Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. пока го находится внутри окружности единичного радиуса. (Примем, по определению, что фильтр, полюс которого находится на окружности единичного радиуса, является «условно» устойчивым.) Подводя ирои! этого раздела, запишем резулш'аты для фильтров конечной длины в виде табчицьг вестна в области теории функций комплексной переменной,и оп- ределяется выражением х„= — 4' Х (г) г" — ' 2(г. 1 2л/ Здесь принято, что замкнутый контур интегрирования представляет собой окружность с центром в начале координат г-плоскости, к которому сходится Х(г) в (7.1). Справедливость равенства (7.26) легко доказать, подставив в (7,1) прямое преобразование. Тогда 1 ге — л — ! 2(г = — 2,' — Гхл гь — л — ! 1(г (7 27) 2л :! е= — » л=— 2л» Из теоремы Коши [5] получаем следующий общий результат; — — тг»е2(г= [ !О, тФ вЂ” 1; (7.28) 2л! [1, л2 = — 1.
В (7.27) х„— константа, поэтому ненулевым является только один член суммы при л=й, и этот член равен хе Таким образом, (7.27) переходит в тождество, что доказывает справедливость равенства (7.26). Полезно также отметить, что подстановка г=- е1" (7.29) л х„= — )'Х(ем') е~'" ейа, 2л л (7.30) а множество отсчетов представлено здесь в виде спектральной функпии Х(е1"'). По существу, это формула обратного преобразования Фурье.
Перейдем теперь к практическому вычислению интегралов ви.ча (7.26), или, что то же самое (7.30). Если Х(г) — полипом от г, то в (7.26) х, является просто одним из коэффициентов полинома, зависящим от индекса й. Однако если Х(г) является отношением полиномов, то необходимо воспользоваться теоремой об остатках [!О), в которой утверждается, что х„= — ! Х(г)г" — '2(г= 2;Г!ез[Х(г)г" — ' в точке г„[, (7.31) 2лу т. е. хе представляет собой сумму значений остатков подынтегральной функции во всех полюсах, находящихся внутри контура интегрирования. Г1оложим, что Х(г)г"-' — рациональная функ- 120 в (7.26) дает обратное преобразование частоты.
Эта подстановка приводит к тому, что 2(г заменяется на !гдеа, и в качестве замкнутого контура интегрирования можно взять путь по окружности ЕДИНИЧНОГО радИуСа От ТОЧКИ г=Š— 1л дО ТОЧКИ г=Е!" (т. Е. ОДИН оборот по окружности) Следовательно, (7.26) принимает вид ция г, тогда каждый нз этих остатков находится следующим ооразом. Пусть г„— полюс Х(г)г" ', входя!ций г раз.
Запишем Х(г)г" — ' = )'(г)/(г -г„)' (7.32) и остаток в точке гл 1?ез [Х (г) гь ! в г ) ' ' . (7.33) (2 — 111 2!2 Прн 2= 1 для простого полюса рез [Х (г) г' ' в г„) =-1'(г„). (?.34) Таким образом, используя соотношения (7.31) — (7.34), получаем способ вычисления обратного преобразования для рациональной функции г. (Отметим, что в (7.31) при Й=О обычно существует дополнительный полюс в точке 2=0.) Для иллюстрации этого способа снова рассмотрим пример, приведенный на рис. 7,1, Здесь для хж заданных при й)0, Х(г) = =г!'(г — е-'); тогда (7.3!) принимает вид хх-.
— !' Х (г) г'-' 2(г.= ! 2л? — = Г(ез ~ ' в е -" , 12 ) О, (7,35) 2»'! г — е' е 2 — Е Поскольку в данном случае имеем простой полюс, можно воспо тьзоваться выражением (7 34) х„= р (е — ") = е — "", й ) О, (7.36) как показано на рис. 5.1. Отметим, что область значений индекса 12, для которой существует обратное преобразование, не определяется интегральной формулой н, следовательно, должна быть задана.
В предыдущем примере 12)0, н последовательность [ха[ является правосторонней Для левосторонних последовательностей наличие множителя г"-' в (7,26) затрудняет применение формулы (7.33) при вычислении остатка в точке г=О. Наиболее простым способом вычисления в этом случае является подстановка в формулы (7.1) н (7.26) для прямого и обратного преобразований переменной и=г '. Такая подстановка изменяет любую последовательность на противоположную с точки зрения понятия право- и левосторонней последовательностей.
Например, преобразование последовательности х„=е'е при й =0 при введении переменной и имеет иид и!'(и — е-'), а обратное преобразование можно найти из соотношений (7.35), (7.36). Другие примеры вычислений приведены в упражнениях 16 — 18, 26, 27. Корреляционные функции и энергетические спектры В большинстве случаев при анализе адаптивных фильтров предполагают, что входные сигналы обладают неизменными за 12! период анализа статистическими свойствами (даже если это не совсем так). Поэтому целесообразно рассмотреть сигналы, которые являются либо периодическими, либо стационарными случайными последовательностями отсчетов.
