Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Таким образом, матрица операторов-обострителей имеет вид Тогда нормальные уравнения ай=дВт для каждого из операторов- обострптелей можно объединить в одно общее уравнение Допустим, что вектор-строка с,=[с,(0), с,(1),..., с,(т+и)] размером 1Х(т+и+1) является фактическим выходным сигналом оператора-обострителя с нулевой задержкой ао. Пусть вектор- 518 Гпава 7 строка с~ размером 1Х (т+и+1) является фактическим выходным сигналом оператора-обострителя с единичной задержкой и т. д. Тогда квадратная матрица С размером (т+и+1) Х (т+п+1), имеющая вид сО с, называется матриией фактических обостренных сигналов и удов- летворяет уравнению АВ = — С. Нормальное уравнение АР= Вт можно записать в виде АВВт Вт Умножив обе части этого уравнения на матрицу А' справа, полу- чим АВВтА т = — ВтАт что дает ССт = Ст.
Допустим, что о; есть сумма квадратов ошибок для фильтраобострителя с задержкой г. Общая сумма квадратов ошибок (т. е. сумма сумм квадратов ошибок всех операторов-обострителей) равна Р=о,+о,+... +о +„— 1г[(1 — С)(1 — С)т[, где 1г обозначает след квадратной матрицы (т. е. сумму ее диагональных элементов). Используя сочетательное свойство матричного умножения, получаем Р = 1г (1 — С вЂ” Ст+ССт), и поскольку Ст=СС' то Р =-1г (1 — С) = — 1г1 — 1г С. Если 1 является единичной матрицей размером (т+ п+ 1) Х Х (т+ п+ 1), то 1г1= т+ п+ 1.
Отсюда следует, что о; = 1 — с, (г), т. е. сумма квадратов ошибок, получающихся в фильтре-обостри- теле с задержкой г, равна единице, уменьшенной на величину фактического выходного сигнала в момент времени г. Определим теперь 1г С. Имеем 1гС=-ЬАВ=1гВтй 'В=1гВт(ВВт) 'В Примснение. ггОС в геофиэике 816 Известно, что след произведения матриц не зависит от порядка расположения матриц, и это справедливо, если даже матрицы не являются квадратными, т. е.
1г М,М,.=-1г М,М,. Тогда 1г С=1г(ВВт)-'ВВт =1г 1, причем единичная матрица 1 имеет размер (т+1) Х (т+1). Поэто- му 1г С ==т -1-1, и общая сумма квадратов ошибок равна $'==(т+ и — '1) — (т+1) ==и. Таким образом приходим к выводу, что общая сумма квадратов ошибок, получающихся в фильтрах-обострителях прп всевозможных задержках, равна и, где п+1 — длина входного сигнала Ь(0), Ь(1),..., Ь(п). Кроме того, общая сумма квадратов ошибок ~' не зависит от длины характеристики фильтра т+1. Если бы суммы квадратов ошибок о; были одинаковыми для всех задержек, то а;=и)(т+п+1) для любого фильтра-обострителя а;, где г=О, 1, 2,..., т+п.
Но, как правило, о; не получаются одинаковыми для всех фильтров. Максимально возможное значение о; равно единице, поскольку фильтр с нулевым выходным сигналом о;= =1'О, О,..., О] дает о;=1, и для любого из фильтров, рассчитанных методом наименьших квадратов, сумма квадратов ошибок не может превышать эту величину. Такая максимальная ошибка может получиться, например, в фильтре-обострителе с нулевой задержкой, если входной сигнал начинается с нулевого отсчета: Ь = =[О, Ь,, Ь~,..., Ь„]. В этом случае правые части нормальных уравнений равны нулю, и следовательно, сигнал на выходе фильтра будет нулевым, а ошибка — максимальной.
Рассмотрим другой случай, когда все отсчеты входного сигнала, кроме последнего, равны нулю: Ь = (О, О, О,..., О, Ь ). При этом первые п фильтров-обострителей создают максимальные ошибки о;=1 (г=О, 1,..., и — 1). Сумма квадратов ошибок, получающихся в этих первых и фильтрах-обострителях, равна, таким образом, п. Но так как это число совпадает с общей суммой квадратов ошибок, то последние (т+1) фильтров-обострителей дают минимальную ошибку о;= =0 (г=п, п+1,..., и+т). В любом случае существует некоторая задержка г, при которой сумма квадратов ошибок о; получается минимальной.
