ДПФ Полученный в результате этого алгоритм является очень эффекм>эным для случая, когда собственные значения существенно от >ичаются друг от друга. Импульсная характеристика обычного трансверсальпого фп:и- тГ.а непосредственно определяется весовыми коэффпц«ептамп отводов.
Кроме того, для схемы на рпс. 8.23, осуществляющей ортогоналнзацию в частотной области, весовые коэффпппеиты непосредственно определяк>т как амплитудную, так и фазовую частотные характеристики. В схему ортогоналпзацип на рнс, 8.23 включено устройство предварительной обработки с заданным алгоритмом работы в виде вычислителя ДПФ.
а рпс. 8.24 представлена схема ортогонализации, в которой используется адаптивный решетча~ый фильтр. Интересно отметить, что процесс адаптации весовых коэффициентов к решетки зависит только от входного сигнала и не зависит от полезного отклика, а процесс адаптации выходных !73 бки бки Рлс. 8.24, Схсмз адаптивного трзасзерсального фильтра, реализующего алгоритм Гриффитсз, в заде решетки с разложением нз ортогоизльиые сигналы весовых коэффициентов ш определяется как входным сигналом, так и полезным откликом.
В соответствии с (23] адаптация всех весовых коэффициентов может проводиться методом наименьших кгадратов. При сходимости весовых коэффициентов решетки к к оптимальным, при которых соответствующие сигналы ошибки минимизируются по среднему квадрату, выходные сигналы решетки (нли входные сигналы, умноженные на ш) являются ортогональными и, следовательно, как показано выше, некоррелированными. Адаптацию весовых коэффициентов ш можно легко осуществить методом наименьших квадратов, при этом выходной сигнал системы ди является наилучшим среднеквадратическим приближением полезного отклика г(и. С теоретической точки зрения весовые коэффициенты решетки на рис.
8.24 должны настраиваться так же, как в схеме на рис. 8.17, т. е. к,=к'!1 кэ=к'а и т. д. Однако из-за шУмовой составлЯ- ющей весовых коэффициентов, возникающей в процессе адаптации, эта настройка будет неточной. Точную настройку можно поддерживать, если начинать адаптивный процесс с настроенными весовыми коэффициентами и на каждом цикле адаптации усреднять соответствующие поправки. В работах [40 — 46] предложены другие алгоритмы адаптации коэффипиентов к и ш для схемы на рис. 8.24. Прн использовании статистических данных о входном сигнале эти алгоритмы так же эффективны, как метод Ньютона, В [23] подчеркивается, что для метода наименьших квадратов важно осуществлять нормирование мощности (плп выбирать соответствующие значения )г при адаптации коэффициентов к н ш методом наименьших квадратов), Из-за изменений весовых коэффициентов предыдущих ячеек решетки сигналы в решетчатой структуре являются нестационарными (даже если стационарпы входной сигнал хэ и полезный сиг- 1,4 нал !(л), поэтому оценки мощности различных входных сигналов устройств умножения на весовой коэффициент необходимо находить методом скользящего окна, аналогичным методу экспоненциального окна в (8.121) Подобный метод экспоненциального окна использован в [47] Алгоритмы ортогонализации и их приложения являются предметом исследования в настоящее время.
Оказывается, что они эффективны в случаях, когда требуется быстрая адаптация с переменными параметрами, а собственные значения входного сигнала сильно различаются, Однако во многих случаях адаптивная решетка не имеет существенных преимуществ перед трансверсальным фильтром, который адаптируется по методу наименьших квадратов, например для некоторых видов нестационарных сигналов рассматриваемых в (36] Упражнения 1.
Какая информация необходима для достижения идеальной кривой адаптации лесовых коэффициентов, представленной из Рлс. 8.1? Почему такой ииформзции яст з адаптивных фильтрах? 2. Объясните различие между кривыми адаптации весовых коэффициентоз из рис. 8.1 и 8.2.
3. Каково отношение времени адаптации идеального алгоритма к времени адаптации метода наименьших квадратов? При каких условиях оио равно !? 4. Выведите формулу вычисления Яи через С?и-1 длл алгоритма иоследозатсльлой регрессии. Какова эквивалентная иередаточизя функция Н(з) преобразования ХиХти в С)и? Примечание, В иекоторых из последующих уиражиеиий необходимы последовательности [ги], [зи] и [хи], для которых й О, 1000. Однако для работы иа малых ЭВМ их можно укорачивать. Последовательности формируютси следующим образом: гл = [кк12 [ВАН110м (1.) — 0,51, 2лй ~ 30 — й/501 л = х', е1~~" л!м и(й — 40л). и=о Последовательность [ги] — случайный белый шум едлничиой мощности, который формируется подпрограммой ВАЫООМ версии 1 или 2 з приложсиии А.
Сииусолдзльнзя последовательность [зи] имеет медлсино измсплюшийся период, последовательность [хд] — группа эхсионсицизлыилх имиульсоз, следующая с изтерзалами з 40 отсчетов. 5. Ниже приведена схема одношагового устРойства предсказания. Запишите формулу алгоритма наименьших кзадрзтоз ддл исрестройки ша и ю1 на каждой итерации. Чему равно максимальное иолезпое значение параметра р? 175 0,1»». Г» с, 176 177 6. По результатам унражнения 5 постройте зависимость з» от Ь для !)Г»= =-0 и 9=0029„„». Кромс того, посгройте зависимоств ш„н ш от Ф. Постройте также обучающую кривую, вычисляя прп этом Е[е'»] усреднением а'-', и 20 ближайших соссдпнх значений 7, На основании равенства (8.44) запишите в явном видо алгоритм последовательной регрессии для устройства предсказания из уцражнсния 5.
Каково зиачецкс р ,; в этом случае'. 8. Постройте зависимость е» от й по рсзультатам упражнения 7 прн р= =0 !рм»». Помимо этого постройте зависимости шз п ш> от Ф. Постройте также обучающую кривую по методике упражнения 6. 9. Из (8.44) получите модифицированный алгоритм последовательной регрссспя для случая стационарного сигнала и а= 1. Выводите равенство, соответствующес равенству (8.27). Каково поведение вывелснного алгоритма прн неограниченном росгс й) !О.
Для системы идентификации с бесконечной импульсной характеристикой (рис, 8.8) нз основании равенства (8,55) запишите в явном видо выражение алгоритма напмспьшнх квадратов. 11. Использовав [г»] в качсствс входной последовательности, примените мстод наименьших квадратов для системы с бесконечной импульсной характеристикой к схеме нз рнс. 88 при 9=005, т~=-0005 и ч»=00025. Постройте зависимости аз», Ь|», Ь,„н в» от К Кроме того, постройте обучающую кривую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
