Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 107
Текст из файла (страница 107)
е. ЄЄ— СпСп =- о„'. Положим в этом выражении и=У и перепишем его в виде Сл~Ся Он' 1— П,Фя ПлАч ' что дает — о~оТ~Т~ Я Л (~ ~ )2 о) Поскольку Оу =(1п ° ° ° ~о) (~п з ° ° ~0) то / / (7.1) Покажем теперь, что это равенство представляет собой закон сохранения энергии, т. е. разность между энергией сигнала на входе системы и энергией отраженного колебания равна энергии прошедшего колебания. Мгновенная мощность, которой обладает волна, распространяющаяся в слое, пропорциональна произведению волнового сопротивления слоя на квадрат амплитуды волны, причем под амплитудой волны здесь подразумевается амплитуда скорости частиц среды. Пусть Ло — волновое сопротивление фундамента, а Лн+1 — волновое сопротивление воздуха.
Допустим, что ЗЗ вЂ” 359 50З Применение ЦОС в геофизике 502 Глава 7 (7.3) г,,„=г,,,р„К +г,т„т, ~Ф . ~1~о Ф оп+1 -~~ ~н ~а+1 + ~н отсюда следует, что ~л ?и. ~п ~н ~1 и поэтому получается ~м ° ~1~о ~Л' 71 7о 7 г.. Е, 7,-+1 ~Х . ~1~о ~Л'-'~ (7.4) в исходном состоянии система находилась в покое и к ее поверхности был приложен единичный импульс, распространяющийся вниз. На выходе системы появляются отраженный в воздух сигнал, определяемый характеристикой отражения Вн, и прошедший в фундамент сигнал, определяемый характеристикой пропускания Тн. Поскольку принято, что осадочная система не вносит потерь (т. е.
в слоях не происходит поглощения энергии), то вся входная энергия должна распределиться между двумя выходными сигналами Як и Т;. Энергия входного,им~пульса п~ропорциональна 7н+ь умноженному на единицу в квадрате. Энергия отраженной волны пропорциональна Л,~+Я кЯ;~, а энергия прошедшей волны пропорциональна Хот~ Тн. Согласно закону сохранения энергии, энергия, подводимая к осадочной системе, должна равняться энергии, из нее уходящей, т.е. Характеристика отражения Ян совпадает с наблюдаемой сейсмотрассой (включая все первичные и повторные отражения) и поэтому известна. Перенеся эту известную величину в левую часть предыдущего равенства, получим Уо 1 — гх,лл, — т„,тл..
~У-~-1 Найдем теперь выражение для 7о/7к+ь Хорошо известно, что коэффициенты пропускания 1„и 1,', выражаются через волновые сопротивления и-го и (п+1)-го слоев Е„и 2„+1 (где (п+1)-й слой лежит на и-м слое) как Таким образом, отношение Хо~Хн+, равно отношению коэффициентов пропускания через осадочную систему вверх 1о'11'..А' к коэффициентам пропускання сквозь всю осадочную систему вниз Поэтому равенства (7.1) и (7.2) совпадают и каждое из них представляет собой закон сохранения энергии. Обозначим известную левую часть соотношения (7.2) символом Ф и будем называть ее спектральной функцией. Таким образом, спектральная функция определяется как Ф =1 — ЄЄ, и по закону сохранения энергии спектральная функция равна ~о Ф= тт.
~Л/+1 Далее получим выражение для Т~. Известно, что при формировании проходящей волны осадочная система ведет себя как система с обратной связью, поэтому величина Т~ обратно пропорциональна полиному У-й степени Р~. Если в этом полиноме старший коэффициент положить равным единице, то коэффициент пропорциональности будет равен коэффициенту пропускания вниз 1~-...111о. Тогда проходящая волна описывается соотношением где за начало отсчета выбран момент прихода отраженного импульса от нулевой границы раздела и это первое отражение происходит с задержкой на Л/2 единиц времени по отношению к моменту поступления входного импульса (т.
е. с задержкой на время прохождения зондирующего импульса через осадочные слои в одну сторону). Поскольку Тн является производящей функцией для односторонней ~равной нулю при отрицательных значениях аргумента) устойчивой функции времени, то полином Вн, находящийся в знаменателе, должен быть функцией с минимальной задержкой. Отсюда следует, что и Тн является функцией с миним ал ьной з адерж кой. Используя все приведенные выше результаты, находим, что спектральная функция равна ~у ~1~о ИХ ° ~1~о) Ф ~Х . ~1~о ~Ф~Ф Поскольку коэффициент двустороннего пропускания через осадочную систему о2 определялся как о„'~= 1'4„... Щ4о= (1 — Гм)... (1 — г1) (1 — гс), то спектральная функция равна 2 ОЛ~ Ф= ~ ч~Ъ 504 1лава 7 505 Применение ЦОС в геофизике Таким образом, полином обратной связи Вн и постоянная он' могут быть определены по известной спектральной функции Ф с помощью одного из методов спектральной факторизации сигналов с минимальной задержкой, таких, ~как метод Фейера — Волда, метод Колмогорова или метод нормальных уравнений.
(Более подробное описание этих методов можно найти в работе [2].) Поскольку В~Т~=1у... 111в — сопМ то полином Вн является производящей функцией оператора ошибки предсказания, который преобразует в импульс волну, прошедшую через осадочную систему и описываемую функцией с минимальной задержкой. При образовании отраженной в воздух волны Ян (т. е. принимаемого сейсмического сигнала) осадочные слои ведут себя как система, имеющая компоненту со связью вперед и компоненту со связью назад. Более того, компонента со связью назад полностью совпадает с системой, имеющей обратную связь, которая формирует проходящую волну. Поэтому производящая функция сейсмотрассы имеет вид С ° ~к= Ву' где полином Ж-й степени Сн описывает компоненту со связью вперед, а полином й„той же степени описывает компоненту со связью назад и совпадает с полиномом В„, входящим в формулу для Тн.
