Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Определим оператор ошибки предсказания на единичный интервал предсказания с помощью коэффициентов а;, являющихся матрицами размером МХМ и равных соответственно удовлетворяют неравенству ~г~ < 1. Характеристическое уравнение, приведенное выше, можно записать через коэффициенты оператора ошибки предсказания +а„]=0 с1е1(а,Л" +а1Л" '+а2Л" '+ или с1е1(Л"(ао+ а1Л '+авЛ '+... +а„Л ")]=О, причем ранее было показано, что ~ Л ~ <1. Отсюда видно, что характеристическое уравнение эквивалентно уравнению с(е1 А (я) =О, если переменные Л и г совпадают (т. е. если Л=г). Поэтому все. нули уравнения А(г) =0 удовлетворяют неравенству ~г~ <1, а оператор ошибки предсказания на единичный интервал обладает свойством минимальности задержки, В настоящем разделе было показано, что для произвольного временного ряда оператор ошибки предсказания на единичный интервал, использующий конечное число предшествующих точек и вычисленный методом наименьших квадратов, характеризуется тем, что нули его г-преобразования лежат внутри единичного круга или что он обладает свойством минимальной задержки.
Эквивалентность этих двух свойств впервые установил Робинсон [2~, Юл [9~ и Уолкер [10~ ввели понятие авторегрессивных временных рядов. Общее определение процесса авторегрессии дано Волдом [11~; согласно этому определению, все нули г-преобразования соответствующего оператора должны лежать в единичном круге (т. е. процесс должен иметь только нули). Робинсон и Волд [12~ доказали, что оператор ошибки предсказания на единичный интервал, найденный для произвольного временного ряда методом наименьших квадратов, обладает свойством минимальности задержки. Было показано в явной форме, что для любого из таких операторов существует соответствующий процесс авторегрессии. Доказательство было проведено для случая одноканальных временных рядов, но в.
статье отмечено, что теорема и ее доказательство распространяются и на случай многоканальных сигналов. Итак, была установлена связь между г-преобразованием одномерного процесса авторегрессии и поведением полиномов, ортогональных на единичной окружности, причем то, что нули таких ортогональных полиномов лежат внутри единичного круга, является классическим фактом. В последние годы опубликован ряд других доказательств утверждения о минимальности задержки применительно к одномерной задаче.
В данном разделе было приведено доказательство многомерной теоремы в наиболее общей форме. Другими словами, было показано, что в матричном уравнении алгоритма предсказания Х(1+1) =НХ(~) собственные значения оператора Н, найденного методом наименьших квадратов, по модулю не превышают единицы.
Другое доказательство многомерной теоремы было приведено Бергом [131. Применение ЦОС в геофизике 515 Глава 7 7.5. Формирующие фильтры Ь(п) 0 Ь(п — 1) Ь(п) Ь(п) 0 Ь(п — 1) Ь(п) ! О с1=]а1(0), д(1),..., с1(т+и)]. о — (с1 с) (й с) т, сВт —.— с1Вт В конце разд. 7.2 было отмечено, что выходной сигнал предсказывающего фильтра, как правило, нужно сглаживать и для достижения этой цели удобно применять цифровые формирующие фильтры. Подобные фильтры можно проектировать, пользуясь как частотным, так и временным представлением, однако в геофизике наиболее удачные решения были найдены с помощью временного подхода.
Задача формирования сигналов или колебаний настолько важна, что мы рассмотрим ее более подробно. Будет дана новая и более простая математическая формулировка задачи синтеза. Это позволит по-новому описать особенности взаимосвязей между требуемой формой выходного сигнала и получаемыми ошибками измерений. При цифровой обработке сигналов часто встречается следующая задача: найти конечный оператор, преобразующий входной сигнал конечной длительности в выходной сигнал заданной формы, имеющий конечную длительность. За исключением особых случаев, такое преобразование не может быть выполнено с абсолютной точностью, т. е.
сигнал, полученный с помощью оператора, представляет требуемый сигнал с какой-то ошибкой. Задача состоит в том, чтобы найти такой оператор, который бы выполнял это преобразование с минимально возможной средней квадратической ошибкой. Главной особенностью этой задачи является то, что все сигналы и оператор имеют конечную длительность. В вычислительных машинах понятие о бесконечности не применяется. Входные и выходные сигналы, а также все действия, выполняемые в машине, конечны в любом смысле. Однако во многих математических моделях, применяемых для описания реальных физических процессов, в той или иной форме участвует понятие о бесконечности и обычно многие трудности, возникающие при анализе, в сущности сводятся к задаче согласования таких бесконечных моделей с реальными данными и вычислениями. В связи с этим часто бывает гораздо проще и целесообразнее с самого начала заменить бесконечную модель конечной.
