Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 25
Текст из файла (страница 25)
124 (7.54) образом, мощ- энергетического Отметим, что в четвертом равенстве точки отсчетов последовательности сдвинуты друг относительно друга на п — т+1 шагов, поэтому математическое ожидание их произведения равно ср (и — т+1).,Г[алее, как в (7.46) и (7.47), окончательный результат получен после замены индекса суммирования. При выводе последнего соотношения сделано предположение, что г находится на окружности единичного радиуса.
Положим теперь, что [пв! — некоторая последовательность отсчетов, представляющая собой, как и последовательности [хв! и [уь), связанные равенством (7.10), стационарную случайную последовательность, Тогда по аналогии с соотношениями (7.45)— (7.47) можно вывести формулу взаимного спектра: Флв(2) = к Е [дь Ух+и! 2 '= л= — е — )ь, 2 — ' ь срлх (т) г — =- Н (г) Ф„„(г). (7,49) э=с м=— При замене в этих выражениях д на х получаем соотношение (7.47) .
Кроме того, чтобы выразить корреляционную функцию через энергетический спектр, воспользуемся формулой обратного преобразования (7.26). Поскольку Ф,в н (741) есть по определению преобразование от срл„, то из (7.26) 1 Е [Хв Увч н! =- ьРвв (л) = —. ! Флв (2) г'*-' йг. 2л1' Е [х„хьч.в! = ~р„(а) = — ( Ф„(г) г" — ' пг. (7,51) 1 2л/ ' В заклкгчение данного подраздела выпишем следующие основные соотношения; Ес.,и х, у и д"- стиционарныс сигналы и У(2) =Н(2)Х(2), то при =-, расположенном на окружности единично~о радиуса, Ф,в (г) — Н (г) Ф„„(г), (7. 55) Фл, (2) == П (2) Фл .
(2), (7.56) Фги (г) =-. [Н (2)! Ф е (2), (7.57) ьр„(ы) = —,1', Флв (г) гп — ' дг, ! (7.58) 2л) 1 дх Е [хв! = гр (О) = — 1 Ф,. (х) — . 2л) ' (7.59) Рабочая функция В предыдущих главах, начиная с гл. 2, характеристики адаптивного линейного сумматора рассматривались с помощью рабочей функции й, представляющей собой зависимость СКО от некоторых параметров. Найдем теперь выражение для рабочей функции через передаточную функцию адаптивной системы и энергетический спектр сигнала. !1редположим, что имеется адаптивный трансверсальный фильтр с одним входом, На рис. 7.5 представлены нерекурсивная система с одним входом (т, е, адаптивньш линейный сумматор с одним входом), ранее приведенная на рис. 2.2, а также полезный выходной сигнал с(в и сигнал ошибки ев.
Опустим здесь в весовых коэффициентах индекс /г, поскольку динамические характеристики рассматриваться не будут Рабочая функция нерекурсивной системы, т. е. зависимость СКО от весовых коэффициентов определяется формулой (2.13) (0) 1 от ц% 2Рт'ьв/ (7 60) где % = [ив сг, ... свь[т, ср „(1) ьр„(2) ,р, (о),„„(1) рх. (1) рвв (О) (7. 61) рхв ® ф„. (Š— 1) ьрлв (Š— 2) срхв (О) сре, (1) срхв (2) (7,62) (Е) ьр (Г..— 1) ср,х (Š— 2) ... «р, (0) (7,63) Р=.
[пьи„(0) ср„„( — 1) - Ч'вх ( -ь))~ Здесь вместо используемого в гл. 2 обозначения математического ожидания Е подставлена рассматриваемая в данной главе корре- 125 Рис. 7 а. Схема адаптивного трансверсального фильтра с одним входом ляцпоиная функция ср, Подставив (7.61) — (?.68) в (7.60), можно выразить рабочую функцию через корреляционные функции; ь с ь 5=.феа(0)+ ~„''» мссп ф„„(1 — т) --2 ~, юс фал( — 1), (7.64) с=о м=а с=-а Имея выражение для рабочей функции нерекурсивной адаптивной системы, перейдем теперь к более общей схеме (рис. 7.6). Полагаем, что передаточная функция Я (г) представляет собой функцию цифрового фильтра, приведенного на рис.
