Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Последние две структуры находят широкое применение в адаптивной обработке сигналов, каскадная структура является предметом исследования в !21). Кроме того, из (8.64) можно получить различные решетчатые структуры, которые применяются в адаптивной обработке, в частности в системах линейного предсказания (22, 23). Рассмотрим сначала способы приведения (8.64) к решетчатой структуре. В !181 разработан следующий алгоритм. Перепишем (8.64); Н (г) = )г (г)IХ (г) = Ас (г)(Вс (г); (8.65) Н (г)— аью+асл г — '+ ...
+ асс г (8.66) Ьсю -'- Ьгл г т + ". ~- Ьсс г Здесь Х и у — преобразования входного и выходного сигналов, индекс 1. — размерность фильтра, а Ьью предполагается всегда ' В отличие от гл. 7 здесь дли симметрии полагаем, что коэффициенты Ь имеют знак. =Ле(г)-(-тдгС,(г)-1-... +т(сгСВ(г), (8.72) Но по определению А,(г) =пес=то и из (864) имеем г С, = В, (г-') = В, (г) = Ь„= 1. (8,73) Следовательно, можно переписать (8.72): с Аь (г) = 2; д(( г С, (г). (=а Подставляя г-преобразование сигналов из (8,65), получаем У (г) = 2'..
Х (г) т( — '( (8.75) В( (2) Это соотношение будет использовано для описания решетчатой структуры, но сначала необходимо получить один дополнительный ,результат. В [19! показано, что — (8.76) Доказательство этого соотношения здесь не приводится, а лишь иллюстрируется ниже в примере. Можно переписать (8,76) для элемента решетки, на основе которого затем формировать решетчатую структуру в соответствии с (8.65). Из (8.76) имеем В, (г) = В,, (г) + к(, С,, (г), (8, 74) равным 1. Из (8.66) построим последовательность полиномов более низкого порядка для 1= Е, Š— 1, ..., 1: гС, (г) = г — 'В((г-'); к,,=Ьц) В! (2) — к(, 2С( (2) В(, (г) =- В 1 — й,( ( тд( —— — ап 1 (8.70) А(, (г) = Л, (г) — м(гС, (г).
(8.7!) Здесь введены к(, и тч для 1=1, 2, ..., Е. Кроме того, по определению, мед~ аеа. Далее эти значения коэффициентов к и т будут использованы в качестве коэффициентов решетки. Для того чтобы показать это, отметим, что многократной подстановкой равенства (8.71) можно получить Ап (г) = А(. ( (г) + д(с гС!. (г) = = Ад 2 (г) + игС — ( (г) + ивгСВ (г) = л(.)в, ( Х(=) В, Вд (П В, (2) .Х(2) С, ( :Х(:) С,, М) В( (т) В( (и Рис. 8.!О. Элемент решетки с двумя устройствами умножения, соответствуюшнй выражениям (8.77) и (8.78) или Х((.2-) )Вд РЛ в, (.) Х(2) Х(2) В, (2) 2Х( св сми вд (и г С, (г) = к,, В(, (г) + г — ' (г С( д (г)!.
(8,78) Если в качестве г-преобразования входного сигнала взять Х(г)/Вь(г), то, как показано на рис. 8.10, выражения (8.77) и (8.78) реализуют элемент решетки. Отметим, что все суммируемые входные сигналы являются положительными, а направление сигнала обозначается стрелкой. Объединим теперь эти элементы решетки в каскадную структуру, как показано в примере на рис.
8.11 для Е=З. В правой или у(и (8.77) 188 В,, (г) = В, (г) — к, д г-' (г С,, (г)), С((г)= — г (с( дВ( д(г)+г ( С( д(г), Рис. 8.!1. Пример решетки с Ь=З на основе элемента с двумя устройствами умножения 187 (8.80) (8.83) (8.84) аг А, (г) = а, — а, Ь, + (а, — а, Ь,) г ' г С, (г) = г — ' + Ь,Е(! + Ь,), к, = Ь,Е(1 + Ь,), В, (г) = 1; т =ад — а,Ь,; Ь,(а, — неЬ1) т =А,(г)=а — а,Ь,— !+ь (8.85) (8.86) (8.87) 158 части этой структуры имеются два узла, для которых 1 — 1=0 в схеме на рис.
8.10, т, е. правый верхний сигнал= Х (г) Ве (г) Х (г) Вс (г) Вс (г) (8.79) г Х 12) Се (г) Х 12) правый нижний сигнал= Вь (г) Вь !г) Это следует из (8.73). Поскольку эти сигналы равны, оба узла в п авой части схемы на рис. 8.11 всегда соединены. левой части структуры имеются узлы, для которых 1=1. в схеме на рис.
8.10, поэтому Х 12) Вс 12) левый верхний сигнал = = Х (г), (8.81) В (г) Таким образом, найден входной сигнал структуры хм Из рис. 8.1 О видно, что в каждом узле нижней части структуры на рис. 8.11 формируется член суммы (8.75), и, таким образом, решетчатая структура эквивалентна обычной реализации формулы (8.64). В (27) доказана теорема, утверждающая, что полюсы функции (864) находятся внутри круга !г(=1, если !к1)(1 для всех 1. Поэтому при )к1((! решетка является устойчивой. Перед тем как привести пример, отметим, что можно получить лестничную структуру, эквивалентную схемам на рис. 8.10, 8.11.
