Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В этих алгоритмах для достижения быстрой сходпмости сначала выбирают большее зна ~ение параметра: после установления процесса минимизации относительного среднего значения СКО берут мыле значения параметра. Этот метод реализуется только тогда, когда входные сигна зы являются стандартными случайными процессами. Упражнения 1. Запишите алгоритм нзнменьшлх квадратов ллн отдельного носового нозффнцнентн алацтннного линейного сумматора с однем входом. 2. Каковы приемлемые пределы значения параметра 1с ллн зззптнннога линейного сумматоре нрн мощпостн входного снгнзлз, рзноой р? 3. Нзпцшнте выражение ллн рзбочей функции н системе координат глав.
ных осей нз рнс. 6.3. 4. Объясните, почему н методе наименьших квадратов постоянные нременн Тоно и тоно одинаковы. б. Какова приближенная конзрнацноннзн мзтрнце шума градиенте н прнмсре нз рнс, 6 3 длн случая, когда закончен переходный процесс, сннззнный с злзнтзцнейз 6. Чему равны собственные зизченнн н примере не рнс. 6 37 7. Кзн нзменнтсн мнннмзльнзн ОКО, ее относнтельное среднее значение н обучающая кривая злзптннного линейного суммзторз нз рнс.
6,2, есле к нему лобзннть третий весовой козффнцнентз 8, длн схемы злзнтннного подавления снгцзлн, цредстзвлеоцой нз рнсуцне; ы с05— 7 100 а] запишите ныражения для рабочей функции; б) определите область значений парам а аметра ри в) найдите выраженн л е а горитма наименьших квадратов; г) постройте на одном г афике в =0,005 'р ф е две обучающие кривые для в=0,05 и и нулевых начальных условий, ана о и р= рис. 6.5. СП ени у овн, аналогичные кривым, прнведеным на 9 и .
.. пенитс постоянные времени для об еих кривых. . Для адаптивного ст ойства у р " тва предсказания, приведенного на рисунке: аь а) запишите выражение абочей Хха+ т~', рабочей функцни при заданной ф (л) =Е[хьХ б) запишите ны ажепне аб р квадратов для случая, когда а параметр р равен одной пятой максим .
рсделяемого по (6.10); максимального значения, опг) пспольз я фо и у ф р улу алгоритма наименьших ква атон, й з 20зиа ен!Г б ) 1 оши кн от ае до еж, положив %,=0. 1О. Для уст ойс у р " тва предсказания из упражнения 9 с" о ми йте счетов входного сигнала при н сформируйте 5000 ота при нулевых начальных условиях и ио формуле ха=0,95(гь — 0,5)+0,05ка П 'л=О, 1, ..., 4999, где гь — й-й номер в сл чайной нип А. Затем: у а ной последовательности, прпведенно" а ион ., й в приложе- а) на основе полученных данных найдите ко ел ного сигнала и! х найдите корреляционную матрицу вход- б) в соответствии с (6.21) выберите парамет, п и ко времени усредненной об ча ей етр и, при котором постоянная в) й о учанлцей кривой равна 1000 отсчетов данных; в постройте завпсимость пе вых Ю и ш й ,а от для метода наименьших ква р х ЮОО значений весовых козффш пен о нтов шчь ром щ ньших квадратов с полученным в (б) парамет- г) постройте обучающую крив ю, аналогии~ рис.
6.5. кривую, аналогичную крнной, приведенной на Глава 7 ПРИМЕНЕНИЕ Л-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В АДАПТИВНОИ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ В предшествующих главах рассмотрены адаптивный линейный сумматор и его свойства бсэ применения обычного преобразования, или анализа в частной области, которым пользуются для линейных систем 11 — 4) В данной главе приведен обзор некоторых стандартах понятий и методов цифровой обработки сигналов и показано, как применять их к анализу линейных адаптивных фильтров. В частности, представлен метод г-преобразования в анализе цифровых систем и показано соотношение между г-преобразованием и частотной характеристикой (коэффициентом передачи и сдвигом фаз) системы.
Кроме того, рассмотрены с помощью г-преобразования метод наименьших квадратов и рабочая функция для этого метода. По цифровой обработке сигналов имеется много исчерпывающих книг [1 — 4, 7 — 91, поэтому материал излагается кратко. Для адаптивного линейного сумматора представления, излагаемые в данной главе, дают лишь другой взгляд на разработку и анализ адаптивных систем. В то же время для других видов адаптивных фильтров, например для рекурсивных, рассматриваемые здесь методы преобразований являются необходимыми.
г-преобразование Как следует из изложенного выше, при ана.!изе таких систем обработки сигналов, как адаптивный линейный сумматор, используются множества отсчетов, т. е, упорядоченные последовательности отсчетов. Они состоят из различных временных рядов, а именно, входного и полезного сигналов и сигнала ошибки, а также значений весовых коэффициентов. Для любой такой последовательности г-преобразование определяется следующим образом [хд) [.-х !х х,хах, ...) — последовательность данных, ° О (7.
1) Х (г) = ~ х„г — а — г-преобразование. 1!0 Здесь г представляет собой непрерывную комплексную переменную, а Х(г) называют двусторонним г-преобразованием, так как индекс )) может принимать как отрицательные, так и положительные значения, В самом деле, для получения Х(г) необходимо знать х„для всех целых значений й. Поэтому, просто полагая, что для всех отрицательных й значения ха=0, получаем одностороннее преобразование, Рис. 7.1. Отсчеты функции кк=е оз и ее г-пРеобРвзованне, для которого нуль находится в точке г=о, в полюс — в точке г=е-а Последовательность отсчетов хв=е — "': й)0, а)0; х„е"з; )г(0, х) 0; г-преобразование к (е — аг — ')»= г — а г=о г — е о (еа г-')е = — а — ге о,о 5 зо г В качестве простого примера г-преобразования рассмотрим отсчеты [хз) экспоненциальпой функции О, А<01 хв= е — "", й)0, а, О.