7.2, Будем считать в данном случае, что весовые коэффициенты (коэффициенты а и Ь на рис. 7.2) являются перестраиваемыми, поэтому В является функцией этих весовых коэффициентов. Если все рекурсивные весовые коэффициенты (коэффициенты Ь) равны нулю, то схемы на рис, 7.5 и 7.6 эквивалентны. Подставляя в (7.64) выражения (7.56), (7.57) и (7.59), имеем 5 = Е [Вт] = Е [(с( — Рд)'] = сРла (О) [- сРоо (О) — 2 сР„о (О) =- 1 ссг = ср„„(0) + — ( (Фо, (г) — 2 Фа, (г)] — =- сред (О) + 2л[ + — [, [Н (г-') Ф„„(г) — 2Ф„„(г)] Н(г) — . (7.65) 2л1 х Это общее выражение для рабочей функции любой адаптивной системы с одним входом.
Можно показать, что для нерекурсивного фильтра, т. е. для адаптивного трансверсального фильтра, выражения (7.64) и (7.65) эквивалентны. В обозначениях рис. 7,5 имеем ь Н (г) =- 2, 'асс г — '. (7,66) с-о ~алевмыи отклик Примеры рабочих функций В этом подразделе рассматриваются два примера рабочей функции на основе соотношения (7.65). В качестве первого примера возьмем адаптивный трансверсальный фильтр, приведенный на рис. 2.6, В этой системе имеется два весовых коэффициента мсо и пвс.
Входной и полезный сигналы х — з!и — ' и с[» 2соб — ' 2лл 2лл Лс су (7,68) Корреляционные функции, определяемые по существу выражениями (2.20) и (2.2!), 2 ли срл„(п) = 0,5 соз — ' 2лл фа (п)=з!и —, — оо(п(оо; 7сс фаа (0) = 2. (7.
69) Отсюда Н (г) = ша+аахг — '; 2лл Ф,„(г) =-0,5 ~ соз — ' г — "; л- — а .Подставляя это нерекурсивное соотношение в (7.65), получаем г. с. еь =- сРсса (О) = — [' в' со, г' с1слл (г) -- 2 Фпе(г) 2, пс,„г — м —" 2л? =а ь ь 1 =ср„л (О)+ ~ ~' ш, со„~ — ! Фе„(г) г' — 'с!г с=-а м" а Л! — 2 ~; ш,„— ! Ф„,(г)г- — ' дг =ф„(0)+ лс=а [ 2л! с + ~ ~ сас цс срхл (1 — т) — 2 Х васил фл, ( — т), (7,67) с=о лс-о лс=. О Для вывода последнего выражения здесь использовано соотношение (7.58). Таким образом, доказано, что (7,65) эквивалентно (7.64) для адаптивного линейного сумматора и является общим выражением для рабочей функции адаптивной системы с одним входом, В ха еи мел бки в» Рис 7.6.
Схема адаптивного фильтра с одним входом хс 126 2лл сР (г) х' В!и †" г ". л=- в Здесь важно то, что Фхл и Ф,сл записаны в виде сумм, поскольку эти суммы не являются сходящимися рядами, как это было выше в разделе, посвященном право- и левосторонним последовательностям. В общем случае, когда корреляционная функция является 127 периодической, считают, что энергетический спектр равен нулю всюду, за исключением единственной частоты, на которой он принимает бесконечное значение, н точно представляется суммой (7.70).
Подставляя (7.70) в (7.65), имеем рабочую функцию 2ил $=-сраа (0) т — ! (во-~ в,г) 0,5 ~ соз — ' г-"— 2ли дг — 2 '«„з(п — ' г " (ш,+гига '! — = д 1 2лл Г 1 =- 2 -,'- — Ч' соз — — !' !и'-', + гьо + гио гих (г + 2 н=- +г.')! — г - 2 ~', з1п — ' — ! (ое +го, х Х г — ) „,, ~ = 2+0,5 (ш'-,' —,го!) +шов, соз — + г"" 2л + 2и и!н — ' !у (7.7 1) шу оо КК сг Рис. 7.7. Примеры схемы рекурсивного адаптивного фильтра Таким образом, снова получена рабочая функция (2.24), которая для уу'=5 отсчетов за период приведена на рис, 2.5.
