Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из рис. !0.!,б видно, что задержка не меняет мощность сигнала, поэтому 6(г) =:г'Р(г) и Ф„а(г) =Ф„(г). (!0,6) Из (7.44) следует, что Ф„а(г) получено из Фах(з) заменой г на обратную переменную г-', Поэтому, подставляя (!О,, используя (7,44), имеем Фха(з)=Фах(з )=з 1 (з )Фх(з) '"','"* "''' (107) Заметим что ср (!)=гр ( — !) поэтому Ф (з) =Ф (з-') 2!5 Тогда из (10.3), (10.4) и (10.7) г-преобразование оптимального вектора весовых коэффициентов г ~ Фвв'(г! Р ( г ~) Фвв(г)!Р(г)!в+ Фвв(г) Представляет интерес случай обратного моделирования системы без шума, т.
е. при пг, равном нулю, В этом случае, поскольку )Р(г) ~~=Р(г)Р(г '), имеем Н*(г) = г ь!Р(г). (10.9) Как и следовало ожидать, в соответствии с полученным результатом необходимо, чтобы оптимальная передаточная функция была равна обратной передаточной функции последовательно включенных неизвестной системы и задержки Л. В этом случае минимальное значение СКО равно нулю.
Из (10.8) следует, что при наличии шума пь нельзя достичь нулевой СКО и построить точную обратную систему. Пусть, например, Р(г) — передаточная функция неизвестной системы. Поло>пни, что входной сигнал неизвестной системы — белый шум единичной мощности. Как и в (7.34), имеем Ф„(г) = 1. (10.10) Тогда шум пь в схеме на рис.
!0.1.б не является белым шумом, а имеет спектр, определяемый передаточной функцией Р(г). Это означает, что Ф„„(г) = рр (г) Р (г — '), (10.11) где р — полная мощность белого шума на входе системы (см, упражнение 1). Подставляя теперь (10.10) и (10.11) в (10.8), получаем более конкретное выра>кение г-преобразования оптимальных весовых коэффициентов: Н* (г)— г Фвв(г) г " (10. 12) Ф», (г) Р (г) + Ф„„ (г)(Р ( г ') ( 1 + Р) 1' (г) Поскольку истинная обратная передаточная функция с задержкой определяется выражением (10.12) при р=О, ясно, что оптимальные весовые коэффициенты отличаются только масштабным множителем. И з (7.65) можно показать, что при наличии шума и весовых коэффициентах, задаваемых соотношением (10,12), минимальное значение СКО не равно нулю. Для этого подставим оптимальн ю передаточную функцию Н(г) в (7.65) и получим у 1 $„ьв = 9>гз (0) + — ~ [Н" (г — ') Ф„„(г) — 2Фав (г)] Н" (г) — .
(10,13) Здесь подставлены Н* (10.12), Фав (10.7) с заменой г на —.' и Ф„„(10.4). Используя также выражения (1О.!0) и (10.11), окончательно получаем Я в>»1 = Р1(! + р). (10. 14) 216 Подробный вывод соотношений (10.13) и (10.14) проводится в упражнении 4. Как следует нз полученного результата, оптимальная обратная модель приводит к нулевой СКО только при нулевой моц>ности шума р. Очевидно, если шум неизвестной системы отличается от (10.!!), то в большинстве случаев это приводит к другому виду Нв(г), сушествснно отличающемуся от (10.12).
Выбор оптимальных весовых коэффициентов в значительной мере зависит от шума и во многих практических ситуациях из-за шума неизвсстцай системы обратная модель с этими коэффициентами станови:ся неэффективной. Из (!0,9) для системы без шума видна, что Н*(г) соответствует нерекурснвному фильтру только тогда, когда Р(г) не имеет нулей, Если передаточная функция Р(г) имеет нули, то пол>асы функции Н*(г) можно лишь приближенно представить адаптивным трансверсальным фильтром конечной длины. Двусторонний оптимальный БИХ-фильтр можно аппроксимировать каузальным адаптивным фильтром конечной длины при правильно выбранной задержке Л и достаточно большой его размерности (..
Некоторые теоретические примеры Рассмотрим теперь три примера адаптивного обратного моделирования, используя конкретные неизвестные системы на рис, 10.1, Главная цель этих примеров — показать некоторые из возникаю>цих задач, которые не встречались в приложениях адаптивного моделирования, рассмотренных в гл. 9, а именно: задачи каузальности и определения оптимальной задержки.
Первый прим ер, Будем считать, что шум неизвестной системы пг равен нулю, а ее передаточная функция задана соотношением Р (г) = 0,2 — 0,5г — ' + 0,2г — г. (10.15) Рассмотрим сначала схему на рис. 10.1,а с нулевой задержкой. Для системы без шума идеальная обратная передаточная функция с учетом (10.15) Н" (г) = 17(0,2 — 0,5г †' + 0,2г ') = = (2073)1(! — 2г †') — (5/3)(1 — 0,5г †'). (10. 16) Поскольку идеальная передаточная функция имеет полюс внутри и полюс вне круга единичного радиуса, то для того чтобы обратный фильтр был устойчивым, его импульсная характеристика должна быть двусторонней. Как отмечено в гл.
7 (в частности, в упражнении 26), если дробное слагаемое имеет полюс за пределами круга единичного радиуса, то ему можно поставить в соответствие левостороннюю составляющую импульсной характеристики, представляюгцую устойчивый фильтр. Аналогично этому слагаемое с полюсом внутри этого круга должно соответствовать правосторопней составляющей импульсной характеристики 217 1О 510' (10.
