Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Кроме того, этот фильтр яв- Рнс 7.2. Эквивалентные схемы алгоритмов цифровой обработки сигналов ' Когда происходит процесс еднптэцнн весовых коэффяцнентов, фильтр е нзыеняюшнмнся во времени перныетрэын не ныеет передэт юой функции. Она сутдествует прн фпкснровэпных весовых коэффициентах. 114 ляется каузазьныч так нзк коэффицненгы а непутевые гля „, положительных п. Для получения передаточной функпии найдем г-преобразова- ние выражения (7.3): ь ь У(г) = '~ ~ авх„нг — л+ 2, '~; Ь„у, .г — К (7,4) е= — э=о е= — м э=1 Если необходимо найти выражение для правой части в виде г-преобразований, то нужно задать коэффициенты а и Ь„для всех значений п Как предполагалось выше, для этого следует приравнять нулю коэффициенты ан и Ьв для тех значений п, ко.
торые соответсгвуют позициям «вне фичьтра» на рис. 7.2. Таким образом, [ав] = [... 000аоа, ... аь000 ...], [Ь„] = [... 000 Ь, ... Ь~ 000 ...], Теперь можно записать (7,4) с бесконечными пределами сум- мирования, изменив порядок суммирования: )л ч (г) = 2; а„2' ,хе „г — «+ г'„Ь„ч' уе „г — е. (7 6) л= — ь Э= — ь ч= — я=- Далее, правую часть можно переписать в виде г-преобразова- ний, пРосто изменяя индексы. Если положить т=й —, = — и, то преде- лы суммирования по-прежнему остаются бесконечными, и (7.6) принимает вид ы-( н ...-)( з,„,— ) ~( з ь„- )( г з.
~) З чз=- = А (г) Х (г) + У (г) В (г). (7.7) Как отмечалось, передаточная функция Равна отношению г- преобразования выходного сигнала У(г) к - б г-прео разованию входного сигнала Х(г). Поэтому из (7.7) имеем передаточная функция =Н(г) =-У(г)/Х(г) =А(г)7(1 — В(г)), (78) Таким об и образом для нерекурсивного ° оритма при В(г) 0 имеем У(г) =А (г) Х(г). ПРостая замена г на еу, где оз — нормированна 1 позволяет ая частота, получить дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для определяемого ниже по (7.22) импульсного отклика, т.
е. пол чить по передаточной функции частотный отклик линейного 'Э. тэ частота норынровэпэ таким обрззом, что ю=2п. Следует нм внду, что непота ые авто дует иметь в кото он вво ~ р вторы обозезчзют через ь1 неяорннровэнную чзстоту, р й д~тся временнбй интервал Т, кэя это сделэно н (7.16), вто » чзстоту, для фильтра, Чтобы показать это, разделим сначала А(г) в (7.8) на ! — В (г): Н(г) = 2, п„г ":= А (г)/(1 — В(г)), (7.9) л=о Отметим, гго здесь 5„~=0 только для положительных п, поскольку а„эьО только для положительных и. Таким образом, любой каузальный рекурсивный фильтр эквивалентен каузальному не- рекурсивному фильтру бесконечной длины. Из (73) и (7.9) (7.10) уа =- 'Я /) л ха „.
л=а Соотношение (7.10) также описывает каузальный линейный фильтр. Для нахождения частотного отклика фильтра, заданного в (7.10) множеством коэффициентов 1/)),), предположим, что [хй! является множеством отсчетов синусоиды с единичной амплитудой и некоторой заданной частотой ы, и затем вычислим (уй). При этом (7. ! !) х, =- ер')т.
.й= Тогда в (7,10) имеем (7.12) =.о «« =о Поскольку для получения синусоиды у), синусоида х), умножается на величину, стоящую в скобках, эта величина должна быть частотным откликом фильтра, т. е. определять коэффициент п«редачи и фазовый сдвиг на частоте о). Но величину, стоян)у)о в скобках, можно получить подстановкой в (7,8) или (7.9) е)ю вместо г, Поэтому для любого лпиейчого фильтра типа фильтра, представленного па рис. 5.2, имеем частотный отклик = У(еги)/Х(е)м) =- А (с)та)/(1 — В(е''"')! (7 13) Из (7.13) видно, что частотный отклик является период)«ч«ской функцией ы, поскольку еть' не изменяется при увеличении ы па лк)- бую величину, кратную 2л. Более того, если вместо ь) подставить 2т — ы, то е/«ви — ы) = е — )'"' (7.
14) Поскольку коэффициенты А(г) и В(г) являются действительными числами, имеем У (е) «'" — ы)) /Х (е) ™ -ы) = У (е — л"),) Х (е уы) (7. 15) Поэтому передаточная функция У/Х определяется только для 0(ь)~м. Эта частотная область называется интервалом Найк- виста, причем частота ы=н называется центральной частотой, а частота отсчетов ы=2п При необходимости записи хй в (7.11) 116 в виде функции времени, а пе в виде зависимости от номера отсчета й полагаем «о — И 7 = 2н/Т, (7.
