Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 28
Текст из файла (страница 28)
0<а<1, (8.25) 2 †!/!»лина сгаананарнсго сагнанна сигнала х) На основании (8.30) проведем теперь вывод алгоритма последовательной регрессии, котерый аналогичен выводу в [1, 2, 3 1, Б ем считать, что по оценкам хд и Рд вычислен вектор %»е! удем считать, что (а не вектор %»). Тогда из (8.28) — (8.30) »вЂ ! (1» %»+! = сс 2„' а!» — ! 1-! с(! Х, + с(д Хд =- саь1» — ! %» + с(д Хд = 1=о 1 — сс "— ! (с» 1 1м»+! (8,35) При рассмотрении установившегося состояния, когда й является достаточно большим, чтобы можно было пренебречь в (8.35) значением а!с+!, выражение (8.34) принимает вид 2р дар — ! %+, =%»+ — 0» е»Х„, 1 — сс (8.36) что является приближением к (8.5).
Отметим, что для нестационарных сигналов 1с„— переменная величина, которую можно регулировать в процессе адаптации. Кроме того, исключение множителя (1 — а'+') в последнем слагаемом выражения (8.36) эквивалентно введению большого значения 1» в (8.5). Если нужно учесть начальные условия, то можно ввести весовой множитель и привести (8,36) к виду д+!! % % + 2рд р(! " ' ) 0»'е»Х».
»+!= д+ ! м (8.37) Для обеих записей алгоритма последовательной регрессии необходимо иметь возможность на каждой итерации вычислять в»д. Алгоритм вычисления можно вывести так же, как это сделано выше, в данном случае начиная с интеративной формулы для а»д 141 = (Од — х, х,' ) %»+ с(дхд, Это — другая форма записи выражения (8.30), причем в последнем равенстве подставлено полученное из (8.24) соотношение 11 = сс0» !+ха'Хт. (8.32) Палее подставим в (8.31) выражение (2.8) для полезного сигнала с(д! 41»%»+! = (0» — Хд Х»т ) %» -1- (ед -1- Х» %») Хд = 0»'%» + ед Хд, (8,33) Умножим теперь обе части равенства слева на ©,-!! %»+! =%»-(-О» 'е!,' Хд, Поскольку Од приблизительно совпадает с ах ' точностью до множителя, это выражение есть другая форма идеального алгоритма (8.5), Из (8.27) Ео' Средние нанеяные инины ия или К- Х» =- ср О» ' Х»+ О» ' Х» Х» 41, ' Х2 = == »л» ~ Х» (а+ Хт 4.)» ~ ~ Х,).
(8,39) Разделим теперь обе части равенства на скалярный множитель в круглых скобках и умножим справа на Х» Я,:~.' 0-' Х»хт1)-' (8,40) ее+ Хт 4)» ', Х» Подставляя (8.38) в правую часть (8.40), после некоторых преобразований имеем Для е. = 0,93 30' для а . 0,993 Ео 200 300 20' (8.32). Умножая обе части (8.32) слева на О» — ', справа — на Я» ь а затем на Хю получаем »4» 1, = а О» ~ -~- »1» ~ Х» Х»т 01» ~ ~ (4)-,', Х,) (4)„-', Х»)т + Х»(4)» ', Х») (8.4 1) Соотношение (841) описывает итеративный алгоритм вычисления Я» ', входящего в (8.34). Отметим, что вектор 8, = 4), Х„ (8.42) трижды входит в (8.41), поэтому в данном алгоритме вычисляется первым.
Кроме того, знаменатель в (8,41) является скалярной величиной и поэтому вычисляется отдельно. В качестве начального значения О» ' в (8.41) для стационарного случайного процесса в 15) предложено»10 '=е)01, где е)а— большая константа. Такой выбор начального значения подходит и для процесса адаптации, хотя предпочтительней выбирать 4)р ' близко к истинному значению, если его можно оценить.
На рис. 8.3 приведен пример сходимости б)» ' для различных начальных условий. В этом примере приняты следующие исходные данные: '=И'! "=И-' '! '='='."Г-' '! ""' Входной сигнал Х» с корреляционной матрицей 14 построен иа основе результатов упражнения 25 в гл. 7. Затем из (8.8), в предположении, что й в (8.35) больше, получень1 В ' и 0 — '. На рис.
8,3,а показан процесс сходимости дн при двух значениях о, соответствующих последовательностям с длинами 1О и 100 в (8.25), и двух начальных параметрах да. На рис. 8.3,б для тех же значений а и е)а показан процесс сходимости д~з. Как видно из графиков, при выборе да близким к правильному конечному значению г)н, процесс сходится быстрей для дн и несколько медленнее для дег (вертикальная ось имеет логарифмический масштаб).