17) Следовательно, идеальная импульсная характеристика й*ь, кото- рая является обратным г-преобразованном передаточной функции Л'.(2), представляет собой последовательность, задаваемую соот- ношением -- — (2)", й « 0; 3 — — (0,5)", й.= О. 3 х з х со х Равенство (10.!7) реализуется, как отме~1сно выпге, при бескопе~п1ом числе весовых коэффициентов. Приближенная реализация (10.!7) фильтром с конечной импульсной характеристикой, который минимизирует СКО, приводит в общем случае к другому варианту равенства (!0.17) На рис. 10.2 приведены некоторые варианты реализаций схемы на рис.
!0,1,б с помоптшо адаптивного КИХ-фильтра, имеющего 2! весовой коэффициент, при использовании метода наименьших квадратов'. Наличие задержки даст дополнительный перестраиваемый параметр, Ее выбор в значительной мере влияет на достижимое минимальное значение СКО и в этом смысле — на качество обратного фильтра. На рис. 108 приведена зависимость минимального значения СКО от задержки Л. Это значение велико при нулевой задержке, уменьшается до минимума при Л=!1, а затем снова возрастает по мере ее г 2,5 о,о — 2 о го 'а го 20 20 Рис.
!0.2, Импульсаые характеристики оптимальной в среднеквад. ратическом смысле адаптивной обратной модели для различных значений задержки Л (первый пример) ' Эксперименты, результаты которых представлены на рис. 10.2 — 1О.11, проведены Майклом Дж. Ларимором. 213 1О " о 5 10 15 20 О 10 20 ЗО 40 Рпс. 10.4. Импульсная характер;сз .- ка неизвестной системы (н л й пример) Рнс.
1О 3. Зависимость мнпн1ыльпото значения СКО от задсргкьн прн 5=-20 Оптимальная задержка лежит около значения а==11 (первый пр1 мер) увеличения. Видно, что выбор точного значения задержки некрнтичен и вполне подтверждается правило выбора Л, равной половине времени задержки адаптивного фильтра. Из рис. 10.2 следует, что оптимальная конечная илгпуль«на: характеристика для Л=8 приблигкается к характеристике (10.17:. сдвинутой на 8 временных шагов, Поскольку использовано адекватное общее число весовых коэффициентов, усечение двусторонней импульсной характеристики незначительно влияет иа форму оптимальной импульсной характеристики н соответствующие другие характеристики.
Такая же форма сохраняется при изменении Л от 5 до 6, при этом соответствующие задержки имеет импульсная характеристика. При Л -5 усекаются фрагменты им пульсной характеристики и меняется форма оптимальной пм. пульспой характеристики. Существенные изменения происходгп прн уменьшении Л от 1 до О, при этом резко возрастает минимальное значение СКО.
При больших значениях Л (более !6) возникает усечение справа, и снова резко возрастает минимальное значение СКО. Приведенные на рис. 10.2 импульсные характеристики оптимальных БИХ-фильтров можно получить аналитически из (10.13), Кривая на рис. 10.3 характерна для многих других примеров, В торой яр и и ер, На рис.
10.4 показана импульсная характеристика неизвестной системы более сложной структуры с 41 весовым коэффициентом, которая не имеет конкретного математического описания. Аналогично первому примеру обратный фильтр с 21 весовым коэффициентом получен с помощью адаптивной фильтрации методом наименьших квадратов. При этом входным сигналом является белый шум. Результаты приведспь: на рис. 10.5.
Получено, что оптимальная задержка Л=-7. НипМЕНЫПЕС ЗпаЧЕПНЕ й 1п СОСтан,тяЕт ОКОЛО 1010 От МО1цпОСтн ВХОдНО- го сигнала. На рис. 10.6 показана импучьсная характеристика последовательно включенных неизвестной системы с 41 весовым коэффипи- 210 — 0,2 зо 1О 0,2 й й1 й о,о й я Е Б Г 1О 15 2О Рис. 10.7. Импульсная характеристика ненавеитной системы (третий пример) 2 й 0 1 я й е Б Рис. 10.5. Импульсная характеристика оптимальной обратной модели при 7.- 20 и б 7 (второй прнмер) ентом и обратного для нее фильтра с 21 весовым коэффициентом для Л=7. Как и следовало ожидать, отклик равен единичному импульсу с началом в точке 1=7, Однако при этом имеются небольшие боковые выбросы. Третий пример. Выбрана неизвестная система с Ф1 весовым коэффициентом, импульсная характеристика которой приведена на рис.
10.7. Для этой системы реализована обратная модель с 1О! весовым коэффициентом, и результаты для оптимизированного значения Л=73 представлены на рис. !0.8. На рис. 10.9 показана общая импульсная характеристика неизвестной и обратной к ней системы, которая приближенно равна единичному импульсу с началом в точке Й 73 с небольшими боковыми выбросами.
При необходимости можно уменьшить боковые выбросы и минимальную СКО, если увеличить число весовых коэффициентов обратного фильтра. На рис. 10.10 показаны зависимости минимального значения СКО от задержки Л при числе весовых коэффициентов 41, 81, й й о х й и о я й с о чо 50 к Рис. !0.6. Импульсная характеристика последовательно включенных неиавестной системы с 4! весовым коэффициентом и оптимальной обратной модели с 2! весовым ковффициентом при Л 7 (второй пример) 220 221 0,2 Х о,о Рио 10 В Импульсная характеристика оптнл1альиой обратной модели -0,2 при Ь=100 и в=73 о 25 50 75 100 (третий пример) 101. Для каждого случая можно найти оптимальную задержку Л, хотя следует отметить, что малые значения минимальной СКО обеспечиваются в широком диапазоне изменения Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
