Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Важно различать, с одной стороны, гипотетические предположения, составляющие теоретическую часть модели, и, с другой стороны, эмпирические данные, которые модель должна объяснить. Эмпирические данные используются при построении модели различным образом: на ранних этапах для накопления опыта и наблюдений независимо от того, построена экспериментальная модель или нет, на более поздних этапах для оценки параметров модели по результатам наблюдений и проверки согласия теоретической модели с эмпирическими результатами. Поисковое направление геофизики представляет собой раздел науки, где выполняются эмпирические исследования.
В частности, партию, занимающуюся поисками нефти сейсмическими методами, можно считать научной группой, проводящей экспериментальное исследование структуры осадочных слоев. С другой стороны, исследовательские геофизические работы имеют более теоретический характер. Экспериментальные и теоретические исследования (или поиск и исследования) до некоторой степени независимо вносят вклад в развитие геофизики. В некоторых задачах теоретические исследования оказываются впереди экспериментальных, а в других — наоборот. Иначе говоря, теоретический подход не всегда имеет преимущество перед экспериментальным.
Однако, когда нужно сообщить новые результаты исследований или представить обзорный материал в статьях и учебниках, часто бывает целесообразно сначала привести теоретические положения и только потом переходить к экспериментальным данным. Такая последовательность может не отражать порядок событий, особенно в геофизике, где экспериментальное развитие метода сейсморазведки в 20-х годах во многом опередило соответствующие теоретические разработки. 32* 489 Глава 7 Применение ЦОС в геофизике 7.2.
Метод прогнозирующей инверсной свертки Применение метода прогнозирующей инверсной свертки' ) для обработки сейсмограмм ~2, 3] является примером весьма успешного использования математического аппарата теории связи при решении геофизических задач. В основу метода положено предположение о том, что сигналы, записанные на сейсмограммах, являются статистическими функциями с минимальной задержкой; этот метод нашел широкое применение также в других областях техники, как, например, при обработке речевых сигналов. Поэтому глава начинается с описания соответствующих теоретических положений.
Существуют два основных подхода к обработке сейсмической информации: детерминистский и статистический. Детерминистский подход связан с созданием математических и физических моделей слоистой Земли, позволяющих лучше понять особенности распространения сейсмических волн.
В этих моделях отсутствуют случайные факторы, и они являются совершенно детерминированными. Статистический подход связан с построением сейсмических моделей, содержащих элементы, влияющие на сейсмический сигнал случайным образом. Например, в статистической модели, которая будет рассмотрена ниже, предполагается, что глубина залегания отражающих слоев и коэффициенты отражения сейсмических волн от них имеют случайные распределения. Применение статистического подхода в сейсмической геофизике обусловлено главным образом тем, что приходится обрабатывать очень большой объем информации; любые данные, когда их достаточно много, приобретают статистический характер, если даже каждый из элементов сам по себе не является случайным.
Модель, для которой применим метод прогнозирующей инверсной свертки, является статистической. Она опирается на две основные гипотезы: 1) статистическую гипотезу, согласно которой амплитуды и моменты прихода сейсмических импульсов являются случайными величинами; 2) детерминистскую гипотезу, согласно которой сейсмический сигнал имеет минимальную задержку.
Существуют различные способы проверки соответствия модели реальным физическим условиям. Метод прогнозирующей инверсной свертки оказался полезным во многих случаях при обработке результатов наземных и особенно морских сейсмических измерений, когда сейсмические сигналы испытывали реверберацию, т. е. многократные отражения. Успешное применение данного метода показывает, что гипотезы Н Прогнозирующая инверсная свертка (ргег11сбче г)есопчо!п6оп) означает свертку записи сигнала, полученного на выходе некоторого искажающего устройства (фильтра), с оператором, обратным к характеристике фильтра, т, е. с оператором ошибки предсказания.
В дальнейшем в этой главе иногда эта операция будет называться инверсной фильтрацией с предсказанием. — Прим. перев. о случайности событий и минимальности задержки оказываются справедливыми для широкого круга природных условий. Обозначим принимаемый сейсмический сигнал') через х~ (предполагается, что аппаратурные искажения, вносимые записывающим устройством в хь скорректированы с помощью некоторого восстанавливающего фильтра).
Принятый сейсмический сигнал хг образован из многих глубинных отражений, каждое из которых создает последовательность импульсов Ь~. Однако все эти последовательности импульсов взаимно перекрываются в той или иной степени, и поэтому невозможно определить прямыми измерениями форму импульса Ьь Как будет показано ниже, тот факт, что Ь, является сигналом с минимальной задержкой, позволяет провести измерение его формы косвенными методами. Метод прогнозирующей инверсной свертки основан на следующей статистической модели.
Принятый сейсмический сигнал хг (из которого выбран соответствующий участок путем селекции по времени) рассматривается как результат свертки колебания Ь~ со случайной импульсной последовательностью вь т. е. х~ — — Ь,* в~. Импульсная последовательность в~ описывает процесс отражения от глубинных слоев в том смысле, что положение импульса на временнбй оси определяет время прихода отраженного сигнала, а амплитуда импульса представляет значение коэффициента отражения. При обработке информации эту последовательность импульсов в~ можно считать случайной и некоррелированной (т. е. белым шумом).