Как и предполагалось, при малых значениях а оценки имеют большую шумовую составляющую, но процесс сходится 143 Сре»ние нане ные енеяеннн Для а = 0,93 Д,я а = 0,993 иге 300 200 100 д1 Рис. 8.3 Процесс схадимости злементоа функции 4)» " 90(й) и д„(д) для раз- личных значений ре и а. Средние конечные значениЯ найдены из (8.43) быстрее.
Из (8.41) следует, что если»10 ' — симметрическая матрица, то Я» — ' — также симметрическая матрица, что имеет место в рассматриваемом примере. Итак, получены окончательные формулы алгоритма последовательной регрессии, Аналогичнрлм образом этот алгоритм рассматривается в 11, 2, 5, 24), где, как правило, и=1. Еще один подобный алгоритм предложен в 14). Основная суть рассмотренного здесь алгоритма состоит в следующем. Выше отмечалось, что Хер можно оценивать по фактическим данным, при этом в случае не- стационарных сигналов может появиться необходимость в постоЯнном Уточнении Х,р. Отметим, что длЯ слУчаЯ, когда полностью отсутствуют данные о статистических свойствах сигнала, значение множителя )»).,р всегда находится в интервале от 0 до 1.
Поэтому можно выбрать некоторое гарантированное значение этого 143 2ыллшм сгацаонарн'го сггн нга си~ нала (8 44) $с Вхо сиг и Е~ — 10 145 множителя (например, 0,05, наиболее принятое на практике; см. упражнение 14): — ! Оо = (оопп шпя константа);;1; Ъэго — — начальный вектор весовых коэффициентов; ххгс — %е+ 2(гйси 0о ' е, Х,; для )г ) 1 8=-0а, Х„; у=-сс РХг,8; Оь =- — ~ 5)г,, - — — ЬЯ '1; — 1 т' 'ххт2 йи2 со (' — а'+') %э~.~ -=%„+ "'", — 4)„" елХ„ 0()ь 1гр ., илн )ьй и(( 1. Чтобы подчеркнуть, что при переходе от одной итерации к другой нет необходимости сохранять вектор Б н величину у, здесь опушен индекс. Вычисление ьтгь осуществляется по более точной формуле (8.37), 8 — по формуле (8.42) и ь)ь-' — по формуле (8.41).
Для значений а н Яо-', как показано на рис. 8.3, требует- о 2 а и в Рис. 8.4. Сраинсние алгоритмов последовательной регрессии и наименьших квадратов при м=0,05, а=0,98. Рабочая функция аналогична приведенной ни рис. 8.2. Каждая траектория представлена 100 итерациями. В данном примере Хмах=-0,97, поэтому 1а полностью удовлетворяет (8.441 ся лишь грубое приближение, а гор можно примерно приравнять мощности входного сигнала.
На рис. 8.4 показан процесс адаптации по алгоритму последовательной регрессии (8.44), Приведенный пример — тот же, что и на рис. 8.2, поэтому оба графика можно непосредственно сравнивать, Значение а=0,93 выбрано таким, чтобы оно соответствовало длине стационарного сегмента сигнала в первом соотношении (8.44), равной десяти отсчетам. Алгоритм последовательной регрессии эффективней метода наименьших квадратов, и оптимальный вектор весовых коэффициентов достигается за число итераций, значительно меньшее 100, поскольку, как это следует из рис. 8.3, ь)а-г имеет достаточно хорошее приближение к В-' после нескольких итераций. С другой стороны, траектория адаптации по алгоритму последовательной регрессии на рис, 8.4 не является столь прямой, как траектория идеального алгоритма на рис, 8.2, что связано с неточностью вычисления матрицы Яь-' в течение первых нескольких итераций.
Адантивнъхе ренурсивнъге филътръх В гл. 7 обсуждалась возможность использования в адаптивной системе вместо адаптивного линейного сумматора рекурсивного фильтра. Рекурсивный фильтр, имеющий полюсы и нули, обладает такими же свойствами, как и рекурсивные фильтры, применяемые в инвариантных во времени системах [61. С другой стороны, в гл. 7 показано, что в отличие от адаптивного линейного сумматора рекурсивные адаптивные фильтры имеют два недостатка: 1. При выходе в процессе адаптации полюсов фильтра за пределы круга единичного радиуса фильтр становится неустойчивым, 2. В общем случае рабочие функции фильтров являются не- квадратичными и могут иметь локальные минимумы.
Из-за этих серьезных недостатков рекурсивные адаптивные фильтры находят очень ограниченное применение. Для предотврагцения неустойчивой работы необходимо вводить какие-либо ограничения на коэффициенты фильтра, а при рабочей функции с многими экстремумами процесс адаптации осуществляется не- Рпс. 8.5. Схеми рекурсивного адаптивного фильтра правильно как методом наискорейшего спуска, так и методом Ньютона. Относительно второго недостатка в момент написания книги появились сообщения о том, что если рекурсивный адаптивный фильтр имеет значительное число полюсов и нулей, то рабочая функция является унимодальной [7~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
