Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Три последних коэффициента можно выразить через первый следующим образом: 1„=1+г„ Р )и — )п~ 1„' = 1 — гп. Все коэффициенты являются действительными числами, Коэффи циенты отражения всегда лежат в интервале ( — 1, 1) а коэффициенты пропускания — в интервале (0,2). Коэффициент пропускания при двукратном прохождении (туда и обратно) одного и того же импульса через и-ю границу раздела слоев равен ~,:~„' = = 1 — гп ° Предположим, что в слоистой структуре нет потерь энергии, т. е. такие эффекты, как поглощение в слоях, приводящее к за- Глава 7 'гуханию сигнала, отсутствуют.
Тогда энергия сейсмических сигналов, находящихся в слоистой системе, может теряться только за счет энергии волн, выходящих в воздух или в фундамент и не возвращающихся назад. Для упрощения выкладок удобно вводить в нужных местах структуры вспомогательные границы раздела с тем, чтобы сделать время двукратного прохождения через каждый слой одинаковым ,для всех слоев. Это время будем считать единицей отсчета времени.
Понятно, что для всех таких вспомогательных границ коэф'фициенты отражения равны нулю, а коэффициенты пропускания— единице. Пусть г обозначает оператор единичной задержки. Тогда любую последовательность импульсов ав, аь аъ...,а„где а, обознача.ет амплитуду импульса, появляющегося в момент времени з (причем я — целое число), можно представить с помощью производящей функции А (г) =а,+а,г+а,г'+.... Такую волновую последовательность часто будем для простоты называть волной А. Функция А (г), являющаяся г-преобразованием волновой последовательности ащ аь аа,... и имеющая вид А (г) =--а, +а,г '-1- а,г '+... „ часто будет обозначаться через А.
Другими словами, производящая функция и соответствующее ей г-преобразование получаются друг из друга заменой переменной г на г — '. Всегда будет предполагаться, что зондирующий (входной) сигнал является единичным импульсом, приложенным к поверхности осадочной системы в нулевой момент времени и распространяющимся от нее вниз.
Поэтому выходную последовательность, отраженную в верхнее полупространство, будем называть импульсным откликом (характеристикой) отражения, а колебание, проходящее в фундамент,— импульсным откликом (характеристикой) пропускания (рис. 7.3). Рассмотрим теперь осадочную систему из и — 1 слоев, имеющих коэффициенты отражения тв, ть ..., тя, ь Рассмотрим, кроме того, вторую осадочную систему из и слоев, коэффициенты отражения которых равны также тв, ть ..., т <, а последний слой имеет коэффициент отражения т„. Чтобы в обеих системах коэффициенты отражения совпадали, необходимо, чтобы п-й слой второй системы имел те же сейсмические свойства„что и и-е полупространство в первой системе, а все слои, лежащие в обеих системах под и-й границей, попарно имели одинаковые волновые сопротивления (рис.
7.4). Теперь нужно связать характеристику отражения Я„, системы из и — 1 слоев с коэффициентом отражения г„таким образом, чтобы получилась ߄— характеристика отражения и-слойной си- При<исненис ЦОС в геофизике стемы. Из рис. 7.5 видно, что Я„ состоит из бесконечного числа компонент, образующихся следующим образом: 1. Импульс т получается при отражении зондирующего импульса от и-й границы вверх.
2. Последовательность импульсов <~Й„<~' получается при прохождении зондирующего импульса через и-ю границу вниз„ Юь<ходные сигналы Юкодной сигнал Единиь'ный импульс, распространяющийся вниз Характеристика отражения Система из и слое» конечной тол<4 ины Характеристика пропускания Рис, 7.3. Схема, поясняющая <чысл характеристш< отражения и пропускания системы из а слоев конечной толщины. Это выражение можно представить в виде произведения ~н = т,+1Л.
Аг(1+тЛп г+(тЛ„1г))+...1, отражении его вверх от системы из и — 1 слоев и прохождении через и-ю границу вверх. 3. Последовательность импульсов 1„Я <та Я„, <1„получается, когда зондирующий импульс проходит через п-ю границу вниз, отражается вверх от системы из и — 1 слоев, отражается вниз от п-й границы, повторно отражается вверх (от и — 1)-слойной системы и, наконец, проходит через п- границу вверх.
Подобным же образом образуются другие компоненты бесконечного ряда. Первый отраженный импульс появляется в момент поступления зондирующего импульса. Последовательность импульсов, описанная в п. 2, появляется с единичной задержкой (т.
е. с задержкой на время прохождения импульса через и-й слой и обратно). Последовательность, описанная в п. 3, проходит с задержкой на две единицы времени и т. д, Складывая все эти компоненты, получаем В,=-т„+1„К„,1,'г+1„й,„,г,'Д„,1„'г'+,... 498 Глава 7 Применение ЦОС в гео4изике Характеристика отражения Ю„ Гдиничныи" импульс Компонента компонента, Компонента .. 1 е 2 ' 5 Граница и Гоаница п-/ Подсистема ив и-7споее Граница О чднд имен«п Коедо«рициенты отрамения Полупространство п+1 Полупространство и Спой и «и Слой и-У Слои п-7 Уп-2 Спой и-2 Слои и-2 «и З 1п'Гп, 1+ «пДп,а Спой 7 Спой 1 со Полупространство Р Попупространстео О Циничный импульс на входе Граница и Граница и-1 Граница 0 Компонента Компонента КомионеНта « 2 Характеристика пропусканип Т, которое после суммирования геометрической последовательности, содержащейся в квадратных скобках, дает 1пйп-11па 'хп ==Уп «ййп-12 Учитывая вышеприведенные соотношения между коэффициентами отражения и пропускания, можно получить «и + 1хп-12 1+ «пЯп а ' Это соотношение, связывающее У„и Я» имеет тот же вид, что и формула сложения скоростей в теории относительности Эйнштейна [71.