Пусть Ь(0), Ь(1), ..., Ь(п) представляют собой входной сигнал конечной длительности, а сУ(0), сУ(1),..., д(т+и) — требуемый выходной сигнал конечной длительности'1. Здесь т и и — неотрицательные целые числа. Задача состоит в определении коэффициентов Т(0), 1" (1),..., 1" (т) действительного конечного оператора (фильтра), фактический выходной сигнал которого с(0), с(1),...
..., с(т+и) с минимальной средней квадратической ошибкой аппроксимирует требуемый выходной сигнал. Фактический выходной сигнал равен свертке входного сигнала с оператором. Свертку можно записать в матричной форме следующим образом. Определим " В целях упрощения изложения обозначения в данном Разделе изменены. регрессорную матрицу В как прямоугольную матрицу размером (т+1) Х (т+и+1), строки которой образованы последовательной задержкой входного сигнала: - Ь(0) Ь(1) .
. . .0 0 0 Ь(0) .О О Определим коэффициент регрессии 1 как вектор-строку размером 1Х (т+1), составленную из коэффициентов оператора, т. е. 1'= ф0), 1'(1),..., 1(т)]. Определим вектор регрессии с как вектор-строку размером 1Х Х (т+и+1), составленную из значений фактического выходногс~ сигнала: с —.=1с(О), с(1),..., с(т+и)], и, наконец, определим регрессионал а1 как вектор-строку размером 1Х (т+и+1), составленную из значений заданного выходного сигнала, т.
е. Свертку входного сигнала с характеристикой оператора можно представить произведением матриц с — — ~В. Разность между заданным и фактическим выходными сигналами равна а1 — с, а сумма квадратов ошибок где знаком Т отмечена транспонированная матрица. Уравнение регрессии можно записать в виде ) с1 =-~В-+(с] — с).
Из теории наименьших квадратов известно, что сумма квадратоь ошибок о минимальна тогда и только тогда, когда регрессорная матрица В нормальна к матрице ошибки а1 — с, т. е. тогда и только тогда, когда (й — с)Вт =О. Это матричное уравнение представляет собой систему скалярных нормальных уравнений. Данное матричное нормальное уравнение можно записать в виде 516 Глава 7 Применение ДОС в еевфивике 517 или 1ВВт =«1вт.
а,=-[а,(0), а,(1),..., а,(т)] При решении матричного уравнения получается искомый коэффициент регрессии, или, другими словами, искомый оператор 1=дВт(ВВт) '. Пусть «(з) обозначает автокорреляционную функцию входного сиг- нала, т. е. а д® вЂ” взаимную корреляционную функцию требуемого выходно- го сигнала с входным сигналом, т. е. Тогда можно заметить, что матрица ВВ' размером ( т+1) Х (лье+1) является автокорреляционной матрицей Й входного сигнала, т.
е. ВВт =Л= «( — т) «( — т+1) «( — т+2)... «(О) а матрица ЫВт размером 1~((т+1) является вектор-строкой а', элементы которого являются коэффициентами взаимной корреляции входного и требуемого выходного сигналов, т. е. ао а, аВт =а= [д(0),,в(1),,в(2),..., д(т)]. В этих обозначениях матричное нормальное уравнение имеет вид //! +Л а Я=-а. Частным случаем формирующего фильтра является фильтробостритель, требуемым выходным сигналом которого является единичный импульс. В этом случае в требуемом выходном сигнале АИ= 1Вт или с1=.[д(0), д(1),..., д(т+и)] АЯ= Вт какое-то одно из т+и+1 чисел представляет импульс и равно единице, а остальные числа равны нулю.
Следовательно, в рамках данной модели можно получить т+и+1 различных фильтров-обострителей — по одному фильтру-обострителю для каждого из т+ «(0) «( — 1) «( — 2) «(1) «(2) «(О) «(1) «( — 1) «(О) . «(т) . «(т — 1) . «(т — 2) +и+1 возможных положений импульса. Предположим, что после- довательность описывает оператор-обостритель при нулевой задержке заданного выходного импульса а1 =-.[1, О, О,..., О]. Аналогично примем, что последовательность а,==[а,(0), а,(1),..., а,(т)] описывает оператор-обостритель при единичной задержке заданного выходного импульса 1,=[О, 1, О,..., О] и т.
д. Таким образом, последовательность а„, „==-[а„,„„(0), а „(1),..., а„, „(и1)] обозначает оператор-обостритель при задержке выходного импульса с1,„„,=-[0, О, О,..., 1] на т+ и единиц времени. Можно заметить, что эти последовательно запаздывающие импульсы составляют строки единичной матрицы 1 размером (т+и+1) Х(т+и+1). Допустим, что строки матрицы А размером (т+и+1) ~((т+1) совпадают с операторами-обострителями при задержках от нуля до (т+и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