Этот минимум может быть и не единственным. Значение г, при котором о; имеет минимальное значение, называется оптимальной задержкой или оптимальным положением выходного импульса, а соответствующий фильтр а; — оптимальным фильтром-обострителем для заданного входного сигнала Ь. 520 Глава 7 Применение ПОС в геофизике 521 Г1ри очень коротких характеристиках фильтра-обострителя общих правил оптимизации не существует.
Однако при достаточно длинных характеристиках были замечены следующие особенности: 1. Для ~~одних сигналов с .~!и~пималы!ой заде!роккой оптимал!»- ная задержка равна минимально возможной, т. е. нулю, 2. Для входных ~сигналов с макс!!маль!ной за~держко!! оптимал!- ная задержка равна максимально возможной, т. е. т+и. 3. Для входных сигналов, не входящих в две предыдущие группы (т. е. с промежуточной задержкой), оптимальная задержка лежит между наибольшей и наименьшей. На практике эти правила можно применить для определения понятий минимальной, максимальной и промежуточной задержек.
Вернемся теперь к случаю формирующего фильтра 1 с произвольным видом требуемого выходного сигнала д. Матричное нормальное уравнение в этом случае записывается как Р= йвт Однако нормальное уравнение для обостряющего оператора с матрпцей А имеет впд А1~ = В', поэтому Я =- дАй. Следовательно, характеристику формирующего фильтра /' можно выразить через требуемый выходной сигнал д и матрицу А оператора-обострптеля в виде 1= — дА, или ао [~10» !11» » ~г»г+»г~ = иог!о+ ~1Ф1+ -!-д ггг+гг го+о. г!ггг+»г (с1 — с) ВТ= О.
Умножив обе части его на ~т, получим (~1 — с) Вт1т=О, Таким образом, формирующий фильтр 1 образуется как комбинация из обостряющих фильтров для всевозможных задержек, в каждом из которых произведено взвешивание выходного сигнала, причем весовые коэффициенты равны значениям требуемого выходного сигнала в моменты времени, равные задержкам в соответствующих фильтрах. Вспомним, что матричное нормальное уравнение для 1 можно представить в виде или 1(!т,— с) ст==О 1 Следовательно, сумма квадратов ошибок равна о =(!~ — с) (д — с)т =(д — с) дт — (д — с) ст =(!~ — С) Ю=йà — сЮ. Поскольку с=1В, сумма квадратов ошибок о =ййт — 1Вйт что с учетом равенства о =ЫВТ дает ц г1г1Т ~ т Таким образом, сумма квадратов ошибок, получающихся в формирующем фильтре 1, равна сумме квадратов значений заданного выходного сигнала, уменьшенной на величину скалярного произведения характеристики фильтра с взаимно-корреляционной функцией.
Поскольку ~=-с1А, д=дВт С=АВ, это скалярное произведение равно 1Кт =е1 АВИСТ =йсйт. Таким образом, сумма квадратов ошибок формирующего фильтра выражается в виде квадратичной формы и=-г1г1т — г1Сйт= д [1 — С1 ~Г, где матрица квадратичной формы равна 1 — С, т. е. матрице разностей между заданными и фактическими выходными сигналами всевозможных обостряющих фильтров. Полученная формула дает минимальное значение квадратической ошибки о для требуемого выходного сигнала д, однако ошибка не обязательно будет малой. В связи с этим важно найти класс выходных сигналов д, для которого ошибка о с гарантией будет небольшой.
В дальнейших рассуждениях удобно оперировать с нормированной квадратической ошибкой (НКО) о', которую можно задать соотношением о г1(1 С) ат О' — —— ,1,1Т ,1,1Т Поскольку о'= О матрица 1 — С является неотрицательно определенной. Рассмотрим матрицу С фактических выходных сигналов всевозможных фильтров-обострителей, имеющую размер (т+и+ +1) Х (т+ и+1). Ранее было показано, что ССТ =Ст.
