Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Кроме того, в многоканальном случае ;оператор ошибки вспоминания является вполне самостоятельным ,оператором и его уже нельзя получить обращением на оси времени оператора ошибки предсказания; таким образом, имеем Ь=[Ь, Ь 1,..., Ьв1 — данный оператор ошибки вспоминания, Ь'=[Ьл+~, Ь,'„..., Ьа] — новый оператор ошибки вспоминания. В отличие от случая действительного скалярного сигнала авто- корреляционная функция здесь не является симметричной, и поэтому необходимо использовать два вектора: р = '1Гл+1 ~ Ч=(Г1, Г 2, С учетом этих изменений рекуррентный способ решения многоканальной задачи состоит из тех же этапов, что и для скалярной задачи. В сокращенных обозначениях рекуррентный алгоритм выполняется следующим образом.
Сначала вычисляются скалярные произведения и,=-а р, иь — — Ь Ч. Для обычной многоканальной записи автокорреляционная матрица обладает симметрией вида г, — (г,]г где символ Т обозначает операцию комплексного сопряжения с транспонированисм, В этом случае вместо двух скалярных произведений достаточно найти одно, так как они связаны соотношением т иь =иа' Далее вычисляются весовые множители й, = — и,оь', -1 ~ь иьоа- Затем составляются новые операторы а' = — (а, О)+Й,(0, Ь), Ь' == (О, Ь) + йь (а, О) и определяются новые значения дисперсий о, =--о,+lг,иь, о', --- оь+lгьи,.
После этого вычисляются скалярное произведение и коэффициент Наконец, получается новая характеристика фильтря ~ =-(~, О)+~,Ь'. 532 533 Глава 7 Заметим, что на каждом этапе рекуррентного алгоритма характеристика фильтра удлиняется на один коэффициент; для этого нужно вычислить два скалярных произведения а.р и ~ р.
Однако в частном случае, когда требуется находить только оператор а' ошибки предсказания (или, что эквивалентно, оператор предсказания), можно не проводить вычисления второго векторного произведения ~.р, а также коэффициента А~ и характеристики 1". Это приводит к сокращен(ию объема вычислений при определении оператора предсказания почти вдвое по сравнению с объемом вычислений общего оператора фильтра.
7.7. Двумерные формирующие фильтры До сих пор в основном рассматривалось применение цифровой обработки сигналов при анализе скалярных геофизическихданных. Однако развитие техники приводит к задачам, когда требуется обработка записей, полученных от решетки геофизических датчиков, причем анализируемые сигналы имеют векторный характер. Подобные векторные сигналы иногда можно изучать теми же методами, что и многоканальные записи; иногда следует трактовать их как многомерные переменные, а часто приходится использовать оба подхода вместе. Ограниченный объем книги не позволяет углубиться в эту обширную область, так что ограничимся рассмотрением одного из методов проектирования фильтров, приводящего к созданию двумерных формирующих фильтров, отвечающих критерию минимума средней квадратической ошибки.
Во многих случаях двумерный формирующий фильтр удобнее всего реализуется в виде двумерного рекурсивного фильтра. Сейсмограмма состоит из набора записей, описывающих колебания, происходящие в Земле, как функции времени. Это могут быть записи выходных сигналов отдельных датчиков или комбинации сигналов от группы датчиков, определенным образом размещенных в пространстве. Если точное положение этих датчиков в явном виде учитывать не нужно, то единственной независимой переменной является время.
Если же пространственные координаты должны фигурировать в явном виде, то число независимых переменных может дойти до четырех: это время и, возможно, три пространственных координаты. Будем считать, что размерностьпроцесса равна числу независимых переменных, а его порядок — числу зависимых переменных, описывающих процесс в каждой точке пространства. Так, например, совокупность сигналов, снимаемых с линейной решетки сейсмометров, измерявших колебания в Земле по трем осям, образует двумерный процесс третьего порядка. Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе Виггинса [16]. С точки зрения техники порядок процесса эквивалентен числу каналов.