Отметим, что эта функция является квадратичной по переменным шо и в! и обладает единственным глобальным минимумом. В качестве второго примера рассмотрим систему, приведенную на рис. 7.7. Она принадлежит к системам идентификации илн моделирования, в которых входной сигнал хд является широкополосным (в данном случае белым шумом) и подается одновременно на входы адаптивного фильтра н идентифицируемой системы. По.!езный сигнал о(а является выходным сигналом идентифицируемой системы, поэтому, когда минимизируется Е(е'о), адаптивнын фн.!ьтр становится наи,оучшен, возможнон и преде.!ах регу.!нрусмы; параметров, ее моделью. Отметим, что адаптивный фильтр, представленный на рис. 7,2, при ао=!, а~=гав и Ь|= — шь является рекурсивным нз-за наличия коэффициента обратной связи ьиь На основании рис.
7.7 и в соответствии с (7,8) псредаточная функция этого адаптивного фильтра О ( ) ! + вог г+ во 1 — вг ' г — вг 1 Входную последовательность (ха) на рис. 7.7 назовем белым шумом и зададим следующие ее свойства: (7.72) (Е( х„-'), и = О, Некоррегированнгиг отти гь! ор„к(п) = ! О, а~О Постоянная .мощность Ф„к(г) = Е(хД. (7. 73) (7.74) Отметим, что (7.74) следует из (7.73), так как Ф а является г-преобразованием от ф,„(п) в соответствии с (7.42).
Здесь для простоты примем, что Ф„„(г) =1. При Ф„„(г) =1 можно найти Фии(г) из выражений (7.55) и (7.44), заменив в них индексы на индексы, соответствующие рис. 7.7: Фии(г) = !(1д 0,2г — '+г — а)с!)Кк(г)).. ! =-! +0,2г+г'. (7.75) Более того, из (7.о9), (7.57) (728) 1 . !, г Нг (0) = !' !1 ' 0,2г '+г г! =. 2,04. (7.76) 2л/ г Теперь, когда найдены все выражения, необходимые для вычисления рабочей функции на основании (7.65), имеем 3= 2,04+ — ! ( + —" — 2(! +0,2г+г') 1 — ' — ' (7 77) 2л)'!1 — вг1г — в,г В этом интеграле функция имеет полюсы в точках г=О, г=гв! и г=1/ге!. Как отмечено выше, с точки зрения устойчивости коэффициент ш, должен быть меньше 1, поэтому полюс 1гш! находится вне круга единичного радиуса.
В соответствии с (731) интеграл в (7.77) равен сумме остатков и точках г=ги, и г=О. Из (7.32) и (7.34) находим ф=2 04-!- +во в' — 27! ' 02!в д. гр'! ! '+ ' -1- во = !) ! — вг ! вг в, 1+ 2во во+ во г = 2,04 -1- — 2 !! + (ау! -, '0,2) (шо -1- ш,)), (7.78) 1 — вг В первом равенстве второе слагаемое есть остаток при г=шь в третье слагаемое гио/ги, равно остатку при г=0.
Итак, выражение (7 78) описывает рабочую функцию для втоРого примера, которая представлена на рис. 7.8. Отметим, что и 5 — 12 129 га,а Рис. 7.8. Рабочая фуннция системы, при- веденной на рис. 7.7 7. Для трансиерсального фильтра, приведенного иа Рисунке, постройте зависимость коэффициента передачи от частоты для ач =0; 1; 1О, отличие от первого примера данная функция й является квадратичной по переменной ша, но не является ни квадратичной, ни унимодальной по переменной ш!. Таким образом, в общем случае процесс адаптации по гпз является непосредственным, а по мг,— нет, Выбор гп, за пределами области устойчивости приводит к тому, что й становится бесконечной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
