Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Адаптивная решетка предскааашш на один шаг с ю'.=3 зон= зОа=ха зю+ю.а = зюа+ кю зю а .ю 0 ~ ~1( Е " 1 3,'+ю а — — кюзюд+за' а,, 0~(1~(У.-- 1 (8.94) ам = зш '* веденной на рис. 8.16,а второй эквивалентной схемы, передаточная функция устройства — Ню(х) (8.92), поэтому выходной сигнал Ею(г) называют ошибкой предсказания. Предсказание текущего отсчета ха осуществляется по первым Е предыдуюцим отсчетам от ха ю до хд-ь. Лююалогичным образом выходной сигнал схемы на рис. 8.16,б представляет собой оюиибку фильтрации.
Здесь измерение отсчета ха-ю осуществляется по отсчетам от хд до хо ь+ю. В этом случае весовыми коэффициентами являются ( — Ью, ю). На нижнем рис. 8.16,6 приведена эквивалентная схема, описываемая формулой (893). На рис. 8.17 прелставлена полная схема для Е=З, в которой вычисляются ошибки предсказания и;н и ошибка измерения еом Здесь показаны весовые коэффициенты ко, ..., кь, поэтому устройство может оыть адаптивным. Промежуточные сигналы предсказания и измерения обозначены соответственно за и з'м, они будут использованы для анализа в следующем разделе, Таким образом, для рассматриваемой схемы Е(в'ю].
Однако наилучшим способом 128, 29) является минимиза- ция СКО каждой ячейки Е(з'юлю) вмесюо коррекции каждого к, при этом из (8.94) Е(е'ю) =Е(заь! На рис. 8.17 и в (8.94) зи, и з'юа — ошибки предсказания и из- мерения. Для обозначения различных среднеквалратических зна- чений этих ошибок запишем аналогично тому, как это сделано в гл, 7, корреляционные функции д юрю (п) = Е (зюа зю,аж ! юрю (и) = Е (зю„зю,оч- 1, юрю (и) = Е (зюа зю о+н), Положим теперь, что сию.налы в решетке являются стационарными Прежде всего рассмотрим функции ю1ю(юю) и ф ю(п) Определяя среднеквадратическое значение (8.94), имеем юрюч.ю (п) = Е! (ам + кю з,',) (эю,,ч.„+ кю з,' „,) )— = к, ф, (п) + кю (ф,' (1 -- п) + фю' (1 + п)! + фю (п), (8 96) фю+ю (п) = Е ((кюзюа+ею.а ю) (кю зю,ю1+и +зю а+„,) ! =- = ка фю (и) + кю (юР,' (1 — и) + юР,' (1 + и)! + юР", (п).
(8.97) Для левой части решетки фо (и) фо (и) =- Е (хд ха+ ! (8.98) Можно показать, что при подстановке (8.98) в (8.96 рю( ) =юр' ю(п), тогда фа(п) =юр"а(п) и т. Л., откуда в . ) и (89?) юрю+, (и) = ф,"+, (и) = (йюа + 1) юр, (и) + кю (ф,' (1 — п) + юр,' (1 + п) 1, (8. 99) сли кю корректируется в кажлой ячейке для минимизации ошибки предсказания Е(заюою, д) =фюн ю (О), то из (8.99) д ~рюч.ю 10) = 2 к,юр, (О) + 2 юр,'(1) = 0 дкю Адаптнвная решетна нредеказання сигнала 11а рис. 8.17 одношаговое устройство предсказания представлено в виде решетчатой структуры, в которой ю;оэффициенты (кю! должны быть изменяющимися во времени илп адаптивными.
Другие решетчатые структуры, приведенные на рис 8.11 и 8.13, также могут быть (и г действительности являются) адаптивными 1261, но адаптивные решетки в основном используют для предсказания сигнала, особенно при обработке речевых сигналов. Для адаптации решетки на рис. 8.17 следует изменить все коэффициенты к так, чтобы минимизировать СКО предсказания 162 или к,' = — юр,' (1)Оюр, (О), (8П00) Звездочка з есь д использована для обозначения оптпмальног чения кю. Для, . а. ьного зиатом смысле, что Д локазательства того, что кю' является оптин, 'п юальным в . е, что лостигается минимум нетолько фю+ю(0) но и СКО прелсказания г мул 876, н фь(0), необходимо, использовав рекурсивную фор- У у ( .
6), найти для каждой ячейки оптимум Вю(г) В (30, 31) полнчены алг оРитмы вычисления оптимальных весовыг циентов фиды а. Н тра. Не повторяя приведенного в этих работах выво- к ик. ла, Рассмотрим решетку с двумя ячейками и о и кь и коэ ициентами 6* 16З Для этой решетки из (8.99) получаем СКО ро (0) ==-(к-', -'-1) ор, (0) +2к„ор,'(1). (8,101) Отсюда снова можно найти выражение для оо, на основе (8.99) и ог'~ исходя из общего соотношения ор~<.~ (и) Е[(вы+к~ з~,о ~) (кс зьо-,о г ц,оч „~)! = + к', ~р„(! — и) + 2 к, ор, (и) + ор,' (и + 1), (8 102) которое, в свою очередь, следует из (8.96). В обоих случаях г(ч (0) н 4о'~(1) не являются функциями от кь поэтому в соответствии с (8100) можно минимизировать оро(0) по кь Прн к~=к*,= =- — ~р',(1)1ф (0) имеем 2 " '' =„,(О) — р, (1)(р,(О).