Таким образом, п-дорожечная сейсмограмма, для которой единственной независимой переменной является время, представ- Применение ЦОС в геофизике с( ( ~ ""( а(, а1* (((1 Ь22 С12 с22 с з = С21 С22 Сзз Ь22 сзт сз2 сзз ) Ф ~~21 ~22 22 х (расстоянне) или А а В =С, где А и В являются двумерными числовыми массивами размерами (2Х2), составленными из элементов а)) и Ь;;, а С вЂ” массив размером (ЗХЗ) из элементов с;;; звездочка обозначает свертку. По осям абсцисс и ординат во всех массивах отложены соответственно дискретное время 1 и дискретное расстояние х. Коэффициенты с;, проще всего вычислить путем перемножения двумерных многочленов: А (г, ~2)) В (г, и) = С (г, и), где А(г, и), В(г, и) и С(г, и) являются двумерными (или плапар- ными) производящими функциями, а г и сс( обозначают операторы единичной задержки по осям 1 и х соответственно, так что А (г, ~2)) = а„+ а„г+а„се)+а22гз)), В (г, и) =Ь„+Ь,2г+Ь„и+Ь22гс Поэтому С (г, г2)) =а„Ь„+(а„Ь,2+а12Ь„) г+ +(адЬ2~+а22Ьп) г2)+ ° ° + 222Ь22г'~0' ляет собои запись п канального одномерного процесса Следова тельно, все многоканальные системы, рассмотренные в предыдущих разделах данной главы, являются одномерными.
Однако во многих геофизических задачах необходимо в явной форме учитывать пространственные координаты сейсмометров. Тогда и-дорожечную сейсмограмму, полученную с помощью группы сейсмометров, расположенных на одной прямой, можно рассматривать как реализацию двумерного процесса с двумя независимыми переменными: временем ~ и расстоянием х. Подобная двойственность указывает на возможность отображения многомерного процесса в эквивалентный одномерный многоканальный процесс.
Виггинс [161 разработал математический аппарат, позволяющий выполнить такое отображение в самом общем случае, однако здесь будет рассмотрена только двумерная (или планарная) задача. Рассматриваемую проблему лучше всего пояснить на простом примере. Рассмотрим свертку двумерных функций 535 Применение ЦОС в геофизике 534 Глава 7 С11=а1А1 а12 а11Ь12+ а12Ь1 с21 = а1 1Ь21+ а21Ь11, ~3 22 22' Однако можно также записать что дает или 1 (г) Ь2 (г) О Ь,(г) Ь„, (г) О Ь,„ 1 (г) Ь,„(г) О О С (г, и) = с, (г) + с, (г) э+ с (г) ыг', (7.5) где О Ь, (г) Ь,а(г) с, (г) =-а, (г) Ь, (г), ~с2 (г) = а, (г) Ь, (г) +а2 (г) Ь, (г), сз (г) = а2 (г) Ь, (г).
(7.6) Ь,(г) О с, (г) а, (г) Ь2 (г) Ь, (г) = с, (г) О Ь2 (г) с, (г) Ь, (ыг) Ь,(ыг) О Ь1 (12~) Ь2 ~2) Г () 2(й = — [С1 (Ы) С2 (Ы) С, (Ы)], (7.8) [а1 (г) а2 (г)] Ь,(г) Ь,(г) О Ь1 (г) Ь2 (г) = [с1 (г) с, (г) сз (г)]. (7.7) где с, (121) =а1 (и) Ь, (121), ~2 (~2~) а1 (12~) Ь2 ('"') + а2 (12) Ь1 (~2~) сз (и) = — а, (121) Ь, (121).
