Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В автоматической системе по, адаптации по гп, возни~кают две задачи; устойчигости адаптивного алгоритма и устойчивости фильтра, подвергающегося адаптации. т 5.0 !а,о з.о ,а -ай -ьо Ф! Упражнения 130 1. Найдите г-преобразование каждого вз следующих сигналов, полагая, что все они начинаются при А=О: а) импульсная функция — хр=1, хь 0; й)0; б) ступенчатая функция — хь 1, ужо.
в) экспоненцнальнаа фУикциа — ха = е-'з, 6 ~0. г) линейная функция — кь =ай; йжО. д) косннусондальная функция — ха=А соэ(л,й); а~О. 2. Выразите У(г) через Х(г), если уз=ха, т. е. у являетси сдвигом к. (Теорема сдвига.) 3. Выразите У(г) через г(г), если уь=е-'ьгь 4. Докажите, что г.преобразование ог Акь равно АХ(г). 6. Докажите, что г-преобразование от ха+уз равно Х(г)+у(г). 6. Для представленного на рисунке адаптивного линейного сумматора с двумя весовыми коэффициентами: а) найдите Н(г); б) запишите выражение для коэффициента передачи. 8. Для условий упражнения 7 постройте трн кривых фазового сдвига. 9.
Передаточная функция рекурсивной линейной системы имеет вид гз+ 1 Н (г) = а) нарисуйте схему фильтра, аиалошшную схеме на рис. 7.2; б) постройте зависимости коэффициента передачи и сдвига фаз от частоты; в) объясните характер кривых с точки зрения нулей и полюсов передаточной функции. 10, Для линейного сумматора, описанного в упражнении 7, постройте зависимость коэффициента передачи по мощности от частоты для ач — — — 1. !!.
Для успевай упражнении 7 запишите выРажения для импульсного отклика. 12. Для условий упражнения 9 запишите выражение для импульсного отклика. Обратите внимание на то, что полюсы передаточной функции находятся на окружности единичного размера; следовательно, выбрав чуть больший контур интегрирования, можно воспользоваться выражением (7,26). Кроме того, при Й=О существует дополнительный полюс в точке г=О. 13. Каковы области значений юз н юь для которых прелставлениая на рисунке система является устойчивойу 14. Найдите импульсный отклик системы, описанной в упражнении 13.
16. Полагая, что ха=о для й(0, найдитс обратное г-преобразование, используя теорему об остатках, для функций: а) Х(г) г)(г — а); б) Х(г) =ге-ашп р/(гз — 2ге а соз 6+е-'а). 16. Задана леаосторонния последовательность хь=е ь; й(0, а~О Используя подстаиовиу а=г-', найдите а-преобразование н покажите, что оно является сходящимся при (и! ( 1, Затем на основе теоремы об остатках покажите, как пеРейти от (хь) к Х(и). бч 13! 17. Положим, что [хв] имеет ввтокорреляцпонную функцию Чь„(п) = =с- ь»ь, определенную для всех п. Найдите энергетический спектр последовательностк [хв] в виде функции частоты ек При этом следует проводить отдельно вычисления для левой и правой составляющих ьр*».
16. Положим, что [хв] — прзиосторопняя последовательность, ненулевая :только при Ь~О, в [ув] — зеркальная относительно [хв] последовательность, т. е. у-в=хв для всех й: а) выразите у(г) через Х(г); б) выразите амплитудный спектр [ув] через амплитудный спектр [хв]; в) выразите фазовый спектр [у,] через фазовый спектр [хв]. 19. Для схемы, приведенной в упражнении 13, звиишите выражения для: а) Ф„в(г) через Ф (г); б) Ф „(г) через Ф „(г); в) Ф„(г) через Ф,„(г).
20. Предположим, что кА)Ч()ОМ(1.) — стандартная функция на языке Фортран, которая осуществляет выбор независимых случайных чисел, равномеряо распределенных в интервале от О до 1. Напишите программу нз Фортране, цв которой определяются отсчеты последовательности белого шума с единичной мощностью. 21. Предположим, что полезная выходная последовательность ьЕв получена в результате прохождения [хв] через идентифицируемую систему с псрсдаточ. ной функцией Н,(г) и что Нв(г) — передаточная функция адаптивного фильтра, приведенного на рисунке.
Для этой схемы выведите общее выражение рабочей функции. 22. Для схемы упражнения 21 найдите выражение рабочей функции при условии, что [хв] — единичный белый шум, Н,(г) =г)(г — 05) и Н,(г) = Е 2 ш г-", о=о 23. Для схемы упражнения 2! найдяте выражение рабочей функции при условна, что [х,] — е.иппшный белый шум, Нь(г)=1 — 2г-' и Н (г)е шаль'(г— — шь) 24. Предположим, что гв — отсчет случайной переменной, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1 (см. приложение А).