ч, (о) (8. 103) дч, (1) дко о о =- 2 коор (О) + 2 оро (1) = О; Е [хх кх.~.о! 10 (, о8 !04 е [,д,р, (о) то (1) РО (о) Таким образом, показано, что к*о в (8,100) является оптимальным весовым коэффициентом, минимизирующим о[о(0), а также оо,(0). Такой же результат можно получить, если оптимизировать адаптивный линейный сумматор, а затем преобразовать коэффициенты по табл. 8.2, как это делается в упражнениях 24 — 26. Отметим, что глобальный минимум в рассмотренном примере достигается только тогда, когда к, и к, принимают свои оптимальные значения, Поэтому можно считать, что процесс сходимости в адаптивной решетке проходит примерно от одной ячейки к другой, при этом осуществляется поиск кь минимизирующего о(чы(0), сначала для 1=0, затем для 1=1 и т. д.
В адаптивном линейном сумматоре такого процесса сходимости не происходит. Из (8.100) можно вывести алгоритм наименьших квадратов адаптивной решетки для предсказания сигнала, Для этого най1б4 Теперь необходимо найти значение ко, минимизирующее (8.103). Если находить ко в соответствии с (8.100), то мннимнзируется г~.~(0) в (8.103), и его производная по к, должна быть равна нулю.
Таким образом, для минимизируемого по ко [~ро(0)! ы производная последнего члена в (8.103) также должна быть равна нулю (Поскольку максимальное значение не ограничено, решение должно привести к минимуму.) Следовательно, нз (8.102) дем оценку градиента СКО оры~(0), используя, как и ранее, гра диент самой квадратической ошибки: до Ж+з ( ) ьь . 2 ~+~ ° 2 з ° (8 !06) э~+но . = зьььо з1 о дко дк~ ' дк~ Окончательное выражение получается дифференцированием зоыо в (8.94).
Далее, как и в (63), подставляем оценку градиента в выражение (4.36) для алгоритма канско)оейшего спуска и получаем алгоритм наименьших квадратов для решетки: д Чоч, (О) к, „,=-к„,— р, дко (8. 106) =к,„— 2р, з+, „з', 0<1 ='7 — 1, Значения сигналов вычисляются здесь в соответствии с (8.94). Следует предположить, что не зависящий от времени параметр )о~ различен для каждой ячейки согласно [281, где, по существу, приводится тот же алгоритм. Прежде чем рассматривать применение алгоритма (8.106), остановимся кратко на анализе области значений параметра )ч для каждой ячейки решетки. Полагая, что оценка градиента является точной, подставляем производную от (8.99) в (8.106): к, „, = кок — [о~ [2йы щ (0) + 2ор,'(1)1. (8.
107) Введем теперь весовой коэффициент бь который получен преобразованием коэффициента к~ по аналогии с преобразованием вектора Ч в вектор ЧЧ (3.29): бы = йы — к,*. (8.108) Подставляя это выражение, а также (8.100) в (8.107), имеем 61 „, = б,о — 2р, [(био+к,") щ (0) +ор', (1)! = % (1)1 =6„. 2„, 6„— ~1 р,(О)+р, (!) = „,(о) 1 — бы [1 — 2)гоор1 (0)! = [1 — 2 р, ор1 (0))о — '' 61о (8.109) Поскольку бъ должны сходиться к нулю, можно заключить, что необходимым условием сходчмостн является О<р,<112 р, (О).
(8.110) Для применяемых на практике адаптивных решеток можно вычислить у~(0), усреднив з'1„по всем предшествующим значениям, и тем самым проверить выполнение условия (8.110) для [оь Как и для адаптивного линейного сумматора, эти параметры сходи- мости определяют как значения ошибки. 1бб р 0 5 Е (ггь р, =-0,5соз(2п(М), р2 — 0,5 соз (4п!2У). Ро Рг Рт Рт Ро Рх Рг Рг Ро (8,1 1 1) 2 з 4 шг 2ча 5~ч д 0,4 0,2 0,О -2.0 166 На рис. 8.18 — 8.21 показан пример функционирования устрой. ства предсказания сигнала. Схема устройства представлена на рис.
8,18, где, как и в предыдущих примерах, предсказываемый сигнал является суммой синусоида.льпого колебания и шума. Устройство осуществляет предсказание сигнала хл вперед на один временной отсчет. Таким образом, производится выделение из ха синусоидального колебания и подавление непредсказуемой составляющей белого шума гл. Полагаем, что мощность выходного сигнала Е[а'л] равна мощности шума Е[гтл]. Автокорреляционная матрица сигнала ха, определенная ранее выражениями (2.20) и (6.13), Рнс.
8.18. Схема устройства предсказания на один шаг, используемого в каче- стве примера — Ь5 -1о 0.5 0,0 05 Рис 8.19. Проекция сечений функции и траектория схолимости весовык коэффициентов по алгоритму наименьших квадратов для приведенной на рнс. 8.18 адаптивной решетки предсказания при м=!6, е(г'ь]=0,01, р4=0,06, Р,—.О,! Траектория содержит 200 итераций Рнс. 8.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
