Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Если систему рекур- рентных формул для С и Р„решить относительно С„1 и Р, 1, то получатся обратные рекуррентные формулы С„, =(1 — Г„') '(ф— ÄЄ) а ', Р, =- (1 — Г„') ' (Р— Г С ). Кроме того, известно, что Р„(0) =1, С„(0) =Г„. После третьего этапа вычисления известны Сн, Рн и Г„=Сн(0). С помощью обратных рекуррентных формул можно найти Сн 1, Рн 1 и Г„,=Сн 1(0). Повторно применяя обратные рекуррентные формулы, можно найти все полиномы и, следовательно, все коэф- фициенты отражения. Отметим, наконец, некоторые особенности метода сейсмическо- го зондирования. В настоящем разделе было показано, что сейсмо- трассу отраженного сигнала можно описать соотношением Сд 11Ь ~1Ю ' причем коэффициенты многочленов Сн и Рн выражаются через коэффициенты отражения «3, «1, «2,..., Г,ч.
Если, например, У=3, то СЗ вЂ” Г 3+ («2+ГЗГ2Г1 +Гз«1Гв) а+ («1+ ГЬГ2Г3+ Г2Г1ГО) Я + « 3~ ф з = + («1«о+ «2«1+«3Г2) а+(«2~3+ Гз«1+ «3«2«1«3) а + Гз«за, Во многих случаях, характерных для сейсморазведки, коэффициенты отражения малы по величине. Поэтому в виде приближения можно пренебречь членами, содержащими произведения трех и более коэффициентов отражения, и записать Сз и Рз как С,= Г,+Гза+ГД+Г,У, Рз '~' 1 + 11а+ 12а + 13 где через у обозначены коэффициенты автокорреляции коэффици 509 Применение цОС в геофизике 508 Глава 7 где Лl — / у, = ~~~~ ~«,,«,, ~ =1,2, „.,У. гх+ гх — 1г+ ..
° + гоя 1+7 г+ +7мг~ т ентов отражения. В общем случае подобная аппроксимация дает СУ ~ «И+» — 1з+ ' ' «1~ 1+«О~~ Р. =1+~.з+т з + ° - +7. з Таким образом, сейсмотрассу можно описать выражением Эта дробь представляет сейсмосигнал в виде ряда первичных отражений от слоев с коэффициентами отражения гн, г„н..., го, каждое из которых сопровождается реверберационным колебанием, описываемым функцией, обратной к полиному с коэффициентами 1, ун..., ~~, стоящему в знаменателе дроби.
Во многих геологических районах осадочные слои откладывались в совершенно случайном порядке, поэтому коэффициенты отражения образуют случайную последовательность типа белого шума; ее коэффициенты автокорреляции малы: у; = 0 при ~=1,2,..., 1Ч. В подобных случаях сейсмотрасса описывается соотношением ~м — «м+«л~-~з+«.ч-2г + . -т в котором сейсмосигнал представлен в виде ряда первичных отражений с коэффициентами отражения гн, «и и..., г,. (Примечание. Как было принято выше, индекс У соответствует поверхности, а 0 — самой глубокой из границ раздела слоев.) Наш век можно назвать веком нефти, и большинство нефтяных месторождений было открыто с помощью сейсморазведки. К методу сейсмического зондирования пришли эмпирическим путем в 20-х годах нашего столетия.
Сейсмограммы отражений, полученные прн взрыве во многих районах Земли, обычно содержат только первичные отражения. Зная положение первичных отражений, можно на глаз интерпретировать сейсмограмму и таким образом составить схему залегания подземных слоев и найти нефть. Всегда было загадкой, почему на необработанной сейсмограмме видны только первичные отражения, если при взрыве имеет место очень много повторных отражений, которые на записи никак не проявляются.
Если бы они были видны, то первичные отражения затерялись бы среди повторных и визуальная интерпретация необработанных сейсмограмм была бы невозможна. Это значит, что за 30-летний период (с 1930 по 19бО г.) было бы открыто мало новых нефтяных месторождений. Результаты, приведенные выше, объясняют, почему эмпирический метод сейсморазведки оказался эффективным: коэффициенты отражения были случайны и малы по величине, Начиная с 19б0 г.
поиски нефти успешно ведутся в районах, где такие предположения не удовлетвоРяются; это стало возможным благодаря использованию цифровых методов обработки сигналов, позволяющих устранять неслучайные многократные отражения, эффекты реверберации в слое воды и другие мешающие сигналы.
7.4. Свойство минимальной задержки оператора предсказания на единичный интервал предсказания При обработке геофизической информации было обнаружено эмпирически, что оператор ошибки предсказания на единичный интервал обладает свойством минимальной задержки. Затем этот результат был подтвержден математически. В данном разделе приведено доказательство для многоканальной записи, которая, конечно, включает в себя как частный случай одноканальную запись. Пусть величины Хоз Х1 Х2р обозначают одностороннюю последовательность прямоугольных матриц размером МхУ.
Кроме того, допустим, что эта последовательность является устойчивой 1в том смысле, что коэффициент ее автокорреляции при нулевом сдвиге конечен), т. е. О"г т «о — — ~~,'~ х~х~ ( ~=о где символ Т обозначает операцию комплексного сопряжения с транспонированием. Коэффициенты автокорреляции этой последовательности равны т «,=~» х~+,х~. ~=о МУМ адра нои а Рице Раз и удовлетворяет условию О ратор предсказания на единичный интеРвал пРедсказывает х о п известным х, х~ — ь "' х, „. Каждый из коэффициентов " этого оператора является квадратной матрицей размером МХ Если х~ — предсказанное значение х~, то искомый оператор предсказания описывается соотношением Х~ 6~Х~ 4 + Й2х~ 2 + + ~~~~~ и 510 Глава 7 511 Ф Р Улируем задачУ предсказания дрУгим способом.