16) где аа — частота, рад/Гц; / — частота, Гц; Т вЂ” времепнбй шаг (интервал между отсчетами), с, так что в показателе экспоненты появляется величина 1=/«Т, Далее, па т)астотс и/7' рад,'с или !/2Т Гц, находится центральная частота, равная половине частоты отсчета. Конкретный пример частотного отклика приведен на рпс. 7Л Здесь передаточная функция Н(г) = У(г)/Х(г) =.— 0,27/г'.)-1)/(г' — 1,27г+0,81). (7.17) Частотный отклик в этом с:)у ше Н(е)ы) = О 27(еа)те-'- 1)/(еа)тс — 1,27е™+О 81) =- = 0,54 соз «о (1,81 соз «о — 1,27 — / 0,19 з(п «о)Д(1,81 соз «о — 1,27)'-1- + (0,19 5)п ы)а). (7. 18) Амплитуда и фаза частотного отклика Н(е"') называются коэффициентом пер«дачи по алсплнтуде и фазовы.т«сдвиго,н фильтра.
Из (7 !8) имеем Н(Е)ы) х Йс+! 1п); коэффициент передачи по амплитуде = !Н(е) )) = (Йеа-ь !т'!)~'; фазовый сдвиг =- !и — ' (1)п/Йе). (7. 19) "« екнннчного тса о а й ),о мй кк оо й о Частоте «ьт) б) Рис 73 Пример частотного отклика цифрового фильтра а) схема фильтра б) частотный отклик; е) полюса и н)ли на т-алоскостн ПТ Для данного примера на рис. 7.3 построены зависимости ко- эффициента передачи по амплитуде и фазового сдвига, Помимо коэффициента передачи по амплитуде применяют коэффициент передачи по мощности, который равен квадрату коэффициента передачи по амплитуде и иногда задается в децибелах. Таким образом, коэффициент передачи по мощности =-1Н(е(м))я= (ееа+1шя; фазовый сдвиг (дБ) = 10 1ояте !Н(е(тв)(а.
(7,20) На ис. 7.3 р .. также показано влияние полюсов и нулей функции Н(г) на коэффициент передачи и фазовый сдвиг. Для получения частотного отклика в (7.13) принято г=ет, и поэтому п и из«! от 0 до центральной частоты (я) переменная г совер— р з- шает движение по верхней половине круга единичного радиуса дится около на г-плоскости. Когда аэ принимает такое значение, что , чт г нахок ло полюса, коэффициент передачи является большим, как это имеет место при еэ=л(2 на рис. 7.3, При прохождении г вблизи или ч ли через полюс или нуль на окружности единичного радиуса фазовая характеристика, как показано на рис. 7.3, рез- ко изменяется.
Импульсная харантеристнна и устойчивость Предположим, что на выходе системы имеется множество отсчетов импульсов, состоящее из одного един!много отсчета при [хв) = ( ... 00100 ... ) . (7.21) По определению (?.1) г-преобразование единичного импульса Х(г) = 1. Поэтому, если (ха) является входным сигналом фильтра с передаточной функцией Н(г), то, как следует из (7.8), и выходной сигнал должен представлять собой последовательность, г-преобразование которой равно Н(г): импульсный отклик =7 ' (Н(г)1, (7,22) где Л-' обозначает обратное г-преобразованне.
На основании (7.22) можно утверждать, что такие нерекурсивные цифровые фильтры, как адаптивный линейный сумматор, сами по себе являются устойчивыми, поскольку весовые коэффициенты принимают конечные значения, импульсная характеристика ограничена по амплитуде и по длительности. С другой стороны, как следует из (7.10), рекурсивные фильтры обладают импульсной характеристикой бесконечной длины. Каузальный рекурсивный фильтр является устойчивым только тогда, когда полюсы передаточной функции находятся внутри окружности единичного радиуса, как показано на рис. 5.3. Определить устойчивость можно следую!пик образом. Пусть передаточ- 118 ная функция Н(г) равна в соответствии с (7.8) отношению полиномов от г — '. Если представить Н(г) в виде суммы дробных функций, то Н(г) будет содержать члены вида г "((1 — гег '), где зов точка полюса. Таким образом, можно ваписать Н (г) = + 6 (г), (7 23) то а где 6(г) — остаток Н(г); т1 — константа.
Поскольку входной сигнал начинается при ((=О, ясно, что отклик (т. е. обратное прсобразование) должен быть правосторонней последовательностью. Следовательно, первый член в (7.23) можно выразить в виде правостороннего ряда и записать Н (г) = А ~ гв " г 'е + 6 (г). а=и Отсюда импульсная характеристика ((а==У вЂ” '(Н(г))=Аг,"— "+У ' 16(г)), (а=»и. (7,24) (7.25) Импульсная тнрностсрнстнин условно устоячивостн Фильтр Конечные коэффициенты Конечные коэффициенты; полюсы расположены няутрн круга )г)=! лля кау. эальппго фильтра Коне исая (КИХ) Бескппе ма я (Б1!Х) Нерекурсннный Рекурсннный Термин «бесконечная», как и в (7.10) нлн (7,25) означает беско- нечная по протяженности, а сокрашения КИХ и БИХ часто ис- пользуют для определения этих двух классов фильтров. Обратное г-преобразование Из (7.24) и (7.25) следует, что обратное г-преобразование любой рациональной функции можно найти, если разложить дробь и преобразовать ее в геометрический ряд.
Однако для анализа систем с помощью методов наименьших квадратов требуется более удобная форма обратного преобразования. Такая форма из- 119 Хотя в общем случае точка полюса го является комплексным числом, очевидно, что импульсная характеристика растет ограниченно, пока модуль го меньше 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