Для этого подставим (8.77) в (8.78): гС, (г) = Ег,, В, (г) + г ' (1 — к,) (гС! т (г)!. (8.82) Равенство (8.82) описывает элемент лестничной структуры на рис. 8.12, который является эквивалентом элемента (8.77) на рис. 8.!О, Кроме того, существует элемент решетки с одним пере- множителем; еге коэффициенты .получены в [18). В качестве более конкретного примера решетчатой структуры рассмотрим решетку, полученную преобразованием фнльтра второго порядка. Из (8.67) — (8.71) имеем г С (г) = г 2 + Ь, г ' + Ь„ к, = Ь,; В,() =1+ '— "', !+ь, ' «!т! в, 1:! х 1=! в, , !т! в В1 !Л . х !т! 1) !т! тХ!т! С, вд !л Вс !т! 1 — и Рис.
8.12. Элемент лестничной структуры с тремя устройствами умножения, эквивалентный приведенному нв рнс. 8.10 Т а б л н и в 8 2 Преобразования ковффиинентов для с=2 Коеффициеиты решетки Коэффициенты обыеиоо структуры Ь,(а, — а Ь,) ео = ао — — атЬ + ! е от= а, — а,Ь, ае = то + е,к, + тек, а, = т, + тике(1 + к) те = аи а,=т Ьз = к, 11 + к,) Ь =кз .=Ь1Е!1+Ьт) кд — — Ье Рассмотрим теперь два частных случая общей решетчатой структуры. На рис, 8.13 приведена схема первого примера, для которого в (8.64) полагаем ао= ' а,= а,=,, =ас=-О, н тогда передаточная функция не имеет нулей и обладает толь- ко полюсами.
Подставляя (8.88) в (8.70) и (8.7!), находим , =,.=от=0, з'о = 1. (8,89) Таким образом, схема на рис. 8!3 представляет собой вариант схемы на рис. 8.11 с передаточной функцией без нулей. Из (8.73) видно, что выходной сигнал в правой части схемы равен у(г) = =Х(г)ЕВс(г). Данная схема является лишь частным случаем об- щей решетчатой структуры, Отметим, что система, приведенная на рис. 8.13, устойчива тогда, когда !к1)(! для всех 1. Другой 159 (8.88) Отсюда легко найти коэффициенты обычной структуры, выражен- ные через коэффициенты решетчатой структуры. Результаты при- ведены в табл.
8.2. Отметим, что для устойчивости системы ~ьг~ должен быть меньше единицы. х('=! вь (л в! (и г(г( '3, ( З (г( в, (г! Л (ь( л (.( с„(г! (и (8,90) (8.91) )г (г) = Вс (г) Х (г); и (г) =- ~ Ь! †'; Ь = 1. (8.92) (=з х(:( й т(:( 3, (-( ° Г ь !м (-( Рис. 8.14. Вариант злемеита решетки с двумя устх(ь(; (ь( ройствами умноженни, приведенного на рис. 8.10 .т(:! с,,(ь( Рис. 8.16. Предсназапие на ( ы'а один шаг (а) и фильтрация по одному шагу (б) 6 — 12 б( 160 161 Рис. 8.13. Вариант схемы без нулей, приведенной ва рнс. 8.11, при В=8, уь= =1, у(=уз=уз 0 и Н(г)=ЦВь(г) в (8.65) частный случай представляет собой систему с передаточной функцней без полюсов, которую можно получить преобразованием решетки с передаточной функцией без нулей.
Для этого перепишем (8.77) и (8.78) в виде В! (г) = В,, (г) + к,, г ' (г С,, (г)), г С, (г) = к,, В,, (г) + г-' (г С,, (г)). Схема преобразованного элемента решетки рис. 8.10 приведена на рис. 8.!1, где Х(г) — г-преобразование входного сигнала. Обьеднняя этп элементы в решетку, имеем структуру, пример которой для Е=З представлен на рис, 8.15. Из (8.73) имеем на входных узлах левой части решетки Х(г), а в правой верхней части — полезный выходной сигнал, г-преобразование которого не имеет полюсов '. Таким образом, на рис.
8.15 имеем решетчатую структуру трансверсального (гл, 2) или нерекурсивного (гл. 7) фильтра с начальными весовыми коэффициентами, равными 1. В нижней правой ' Здесь для простоты вместо Ьгл записано Ь(. ! (:( ь С( (:(— О- —,-. — ь(-(ь-(г, а Рис. 8.15. Вариан г схемы на рис, 8.13 без полюсов иа оснозс злсысита решсгап на рпс. 8.!4 при В=З, Нь(г)=Ьз(г) и Нь(г)=г"ьВь(г () (асти на рпс.
8.15 получен вторичный выходной спш,'ал, что соот- ветствует передаточноп функции !. Нь(г)=г ьВ!.(г ')= ~ Ь( (г — ', Ьо=1, (8. 93) ь=.с Видно, что решетка на рис, 8.15 с передаточными функциями (8.92) и (8.93) функционирует как однои;аговов угтрьы!ство предсказания. Рассмотрим эквивалентную схему этого устройства, представленную на рис, 8,16, На рис.
8.16,а приведена система, ранее показанная на рнс. 1.4, причем задержка предсказания 31=1, а фильтром предсказания является адаптивный линейный сумматор с весовыми коэффициентами ( — -Ь(). Отметим, что поскольку ! начинается с 1, схема на рис. 8.16,а представляет с ой олнон(аговое устройство предсказания, Как следует из прп- 'го Рнс. 6.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