Свойства таких сигналов можно описывать с помощью корреляционных функций, которые для адаптивного линейного сумматора с одним входом определяются по аналогии с выражениями (2.11) и (2,12): взаи,иокорреляционная функция ьр,о (и) = Е [хд уд» и[, (7.37) авг окорреляционная функция ьрии (и) =- Е [хд хдь„), — оо ( и < оо, (7. 38) Здесь математическое ожидание находится по й. Отметим также, что автокорреляционная фуьгкция является частным случаем более общей взаимокорреляционной функции при х=у в (7.38). Если средние значения не зависят от и, то хдуь. и хд „уд представляют собой один и тот же относительный сдвиг между х и у, и (7,39) ьр„ (и) = Е [у, хд» „] = Е [уд хд) = ори„ ( — и). является четной Таким образом, автокорреляпионная функция функцией, т.
е. (7,40) гри, (и) = ьр„и( — и). Введем теперь определение' дискретного энергетического спектра в виде г-преобразования обеих корреляционных функций (7.37) (7.38) . Тогда ° О взаимный энергетический спектр Ф„о (г) = ~ ьр„о (и) г — ", (7.41) (7,42) энергетический спектр Ф„и(г) = Х ьр,,(п) г " Отметим, что Ф„„(г) — здесь также лишь частный случай функции Ф „(г) при у=х. Аналогично тому, как это сделано выше в разделе, посвященном рассмотрению частотного отклика, можно вместо г подставить еь и получить выражение для внергетического спектра в терминах частоты: (7,43) Ф (еь") = ч'. гр „(и) е-г Эта запись по существу представляет собой дискретное преобразование Фурье функции чг„о(гг), задающее распределение произведений отсчетов [хдуд+„1 по частоте, где, как и ранее, ог=п при половине скорости отсчета.
Важным свойством, следуюьцим из (7.39), является свойство симметрии энергетического спектра. При перестановке местами 122 сигналов х и у имеем соответствующую перестановку по времени ь (7.39): Феи (г) = У ьуио ( — и) г —" = г' ЬРио (пг) г = Ф„„(г — '), (7,44) и= — и ги Здесь подстановка г-' вместо г означает комплексное сопряжение, если г находится на окружности единичного радиуса, что всегда справедливо при рассмотрении частотной характеристики.
Рассмотрим теперь соотношение между энергетическими спектрами и передаточными функциями. Положим, что [уд] и [х,) связаны некоторой линейной передаточной функцией Н(г), как показано на рис. 7.4, что, в свою очередь, эквивалентно схеме на рьс. 7.2. Здесь Н(г) задана в виде (7.10), поэтому реальный фильтр может быть как рекурсивным, так и нерекурснвным. Подсгавляя (7.37) и (7.10) в (7,41), получаем Ф„о (г) = ч'. Е [хд уг,+и[ г —" = — Е 1хд 2„[гь хг,+и ь г ". (7.45) г=о Поскольку математическое ожидание любой суммы равно соответствующей сумме математических ожиданий, оператор Е в (7.45) можно внести,под знаки суммирования. Кроме того, меняя порядок суммирования, получаем Ф„„(г) = ~, 'йь 2, 'Е [хд хо+и,) г-". [7.4б) г=о и=— Далее, подставляя индекс пь=-и — 1, находим искомое соотношение для передаточной функции Ф,„(г)= ~ Ььг — ' 2' ,Е[хдхд „,)г г=о иг=— Ю вЂ” Ьь г — ' ~ ьри (т) г "= Н (г) Ф„„(г), =о Проводя аналогичные преобразования, получаем следующее соотношение между передаточными функциями Фии и Ф„„; и Фоо(г) = ~ ьР„„(п) г "= 2, 'Е [Уд Уд» и[ г и=— и Г Е ~ ~„'пь хд г ~ пи,хд»и г-и=- в — г=о иг=О ~', пь г' 2', й г — '" ~'„Е [хд, хд+„„,) г — Ьи — +'Ь = г=о — о и=— Ьь г' 2; й г"' 2; ьгии (и — пг+!) г "— +'ь) = г=.о иг=О и=— = Н (г — ') Н (г) Фии (г) =- [Н (г) [' Фии (г).
(7.48) 123 Рис. 7.4. Схема, эквивалентная приве- денной ив рис. 7.2 В частности, при п=О Е [хл у„! = ср„в (0) = — ф Ф„„(х) —; (7.52) 2л) " 2 Е [ХЭ! =- р,, (О) = — !' Фв„(г) Ж (7.53) 2лу ° ' г Последнюю величину, равную среднеквадратическому значению хы называют полной (сРедней) мом(ностыо последовательности [хь!. Отметим, что в частотном представлении (7.53) эквивалентно выражению и Е [хв! = — [' Ф„м (Е!") йо, так же, как (7.26) — выражению (7.30). Таким ность Е[хвь! равна интегралу от дискретного спектра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