Рис, 7.4, Две слоистые системы с одинаковыми коэффициентами отражения «е, «» „«ь Система из и слоев имеет дополнительный коэффициент отражения У„. Характеристику пропускания Т„можно аналогичным образом выразить через коэффициенты отражения у„и пропускания ~„на и-й границе и через характеристики отражения Я„~ и пропускания Т„, системы, содержащей и — 1 слой. Из рис 7.6. видно, что характеристика пропускания Т„ системы из и слоев состоит из бесконечного ряда компонент, таких как 1) последовательность импульсов 1 Т„ 1, 2) последовательность импульсов 1„К ,У„'Т„ » 3) ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ИМПУЛЬСОВ 1п«Хп 1«п'Яп ~Уп'Тв и т.
д. Началом характеристики пропускания будем считать момент прихода первого отражения (т. е. появления первого импульса с ненулевой амплитудой). Первое отражение отстает от зондирующего импульса на Л«/2 единиц времени (т. е. на время прохождения импульса через систему слоев в одном направлении). При Рис, 7.5, Схема формирования характеристики отражения Я,. таком выборе начала отсчета импульсная последовательность п.1 входит в характеристику пропускания без задержки; последовательность, описанная в п, 2, входит с единичной задержкой; последовательность импульсов из п.З входит с задержкой на две единицы времени и т. д. Складывая все компоненты, находим Тп 1пТп т+1пК -тУ„Т ~2-+- Е «Хп-~У~Я„-тУ„Тп-12 "+ .
=1п7п 1 11 1 К-1Уп2+(т"и-1«п2) + ° ° ° 1 ° После суммирования геометрической последовательности получа- ем Заметим, что окончательные выражения для Я и Т„имеют одинаковые знаменатели. Ряс. 78 Схема формирования характеристики пропускания Т„. Теперь нужно определить последовательность полиномов С„ С»..., Сн, которые будем называть полиномами прямой связи, и последовательность полиномов 1~в, Е1» ", Йн, которые будем называть полиномами обратной связи.
Если система не содержит 50! 500 Глава 7 Применение ЦОС в геофизике слоев конечной толщины, то характеристики отражения и пропу- скания имеют вид Т, = — ~о. Эти характеристики можно выразить через полиномы Со и Р„являющиеся многочленами нулевой степени, в виде соотношений Со о ~о — > То— '-~о ~о в которых полиномы Со и Р, удовлетворяют условиям Со — «о Ро — 1 Предположим, что для системы, содержащей и — 1 слоев конечной толщины, характеристики отражения и пропускания можно выразить через полиномы (и — 1)-й степени С„~ и Р„~ в виде Сп-1 г ~п-1 .. ~о ~п-1 д ~ ' и-1 р и-1 и-1 причем полиномы удовлетворяют условиям Сп, (О) = «и „Р„, (О) = — 1. С помощью формулы сложения скоростей находим ߄— «и+ Кп-1Рп-,)г 1+ «п(Сл-1Фл-1)г ' или после преобразования «пПп — 1+ Сп-1г Вл 1+ «лСл,г Зададим полином прямой связи С (и-й степени) с помощью рекуррентных соотношений Из них видно, что эти полиномы удовлетворяют условиям С„(0)=«„, Р„(0)= 1.
Характеристика отражения Я„определяется дробью Я = С„/Р„. Аналогично характеристика пропускания равна Т„ ~пТп-1 (~п~п — 1 ~о)Рп-1 1+ («пйп-1г) 1 т 1«п(Сп-1(Г~п-1)г) или Тп= ~п~п-1... ~о ~4п-1.. ~о Оп-1 + («пСп-1)г '~~л Поскольку Т„есть производящая функция для устойчивой односторонней ~физически реализуемой) функции времени, то поли- ном Р„является функцией с минимальной задержкой. Но так как функция, обратная к функции с минимальной задержкой, также является функцией с минимальной задержкой, то этим же свойством обладает и характеристика Т . Будем называть функцию Р Р спектральной функцией поли- нома обратной связи Р, а функцию С С„вЂ” спектральной функцией полинома прямой связи С .
Найдем выражение для разности этих спектральных функций. Пользуясь рекуррентными формулами, приведенными выше, получим РпРп — Спсп = (1 — «,') (Р„,Р„, — Сп,Сп,). Повторяя эту процедуру, приходим к соотношению РпРп — фф=(1 — «,',) (1 — «', 1) ° (1 — «о). Выражение, стоящее в правой части, является произведением коэффициентов двустороннего пропуокания (через границу и обратно) всех и слоев конечной толщины. Обозначим это произведение через о '. Тогда разность между спектральными функциями полиномов прямой и обратной связи равна коэффициенту двустороннего пропускания и-слойной системы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
