Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Весьма часто реализация двумерного формирующего фильтра (рассчитанного методом наименьших квадратов) на основе прямого .а взаимно-корреляционная матрица 6(г) =В(г) В" (г ') =[4+За 2+а). Таким образом, искомые матричные коэффициенты автокорреля,ции размерами (2Х2) равны Применение ПОС в геофизике вычисления свертки требует чрезмерно большого объема вычислений.
Эту трудность можно обойти, выполняя фильтр в двумерной рекурсивной форме (т. е. с обратной связью). Передаточную функцию двумерного рекурсивного фильтра можно представить в виде А,! ~~ р ~гЫ (7.1 1) Я (г, ы)) ~~~ д; гЫ и! где Р (г, и) и Я (я, и) — полиномы соответствующих степеней, стоящие в числителе и знаменателе дроби. Степени этих полиномов, а также числовые значения коэффициентов рц и д;; зависят от метода расчета фильтра, использованного для решения конкретной задачи. Как правило, рекурсивные фильтры с точки зрения объема вычислений оказываются более эффективными, чем их аналоги, выполненные в прямой форме. Это выражается в том, что очень часто общее число коэффициентов р;; и д;; оказывается значительно меньшим, чем общее число коэффициентов ап.
В последнее время в литературе уделялось достаточно много внимания конструированию двумерных рекурсивных фильтров (см., например, [19 и 20]), поэтому здесь нецелесообразно детально повторять эти работы. Однако один из важнейших аспектов двумерных рекурсивных фильтров, а именно вопрос об их устойчивости, имеет отношение к рассмотренному выше двумерному фильтру, дающему наименьшую среднюю квадратическую ошибку.
Так же, как и в одномерном случае, неустойчивые двумерные рекурсивные фильтры создают выходные сигналы, не ограниченные по величине. Многие из существующих способов расчета приводят к созданию таких фильтров, которые нуждаются в дополнительной стабилизации. Это означает, что знаменатель дроби (7.11) [полипом обратной связи] Я (я, и) не может обращаться в нуль, когда ~ г ~ и ~ ы ~ одновременно равны или меньше единицы, а из этого условия следует, что функция Я (я, ы) является минимально-фазовой. Разработан ряд методов стабилизации фильтров.
В одном из них используется двумерный комплексный кепстр [21, 22], другой основан на вычислении двумерного преобразования Гильберта, связанного с логарифмом модуля спектра 4,А(~, и) [23]. В обоих методах стараются превратить знаменатель Я(г, и) в минимальнофазовую функцию, но в обоих случаях при реализации фильтра могут встретиться трудности. Еще один метод основывается на постулате [24], которьш выполняется во многих случаях (хотя недавно найден [25] пример, в котором он несправедлив): если имеется произвольный конечный массив (матрица) Х, составленный из действительных чисел, то двумерный массив (матрица), который с минимальной средней 35' 540 Глава 7 Применение ПОС в геофизике 541 квадратической ошибкой аппроксимирует матрицу, обратную к Х, является (по всей вероятности1) минимально-фазовым. Чтобы обеспечить устойчивость фильтра, необходимо выполнить следующее: 1.
Найти матрицу Я', которая с минимальной, средней квадратической ошибкой аппроксимирует матрицу, обратную к матрице .знаменателя передаточной функции фильтра, путем решения задачи Требуемый результат — а й Я Я:И с Входной сигнал Фактический результат Характеристика фильтра где Й вЂ” матрица с единичным импульсом, имеющая вид 100 ° ° ° 0 р ооо-..
о 000 0 В данной задаче входной сигнал Я является матрицей размерами (п,Х~). Будем считать, что матрица Я', которая с минимальной средней квадратической ошибкой аппроксимирует матрицу, обратную к Я, и называется здесь характеристикой фильтра, имеет размеры (тХп). Тогда требуемый результат й и фактический Результат С' образуют матрицы размерами ([т+р — 1]Х[п+ч — 1]). Вышеупомянутый постулат позволяет предполагать, что---матрица Я' является минимально-фазовой.
2. Затем следует найти матрицу, которая с минимальной средней квадратической ошибкой аппроксимирует матрицу, обратную матрице Я', путем решения задачи Требуемый результат — ~в ь' Е з с Характеристика Входной сигнал Фактический фильтра результат На данном этапе входным сигналом является матрица Я', имею щая размеры (тКп). В общем случае желательно, чтобы матрица О, играющая здесь роль характеристики фильтра, имела те же размеры, что и матрица Я, стоящая в знаменателе передаточной функции стабилизируемого фильтра, т. е.