П ложим, что требуется предсказать матрицу Х1, состоящую из элементов х1, х1 1,..., х1 „+1, исходя из матрицы Х1 1, состоящей в свою очередь из элементов х1, х1 1, х1 2,..., х1,. Матрицы Х1 и Х 1 1 имеют размеры пМХУ. В такой постановке задачи искомая операция предсказания записывается в виде равенства й„, й„ О 0 1 2 ~13 У О О 0 1 0 х1 х,, х,, х,, 0 О х1-з 0 О О 0 О 1 х 1-в+2 Х1- +1 0 О 1-и+1 х где как в данном случае, так и далее до конца этого раздела все суммы берутся по 1, изменяющемуся от нуля до бесконечности. В данном уравнении через 0 обозначена нулевая матрица размером пМХпМ.
Обозначим матрицу минимальной средней квадратической ошибки предсказания через о2, т. е. о2 является квадратной матрицей размером пМХпМ. По определению о =~Е Ет=-,'~"Е ~хт — Хт,ит~. Используя нормальное уравнение, найдем о2 = ~~~~~ Е Х т где 1 — единичная матрица размером МХМ. П роцесс предсказания можно представить таким способом по- тому, что все стоящие слева элементы, кроме первого, можно пред- сказать с абсолютной точностью.
В этой новой формулировке за- дачи данное равенство можно более просто записать в виде Х,=НХ, „ где матрицы Х1 и Х1 1 имеют размеры пМХН, а матрица Н явля- ется квадратной с размерами пМХпМ. Ошибка предсказания Е,=Х,— НХ, 1, где матрица Е1 имеет размеры пМХК. Согласно гауссовскому методу наименьших квадратов, средняя квадратическая ошибка предсказания будет минимальна тогда, когда матрица ошибок Е1 нормальна к предшествующим значени- ям матрицы Х(1 — 1). Отсюда получается нормальное уравнение ~~~Е1Х1 1= — О, Применение ЦОС в геофизике Полученный результат и нормальное уравнение можно переписать соответственно в виде ~'[Х,— НХ, 1Д Х~~=о2, ~ [Х,— НХ,,1Х~~ 1=0 или 1~о Н~-1 РА — НК.
=-О, где коэффициенты автокорреляции Й 1, Яо, Я1 определяются как й ==Во = ~ Х,Х~1, Й1=Й. 1=~ Х,Х,, Каждый из этих коэффициентов автокорреляции представляет собой матрицу размером пМХпМ. С помощью нормального уравнения получается от рит После подстановки этих величин в уравнение для о' будем иметь о' = Ро — Напоит. Пусть с — собственный вектор-строка матрицы Н, имеющей размер 1ХпМ, т. е. с удовлетворяет уравнению сН =- сХ, в котором Х является собственным значением матрицы Н, соответствующим собственному вектору с.
Аналогично справедливо уравнение Нтст =- сто*, где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Тогда уравнение для о' можно преобразовать к виду со'ст= сК,ст — сийоитст, что дает со'ст =сКост — сЖоХ*с или, наконец, СО2С вЂ” (1 — ХХ*) СйоС~. Левая часть этого уравнения неотрицательна, поскольку со'ст= — с~ Е,Е~ст= ~~,[сЕЯсЕ,)т) О. Аналогично величина сяост, стоящая в правой части, также неотрицательна, поскольку сй ст = — с Я Х,Х1 ст =',~~~ [сх,] [ сХ,1 т > О. 512 Глава 7 51З Применение ЦОС в геофизике Таким образом, вся правая часть должна быть неотрицательна, и тем самым доказано, что 1 — ЛЛ*) 0 или что модуль каждого из собственных значений матрицы Н меньше или равен единице, т.
е. ~Л~ <1. Собственные значения Л матрицы Н являются корнями характеристического многочлена матрицы Н, т. е. собственные значения Л удовлетворяют характеристическому уравнению с1е1(Л1' — Н) = О, где с(е1 обозначает детерминант (определитель) квадратной матрицы. Найдем явное выражение для этого определителя. С помощью формулы для определителя блочной матрицы (см. [81, стр. 344) характеристическое уравнение можно свести к следующему виду: с1е1 [Л" — Й, Л" ' — Й2Л' ' —...
— Й„, Л вЂ” Й„] = О. , а„= — — Й„. а1 Й1 а2 Й2 Тогда ошибку предсказания е,=х,— х, можно вычислить с помощью свертки последовательности х1 с опе- ратором ошибки предсказания, т. е. +а„х, „. е, =а,х,+а,х,,+ г-Преобразование оператора ошибки предсказания определяется как конечный матричный ряд Лорана, коэффициенты которого яв,— ляются матрицами размером МХМ, т. е. А(г) — а,+а1г 1+а2г '+...
+а„г ". Оператор обладает свойством минимальной задержки, если радиус- векторы точек расположения всех нулей определителя его г-преобразования с]е1А(я) по модулю не превышают единицы [4~ (т. е. все нули лежат внутри единичной окружности на плоскости я). Тогда оператор ошибки предсказания на единичный интервал будет обладать этим свойством, если все корни уравнения с1е1 1а,+а1г '+ а2г '+... +а„г "] = О Поскольку данное уравнение является всего лишь другой формой записи характеристического уравнения, все его корни Л по модулю не превышают единицы. Рассмотрим теперь ошибки предсказания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