Поэтому автокорреляционная функция принятого сейсмического сигнала х~ совпадает с автокорреляционпой функцией колебания Ь, с точностью до постоянного масштабного множителя. Этот множитель не будет влиять на конечные результаты, и поэтому его можно не учитывать. Таким образом, автокорреляционную функцию колебания Ь~ можно определить на основе принятой сейсмотрассы х~. Коэффициенты автокорреляции гр, вычисляются из отсчетов х~ по формуле го,. = ~ Х,+,Х,, где суммирование проводится по всем временным индексам г', соответствующим выбранному участку записи.
Поскольку гр;=кр;, достаточно вычислить коэффициенты автокорреляции только для положительных значений индекса сдвига 1. Часто бывает полезно умножить коэффициенты автокорреля- ционной последовательности на некоторый набор уменьшающихся о В литературе иногда называемый сейсмической трассой, — Прим, перев. 490 Глава 7 Применение ЦОС в геофизике 491 по величине весовых множителей ы; с тем, чтобы получить взве- шенные автокорреляционные коэффициенты '~ = а'Л~'. Типичным набором весовых множителей являются весовые коэффициенты, убывающие по закону при ~ у ~ =0,1,2,3,..., У, 1 0 при ~1 ~ ==У+1, У+2, . ~Отт 1 ~г1тт-1+~г2~т-2+ ' ' ' +~т~о ~и+т' Здесь Л' — значение временнбго индекса, на котором обрезается автокорреляционная последовательность; значение Л' должно быть задано отдельно. С помощью автокорреляционной функции можно найти для колебания Ь~ оператор предсказания.
Поскольку колебание Ь1 имеет минимальную задержку, оператор предсказания с интервалом предсказания а будет предсказывать форму колебания на а единиц времени вперед. Таким образом, оператор предсказывает форму «хвоста» колебания от момента а и далее. (Это будет не так, если колебание не обладает свойством минимальной задержки; для иллюстрации этого принципа см.
работу [4~, стр. 90 — 91.) Задерживая предсказанное колебание на а единиц времени, можно сопоставить его с соответствующимучастком колебания Ь,; вычитая задержанный предсказанный «хвост» из колебания Ьь получают ошибку предсказания. Поскольку задержанный предсказанный «хвост» гасит концевой участок колебания Ьь ошибка предсказания будет представлять собой начальный участок колебания Ьь В силу этого оператор ошибки предсказания устраняет концевой участок колебания Ьь Обозначим коэффициенты оператора предсказания для моментов 1=0, 1, 2,...,т через ~го, ~го», ..., Й соо~ве~с~вен~о. Существуют различные методы определения коэффициентов этого оператора; при численных расчетах некоторые преимущества имеет гауссовский метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов, оператор предсказания определяется из условия получения наименьшей средней квадратической ошибки предсказания.
Процесс минимизации приводит к системе линейных уравнений, называемых нормальными уравнениями, где фигурируют коэффициенты автокорреляции, которые были вычислены выше и считаются известными, и коэффициенты оператора предсказания, которые являются искомыми величинами. Нормальные уравнения имеют вид ~О~ О+ ~1~1+~г2~2+ ' +~гт~ т -~ сс> ~0~ 1+~1~ О+ ~2~ 1 + . +~т~т-1 — ~ а+! ~ В этой системе уравнений положительное целое число а обозначает интервал предсказания; необходимо задать какое-то значение а. Эти уравнения можно решить с помощью эффективной рекуррентной процедуры, предложенной Левинсоном [5~. Машинное время, необходимое для определения т коэффициентов цифрового фильтра с помощью этой процедуры, пропорционально т', тогда как для обычных методов решения систем уравнений оно пропорционально т'. Еще одно достоинство указанного рекуррентного метода состоит в том, что для него требуется объем памяти, пропорциональный т, а не т', как при обычных методах.
Упрощенное описание рекуррентного метода, достаточное для составления машинных программ, можно найти в статье [6~; оно также приведено в разд. 7.6 данной главы. Если коэф|фициенты йо, йь й2, ..., й оператора предсказания вычислены, то фактически становятся известными и коэффициенты оператора ошибки предсказания, поскольку при интервале предсказания а эти коэффициенты для моментов 1=0, 1, 2, ..., а — 1, а, а+1, а+2, ..., а+т.равны 1, О, О, ..., О,— й„— йь — й2, „,, й соответственно. Обратный оператор, необходимый для инверсной фильтрации сейсмотрассы хь совпадает с оператором ошибки предсказания.
Поскольку такой оператор линеен, им можно воздействовать на принятый сейсмический сигнал Х~=Ь,эеи, представляющий собой множество перекрывающихся колебаний, по форме повторяющих Ьь причем их моменты прихода и амплитуды определяются импульсной последовательностью вь В результате подавляются концевые участки всех колебаний Ьь но сохраняются без изменения начальные участки и тем самым повышается разрешающая способность сейсмического метода. Если требуется получит- более высокое разрешение, то интервалы предсказания можно уменьшить, что приведет к еще большей концентрации энергии колебания. Затем вычисляется свертка импульсной характеристики оператора ошибки предсказания с сейсмическим сигналом хь Вычисления проводятся по формуле дискретной свертки У~ =Х~ — нОХ~ — а н1Х1 — а — ! Й2Х1 и 2 —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