(рХ~). Тогда матрицы требуемого результата В и фактического результата С опять должны иметь размеры ([т+ и.— 1]Х[п+ч — 1]). Приведенный выше постулат позволяет предполагать, что матрица Я минимально-фазовая. Поскольку матрица Я' с минимальной средней квадратической ошибкой аппроксимирует матрицу, обратную матрице Я, а ф— .матрицу, обратную Я', то можно сделать вывод, что Я вЂ” минималь- но-фазовая матрица, аппроксимирующая матрицу Я, которая стоит .в знаменателе передаточной функции стабилизируемого рекурсивного фильтра. Стабилизация достигается путем замены массива Я на его минимально-фазовую аппроксимацию © Такой метод дал положительные результаты при решении широкого круга реальных задач, связанных с расчетом фильтров, однако существование примера, опровергающего универсальность постулата, указывает на необходимость дальнейших исследований.
Этот вопрос более подробно рассмотрен в статье [26]. В большинстве практических случаев желательно, чтобы рекурсивный фильтр имел нулевую фазовую характеристику. Поскольку равенство (7.11) определяет передаточную функцию А (г, и) только в первом квадранте (т. е. К 1, т, и) 0), то устойчивый рекурсивный фильтр с нулевой фазовой характеристикой можно получить. если положить 6 (г, ц1) = Л, (г, и) А, (г ', и '), где Л, (г, и) — передаточная функция рекурсивного фильтра, в знаменателе которой стоит минимально-фазовая функция ф (г у) Подставив г=е — 1"'1 и и 1"'х, где аи и оь — угловые частоты по осям ~ и х соответственно, получим а(е 1 1 е ' х)- — А (в ыг, е х)А (е1ы1 ейах) откуда следует, что )~( „„) )=! А,(1о,,1о ) !'. Таким обРазом, 6(о1, вх) имеет нулевую фазовую характеристику, а ее амплитудно-частотная характеристика равна квадра а ли тудной характеристики Л (г, и).
Ряд других способов синтеза фильтров с нулевыми фазовыми характеристиками описан в работе [20]. 7.8. Выводы В настоящей главе было показано, каким образом плоская гоРизонтально-слоистая модель Земли используется для методов анализа сейсмической информации. Хотя такая модель и является упрощенной, но большинство методов обработки результатов сейсморазведки было создано на ее базе, и, кроме того, она является основой, на которой можно построить более сложные модели.
Поскольку в сейсморазведке приходится обрабатывать значительные объемы информации, большинство сейсмических моделей должно быть статистическими. Данные, получаемые во время практических поисков месторождений нефти и газа, должны быть проанализированы и классифицированы. 543 542 Применение ЦОС в геофизике Глава 7 Чтобы модель соответствовала практическим условиям измерений, она должна отражать присутствие помех и неполную досто верность данных, т. е. содержать статистические параметры.
В большинстве (если не во.всех) отраслях. науки, изучающих окружающий нас мир, статистические данные и статистические методы используются очень широко, причем во многих областях человеческой деятельности статистические методы оказываются совершенно незаменимыми. В геофизике, как и в любой другой отрасли науки, научные методы неразрывно связаны с созданием моделей. После внедрения цифровых методов обработки больших объемов сейсмической информации широкое применение научных моделей стало просто необходимым. В результате при построении моделей были достигнуты значительные успехи, что позволяет пользоваться современными геофизическими моделями как в ходе поиска месторождений нефти и газа, так и для развития более совершенных методов поиска. В данной работе описан ряд математических моделей, которые нашли применение в практике обработки сейсморазведывательной информации.
Список подобных моделей, однако, здесь никоим образом не исчерпан, скорее сделана попытка выделить модели, которые могут представлять интерес для специалистов, занимающихся обработкой сигналов в других областях науки. Опущено, например, описание метода гомоморфной фильтрации [27], поскольку этот эффективный метод был создан применительно к обработке речевых сигналов и рассмотрен в гл. 3.
В этой главе описаны многие из применяемых в настоящее время методов цифровой обработки сигналов. Рассмотрены как многомерные, так и многоканальные задачи, и, по-видимому, одним из наиболее важных приемов среди приведенных здесь является метод преобразования многомерных задач в эквивалентные многоканальные, для решения которых можно пользоваться известными способа ми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