34 — 359 Применение ЦОС в геофизике 522 Глава 7 Транспонирование обеих частей равенства дает ССт = — С, откуда следует, что С=Ст (т. е. С является симметричной матрицей), а это в свою очередь означает, что С =-ССт =С'. Из условий С=СТ, С= — С' следует, что С является симметрической идемпотентной матрицей ([14], определение 12.3.1). Кроме того, матрица 1 — С также является симметрической идемпотентной ([14], теорема 12.3.5, часть 4), и поэтому Ранг (1 — С) =-1г (1 — С) (! 14], теорема 9.1.5), Но выше было п~оказано, что 1г (1 — С) = 1~ = =и, и поэтому Ранг (У вЂ” С) = п.
Таким образом, 1 — С является симметрической идемпотентной матрицей ранга п, а подобные матрицы имеют всего и ненулевых собственных значений Л;, каждое из которых равно +1, а остальные т+1 собственных значений равны нулю ([14], теорема 12.3.2). Представим нормированную квадратическую ошибку г' в виде т (Л,в1 в,+Л2в2Я,2+ .. +Л,Р."в.+ ~„т т т т +Л„„е„+~в„,,+... +Л ...е +„+~в +„+,) д, где е; обозначает ~-й ортонормальный собственный вектор-строку матрицы 1 — С, имеющий размер 1Х (т+и+1). Все векторы е; ортогональны, так как матрица 1 — С симметричная. Приведенное выше разложение матрицы 1 — С по собственным векторам и собственным значениям является прямым следствием ортогонального преобразования 1 — С =.ЕТЛЕ, где матрица Е размерами (т+и+1) Х(т+и+1) составлена из собственных вектор-строк е;, а матрица Л диагональная и составлена из собственных значений (Л~, ~Л2,..., А~+и+~).
Допустим теперь, что в качестве требуемого выходного сигнала д выбран один из собственных вектор-строк размером 1Х (т+ + и+ 1) (например, е;), соответствующий любому из т+1 нулевых собственных значений Х;, т. е. Д=в~, и+1 ( ) ( и+т+1. При этом получается т+л+1 е. ~~~ Л;е;те; ет е Л [е~~е;)ет ~=1 =0 т 1 е ет ее аоскольку Л,=О и е;е~=бц, причем 11 при ~=1, ь„=1 10 при ~ ~> ). Это означает, что имеется т+1 возможностей выбрать для формирующего фильтра форму выходного сигнала а так, что НКО уменьшается до минимума, т.
е. до нуля. Интересно также рассмотреть случай, когда в качестве требуемого выходного сигнала с1 взят любой из собственных вектор-строк (например, е;), соответствующий одному из и собственных значений Л,, равных.единице. При этом д=е, 1()(п, и нормированная ошибка е~ ~ Л;ете; е".
ее, т или (е~е~ ) (е~е~ ) — т е~е,. поскольку л;=1, а е;е;т=бц. Отсюда следует, что существует и вариантов требуемого выходного сигнала д, для которых НКО достигает максимально возможного значения, равного единице. Отметим, что выполненный ранее анализ распределения ошибок для набора обостряющих фильтров, когда входным сигналом служила последовательность Ь= (О, О,..., Ь„), вполне объясняется и в рамках вышеприведенных рассуждений. Важным частным случаем формирующего фильтра является предсказывающий фильтр, когда требуемый выходной сигнал совпадает с входным, но опережает его во времени на некоторый интервал а, называемый интервалом предсказания. Опережающий сигнал состоит из двух частей: неконтролируемой части Ь(0), Ь(1),..., Ь(а — 1), Глава 7 526 Применение ЦОС в геофизике 527 Х ~.г.,=а,, 1=-0, 1, гт «т-1 «т-2 «0 «2 Го «1 «0 г, «2 , а,.«,;= сб,, «0 Г т+2 г-т+1 г зд Поскольку Я вЂ” симметричная теплицева матрица, в обоих век ' тор-строках можно записать элементы в обратном порядке и тем самым преобразовать предыдущее уравнение к виду 'У-т-1(т) ° ° ~- -~(1) ~- ~(0)Я=-[«(1),..., «(т), г(т+1)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