(7.2) Тогда г-преобразование есть простая рациональная функция от а и г, показанная на рис. 7.1, Поскольку хе=О для отрицательных !с, в данном случае имеем одностороннее г-преобразонание. Это преобразование имеет нуль (т. е. равно нулю) в точке г=О и полюс (т. е становится бесконечным) в точке г=е а. Как и для примера на рис. 7.1, бесконечную (или даже конечную) геометрическую сумму всегда можно записать в виде рациональной функции, поэтому г-преобразование позволяет простым способом выразить многие последовательности отсчетов.
Таблицы г-преобразований можно найти в [4). Отметим также, что в г-преобразовании содержится вся информация об исходной последовательности отсчетов. Каждый отсчет в (7.1) связан с единичной мощностью переменной г, поэтому по г-преобразованию можно полностью восстановить множество отсчетов, Иными словами, существует обратное г-преобразование, которое будет рассмотрено далее. Право-и ловостороииие последовательности Последовательность отсчетов в (7.2) является правосторопней, так как сигнал начинается при )г= 0 и строится вправо по мере увеличения !г. Левосторонняя последовательность строится от )г=О влево по мере уменьшения )г, а двусторонняя последовательность направлена в обе стороны от у=О.
В соответствии с (7.!) можно найти преобразование для всех последовательностей, но области значений г, для которых (7,1) сходится, при этом различны. Рассмотрим следующие примеры: 112 г — с у сова)гг г = . г — сова) «=-о гз — 2г соз а + 1 х„= сов ай! й) О. ' Сумму третьего ряде можно найти, если згписвть соз ай= (е'а" д-е-~а'1,2 е затем просуммировзть геометричеокве ряды. Комплексная г-плоскость содержит точки, збсциссы и ордвнеты которых являются действительными и мнимыми частями г.
Кзждое значение г соответствует точке из г-плоскости. ' Это преобразование можно нидсоизменнть, просуммировав обв ряда. 113 Отметим, что в первом примере сумма сходится только тогда, когда 1г~ )е — ', так что слагаемые ряда убывают с ростом й. Аналогично второе преобразование сходится только тогда, когда )г) (еа, а третье преобразование ' — если )х! ) 1. Таким обрааом, для право- и левосторопних последовательностей справедливы следующие правила: Если хз — левосторонняя последовательность, то преобразование Х(г) сходится при !г~(1, а его полюсы расположены на границе плп вне области 1г~ =1, Если хз — правосто.
ропняя последовательность, то преобразование Х(г) сходится прн !г~)1, а его полюсы расположены на границе итп внутри области 1г ( = 1. Эти правила являются общими и не дают точной области сходи- мости Х(г) на и-плоскости '. Например, в случае хв= е-" прп )г)0 область счодпмости зависит от а, но всегда вклю ~ает гнь ласть вне единичного круга, апреле ~яемую неравенством !г)) ! Для всех последовательностей полагаем, что отсчеты [х~,.] являются конещымп и остчются ограниченными по мере;ветичения 11г1. Существуют случаи, например для рассматриваемых в этой главе корреляционных функций или некаучальных фильтров (см. гл. 10), когда желательно иметь преобразование двусторонней последовательности даже если область сходимости вообще пе существует.
Обычно в этих случаях удобно или не суммировать двусторонние ряды, как это сделано в (7.70), или же рассматривать отдельно право- и левостороннюю составляющие всей последовательности (см. гл, 10). Например, преобразование хв=созай для нс: 0 рачно взятому с обратным знаком преобразованию из предыдущего примера ', в котором хз=соз ай для й= О, но обе области сходпмости пе пересекаются, Поэтому полного двустороннего г-преобразования не существует несмотря на то, что всю последовательность можно в соответствии с (7.70) представить двусторонним рядом.
Передаточные фуннннн (7. 5) Частотный отнлнн 116 Понятие передаточной функции является обшим для анализа как непрерывных, так и цифровых линейных систем, Передаточная функция равна отношению преобразования выходного сигнала системы к преобразованию входного, Для анализа непрерывных систем используют преобразование Лапласа, а цифровых— г-преобразование, Обший вид линейной цифровой системы (или алгоритма) обработки сигналов приведен на рис, 7.2. Сравнение этой схемы со схемой на рнс. 2.2 показывает, что если в цепи обратной связи положить коэффициенты Ь равными нулю, то схема на рис. 7.2 преобразуется в адаптивный линейный сумматор с одним входом. На рис.
7.2 весовые коэффициенты показаны без стрелок, поскольку в данном случае важно показать, что они имеются в схеме, а нс то, что их можно корректировать. ' Таким образом, на рис. 7.2 представлен обший внд линейного сумматора с одним входом, или цифрового фильтра. При отсутствии обратной связи таков фильтр называется нерекурсивным, при наличии обратной связи — рекурсивным. В обоих случаях ныражение для выходного сигнала Е У„= ~ авхь „+ 2; Ь„У, „. (7.3) э=0 э=1 Прн нулевых коэффициентах Ь имеем выражение, аналогичное (2.3), т. е. нерекурсивный алгоритм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