Ь, (г) Ь, (г) О О Ь, (г) Ь, (г) А (г, и) =-(а„+а„г) +(а21+а22г) ю === а, (г) —, а, (г) ы), В (г, в) ==(Ь11+Ь12г)+(Ь21+Ь22г) з=Ь1 (г)+ Ь2 (г) 121, С (г1 1о) = [а1 (г) +а2 (г) ы~] [Ь1 (г) + Ь2 (г) 121] =— а1 (г) Ь1 (г)+ [а, (г) Ь2 (г) + а2 (г) Ь1 (г) ] и+а2 (г) Ь, (г) г' Формула (7.5) напоминает выражение для производящей функции свертки двух одномерных последовательностей с тем отличием, что коэффициенты с; теперь являются не постоянными величинами, а многочленами от г.
С учетом этого замечания соотношения (7.6) можно переписать в следующей форме: или после транспонирования обеих частей имеем В результате исходная задача создания двумерного фильтра свелась к эквивалентной задаче с многоканальным процессом. Предположим, что массив А размером (2Х2) описывает характеристику фильтра, а массив В размером (2Х2) — входной сигнал.
Задача преобразуется так, что входной сигнал становится шести- канальным и создает массив с размерами (2Х3): причем два из этих каналов содержат нулевые составляющие, а фильтр становится одномерным двухканальным и его характеристика [а,(г) а,(г)] имеет размеры (1Х2). Применяя метод математической индукции, получаем, что в общем случае, когда массив А размером (тХп) описывает фильтр, а массив В размером (11х~) — входной сигнал, эквивалентная многоканальная система характеризуется наличием 1) (тХ[т+11 — 1])-канального сигнала длительностью ч, 2) одномерного т-канального фильтра с характеристикой длиной и.
Здесь уместно сделать несколько замечаний. Во-первых, матрица эквивалентного входного многоканального сигнала имеет в общем случае структуру вида т, е. является полиномиальной с размерами (т)~~т+11 — 1]), при. чем из всех ее элементов только 11 независимы, а т (т+ р — 1) — тр = т (т — 1) элементов, расположенных вышеуказанным образом, равны нулю. Во-вторых, приведенное отображение не является единственно воз- можным, поскольку можно записать А (г, и) =-(а11+~21ы) +(а12+а22ы) г =-а, (121)+а, (121) г, В (г, з) = (Ь11+ Ь21ы)) т (Ь12+ Ь221г) г — Ь, (м1) +Ь, (12) г> что приводит к эквивалентной многоканальной системе Если массивы А и В имеют размеры (тХп) и (11Хч) соответст- венно, то в рассматриваемом случае эквивалентная многоканаль- ная система состоит из 538 Глава 7 539 Автокорреляционная матрица 1х(г) для входной полиномиальной матрицы в этом случае равна 14г '+ 30+ 14г бг '+ 11+ 4г] 4г 1+11+ бг 14г 1+30+14г~ 6 14] 11 30 .а искомые коэффициенты взаимной корреляции размерами (2Х1) равны д,=-[4 2], д'.,=[3, Ц.
Соответствующие нормальные уравнения, которые имеют вид г о г1 = — [Й'о Й'11, Г1 Го [(~111 й12) (а12 а~2)1 -можно решить с помощью многоканального блок-теплицева алго- ритма, что дает 0,10201 0,05138] 0,02374 — 0,01019~ ~111 ~112 ~ Фактический выходной сигнал 0,10201 0,25540 0,11276 0,32977 0,59965 0,18514 0,07122 0,06439 — 0,04076 имеет нормированную среднюю квадратическую ошибку, равную 0,40035.
Данный пример показывает, как двумерный фильтр, рассчитанный методом наименьших квадратов, выполняет роль двумерного формирующего фильтра. Следует отметить, что нормальные уравнения для дискретного двумерного фильтра, дающего минимальную среднюю квадратическую ошибку, можно получить и непосредственно, не пользуясь отображением фильтра в многоканальную систему [16]. Однако это сделать довольно сложно, и при этом мало проясняется существо основной проблемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