Предположим, что сформирована временная последовательность хв=а(гв — 0,5), где а — константа. Чему равны коэффициенты корреляции ьр»»(0) и ьр, (1)7 25. Найдите ьр»»(0) и ьр (1), если хв=а(гв — 0,5)+Ьхв-ь. Здесь гв взято из упражнения 24, в !Ь[(1. 26. Используя метод и-преобразования (см. упражнение ! 6), найдите обратное преобразование (т. е. соответствующую левостороннюю последователь- 132 ность) функции Х(г) =А/(1 — аг-'), где а — произвольный полюс, ььзходящийся зв пределами окружности единичного радиуса [г[=-1.
27. ИспользУЯ метод и-пРеобРззованиЯ и Равенство (757), „зйд,де корр ляционную функцию Фв»(п) для представленной на Рисунке схемы, полагая при этом, что хв представляет собой белый шум с единичной мощностью. х„— у Ответы к некоторым упражнениям 12. 5(й)+2 з|п(йп)4)Ь йььО 16. Х(и) =и/(и — е-»). 24. авь'12. 25. авьь[12(1 — Ы)]; авЫ[12(! — Ьв)]. 26.
х»=0; йжО; хь, = — Аав; й(0. Глава 8 ДРУГИЕ АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ И СТРУКТУРЫ Во введении к гл, 6 отмечалось, что метод наименьших квадратов, несмотря на свою простоту и эффективность, находит ограниченное применение, поскольку его можно использовать в основном для нерекурсивных линейных фильтров. Кроме того, было показано, что этот метод является одним из видов алгоритма наискорейшего спуска, в котором спуск к точке минимума СКО не обязательно осуществляется по самой прямой траектории.
В данной главе рассматриваются различные виды алгоритмов, более сложных, чем метод наименьших квадратов, но обладающих явными преимуществами. Сначала вводится алгоритм последовательной регрессии, который является приближением метода Ньютона, При использовании этого алгоритма поиск оптимальных весовых коэффициентов обычно осуществляется по более прямой траектории, чем в методе наискорейшего спуска. Далее применение алгоритма наименьших квадратов распространяется на рекурсивные адаптивные фильтры, т.
е. адаптивные фильтры, имеющие полюсы. Эти фильтры, как следует из примера на рис. 7.8, могут иметь неквадратичную рабочую функцию с локальными минимумами и областями неустойчивости, поэтому при использовании для адаптивных рекурсивных фильтров таких градиентных методов, как метод наименьших квадратов, необходимо принимать специальные меры.
Помимо поиска минимума СКО по направлению градиента (в методе наискорейшего спуска) и при прямом движении в точку минимума (в методе Ньютона), существует возможность случайного поиска. Поэтому вводится алгоритм случайного поиска, ко'орь!й имеет свои преимущества в случаях, когда рабочая функция не является унимодальной, и в ряде других случаев. 133 Кроме этих алгоритмов в данной главе рассматривается решетчатая структура, представляющая собой основную альтернативу обычной структуре адаптивного линейного сумматора.
Ниже показано, что решетчатая структура имеет определенные преимущества по сравнению с обычной. Идеальный алгоритм Прежде чем ввести алгоритм последовательной регрессии, представляющей собой приближение метода Ньютона, рассмотрим адаптивный алгоритм, который является идеальным в том смысле, что характеристики его функционирования не достижимы в практических случаях, но к их реализации можно стремиться. Поэтому идеальный алгоритм является эталоном для сравнения с ннм других алгоритмов. Для вывода формулы идеального алгоритма запишем заданный соотношением (4.32) алгоритм Ньютона %я+1 =%а — Р й чтл (8.1) Отсюда следует, что при идеальных условиях сходимость к оптимальному вектору весовых коэффициентов осуществляется за один шаг, т. е.
при начальном векторе %в имеем %,=%*. Идеальными являются следующие условия: 1) 1л=112; 2) на каждой итерации точно известен вектор градиента чу; 3) точно известна (и не изменяется) обратная корреляционная матрица сигнала 14 — '. Если нарушено первое из этих условий н 1ь находится в интервале от 0 до 172, то необходимо большее число шагов, но поиск по-прежнему осуществляется по прямому пути к вектору %*, как показано иа рнс. 8.1, который аналогичен рис, 4.6„за исключением того, что 1ь находится в пределах от 0,05 до 0,5, и поэтому для нахождения оптимального вектора требуется более одного шага. (Сравните с рис. 4.9, где представлена обучающая кривая.) Конкретная рабочая функция, используемая для примера на рис.
8.1, аналогична функции на рис. 6.3 и задана соотношением (6.14) при У=16 и ~р=0,01. Далее, если исключить второе условие и предположить, что вместо градиентного вектора используется его оценка Ф, то %ьч, = %„— 1х й ' ту к, (8,2) Теперь алгоритм является идеальным только по третьему условию, т. е. остается только предположение о том, что точно известна матрица ц-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