Теперь принятый сейсмический сигнал можно подвергнуть инверсной фильтрации с помощью найденного выше оператора ошибки предсказания. Эта операция выполняется в виде умножения Я~О, =Сл В результате инверсной свертки образуется компонента со связью вперед Сн, эта компонента представляет искомую динамическую структуру осадочной системы (т. е. коэффициенты отражения), тогда как компонента со связью назад описывает нежелательные эффекты, вызванные реверберацией в многослойной осадочной системе. Покажем, что компонента со связью вперед действительно описывает динамическую структуру.
Запишем для этого С~ в явном виде через коэффициенты отражения для случая %=3. С помощью полученных выше рекуррентных формул находим Се(г)= Гв + (Г2 + Г~ГеГ1 ГеГ1ГО)г, (Г1 + ГеГеГд 1' Г,Г1Гв)г + Гдг Учтем теперь, что отраженные сигналы никогда не превышают единичного зондирующего импульса, а величины коэффициентов отражения на самом деле группируются около нуля, а не единицы. Поэтому произведение трех или более коэффициентов отра- жения, как правило, является величиной меньшего порядка, чем любой из коэффициентов отражения.
Следовательно, приведенный выше полином прямой связи можно аппроксимировать соотношением С (г) г, + г,г + г,г' + г,г', или в общем случае для У-слойной осадочной системы М вЂ” 1 Лl С~(г) = ~+г г+ . +г1г +г.г Поскольку при проведении инверсной свертки получаются коэффициенты многочлена С„, этот процесс позволяет приближенно определять коэффициенты отражения, которые представляют искомую динамическую структуру осадочной системы. Теперь можно описать сейсмотрассу равенством 1 й =С которое во временной области эквивалентно соотношению Сейсмосигнал= (Динамическая последовательность отражений) э э(Реверберационная функция с минимальной задержкой), где звездочка означает операцию свертки. Процесс инверсной свертки описывается соотношением (Сейсмосигнал) э (Оператор ошибки предсказания) = Динамическая последовательность отражений. Таким образом, при инверсной свертке выделяются параметры искомой динамической структуры и подавляются нежелательные эффекты, связанные с реверберацией.
Поэтому данный процесс называется динамической прогнозирующей инверсной сверткой. Вычисления, выполняемые при динамической прогнозирующей свертке, проводятся для геофизической модели следующим образом. Пусть наблюдаемый сейсмический сигнал (т. е. отраженная осадочной системой волна, вызванная зондирующим сигналом, которым является единичный импульс) образует временной ряд ~0~ е$> ~2> ~3~ (Примечание. Производящей функцией для этого ряда является Ян. Для обозначения коэффициентов Я„следовало бы применить строчную букву г, но так как г уже обозначает коэффициенты отражения, то коэффициенты Я„обозначаются через х.) На первом этапе вычисляется автокорреляционная функция ф, по данным сейсмотрассы согласно формуле ф — ~~ ~ею+ ( з ! хю ~ 1=О 506 Глава 7 затем находится автокорреляционная функция зондирующего сигнала, которая для единичного зондирующего импульса также является единичным импульсом, и, наконец, вычисляется их разность [см. формулу (7.3)], которая является автокорреляционно функцией 1р и определяется соотношением Чо 1 1о 1р,= — 111, при з ~ О.
(Примечание. Производящей функцией автокорреляционной функции ~„очевидно, является спектральная функция Ф.) На втором этапе определяются коэффициенты оператора ошибки предсказания (т. е. оператора инверсной свертки) д,=1, а1, А,..., дн путем решения системы нормальных уравнений 2 о г Ч'о Ч'1 Ч11 Ч1о 0 где до — — 1, д2,...,д~ являются коэффициентами полинома обратной связи Р„. '1Примечание. Приведенные нормальные уравне11ия можно получить, записывая равенство (7.4) в виде РнФ=он2/Рл.~ Поскольку Р„является функцией с минимальной задержкой, то (1+с11а+...
+для~)Ф(г) =оЪ(1+4а '+... +1~ля ~) '= =о~(1+Члены с отрицательными степенями а), причем в правой части нет членов с положительными степенями г. Если приравнять коэффициенты при нулевой и положительных степенях я, то получатся приведепные выше нормальные уравнения, где, в частности, двусторонний коэффициент пропускания о„з задается соотношением Третьим этапом является вычисление инверсной свертки сейсмотрассы по формуле с;= ~~~~ д,х,, при ~=0, 1,2,..., У.
в=О В результате получается набор коэффициентов. полинома прямой связи, который в первом приближении представляет собой набор коэффициентов отражения, т. е. (с„с,..., с, ) = (Гл„«,„„..., «,). Применение ЦОС в геофизике 507 Первые и последние коэффициенты обоих наборов совпадают без ПОГрЕШНОСтЕй, т. Е. Сз —— Гн И СЛ =ГО Если вышеуказанная аппроксимация (т. е.
замена коэффициен- тов отражения на коэффициенты полинома прямой связи) нежела- тельна, то можно представить в виде ряда коэффициенты полино- мов обратной и прямой связи и получить точные значения коэффи- циентов отражения. Покажем, как это сделать. На данном этапе вычислений коэффициенты с„с1,..., сн поли- нома прямой связи С„и коэффициенты до, д1,..., д~ полинома об- ратной связи Р„уже найдены, и, чтобы разложить эти коэффи- циенты в ряд по коэффициентам отражения, необходимо обратить приведенные ранее рекуррентные формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
