Оппенгейм - Применение цифровой обработки сигналов (1044221), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Однако известно, что для оператора предсказания 11 с интервалом предсказания а= 1 справедливо равенство ~Я=[«(1),..., г(т), «(т-]-1)]. Поэтому оператор, полученный обращением оператора вспоминания с интервалом вспоминания — а=т+1, идентичен оператору предсказания с интервалом предсказания а=1. В более общем случае оператор, полученный обращением оператора вспоминания с интервалом вспоминания — а=т+«г, оказывается ни чем иным, как оператором предсказания с интервалом предсказания о=А. 7.6. Рекуррентные способы решения нормальных уравнений, содержащих теплицевы формы Решение задачи об оптимальной инверсной фильтрации методом наименьших квадратов сводится к решению системы уравнений, называемых нормальными уравнениями. В общем случае для каждого коэффициента фильтра составляется свое уравнение.
Машинное время и объем памяти, необходимые для решения системы с помощью обычных стандартных программ для систем линейных уравнений, оказываются слишком большими (за исключением случаев, когда число коэффициентов фильтра невелико) . В данном разделе описаны более эффективные способы определения коэффициентов искомых фильтров.
Эти способы позволяют при разумных затратах обработать большие объемы сейсмической информации; на практике ежедневно приходится решать не менее 5 млн. нормальных уравнений, многие из которых содержат до 100 и более переменных'>. При рассматриваемом подходе применяется особая форма автокорреляционной матрицы Р, в скалярном случае называемая теплицевой формой, а в матричном случае ') — блок-теплицевой формой.
Эту форму можно представить в виде матрицы и 6. М. НопсЫпз, Атосо Ргодпсйоп Сотрапу, частное сообщение, 1976 г. 2> Матричный случай встречается в разд. 7.7, где рассматриваются многоканальные записи и многомерные процессы. элементами которой могут быть скалярные величины или квадратные матрицы. Отметим, что элементы, лежащие на одной и той же диагонали, одинаковы, т. е.
матрица полностью определяется элементами левого столбца и верхней строки. Согласно рекуррентному методу, сначала отыскивается фильтр с одним коэффициентом. Затем на основе этого фильтра находится фильтр с двумя коэффициентами и т. д., пока не будет найден фильтр с требуемой длиной характеристики. Основное преимущество рекуррентного метода состоит в экономии машинного времени и памяти. Для решения системы уравнений стандартными способами необходимо машинное время, пропорциональное тз, и объем памяти, пропорциональный т2.
В рекуррентном методе требования к времени и объему памяти снижаются до т2 и т соответственно. Важным дополнительным достоинством данного метода является то, что на каждом шаге вычислений можно находить дисперсию ошибки предсказания о. Это дает возможность определять по некоторому критерию нужную длину характеристики фильтра. С увеличением длины характеристики средняя квадратическая ошибка будет убывать и при некотором значении длины станет пренебрежимо малой. При описании рекуррентного метода будут применяться две группы обозначений: обычные алгебраические и набор векторных операторов (сокращенные обозначения) .
Прямая рекуррентная схема для скалярного процесса была впервые составлена Левинсоном [5~. Робинсон [15] обобщил ее на случай многоканальных записей и, наконец, Виггинс [161 распространил скалярную схему на случай многомерной информации. Рекуррентная косвенная схема предложена Симпсоном [17~. В случае одноканальных сигналов нормальные уравнения имеют вид Здесь коэффициенты фильтра ~;, коэффициенты автокорреляции г;; и величины д';, стоящие в правой части, являются скалярами. С этими нормальными уравнениями связаны нормальные уравнения для оператора а; ошибки предсказания на единичный интервал предсказания: где а0=1, о — средняя квадратическая ошибка, а б~ — дельта-функ- ция Кронекера, по определению равная 6~=1 при 1'=0 и б;=0 при ~~0.
Глава 7 Применение ЦОС в геофизике 529 [Ь„Ь„..., Ьл1=[ал, а„„..., а,1. Рассмотрим способ, позволяющий преобразовать оператор (с коэффициентами ао, а~,..., а ) ошибки предсказания на единичный интервал в новый оператор ошибки предсказания на единичный интервал с коэффициентами ао', а~',..., а„+1, число которых при этом возрастает на единицу. В качестве первого шага введем в оператор а нулевой коэффициент в конце последовательности коэффициентов оператора: .,а„,О~~ го ., О,и1. =-[о, О, [ао, г-л-1 Величина и, равная . +а„г„ и= аОГл 1-Г- определяет расхождение; при и=О расширенный оператор является правильным. Но, как правило, расхождение получается ненулевым, и поэтому следующий шаг состоит в таком изменении коэффициентов расширенного оператора, при котором расхождение обращается в нуль.
Для этого к расширенному оператору ошибки предсказания прибавляется такой же расширенный оператор ошибки вспоминания, но умноженный на некоторый весовой множитель й. В результате получается ., Йао! ~ го [а„а, + Уга„, Г л-1 , О, и+Ао1. =[о+йи, О, Приведенный здесь вариант рекуррентного метода, относящийся к большим операторам, является доработанным вариантом метода -Левинсона. Левинсон пользовался операторами предсказания, а не операторами ошибки предсказания.
Кроме того, в первоначальном .алгоритме Левинсона на каждом этапе необходимо вычислять по- ~парные скалярные произведения трех векторов. Одно из скалярных произведений используется для вычисления следующего значения дисперсии ошибки предсказания о. Поскольку ошибки предсказания могут становиться очень малыми, накопление ошибок округления может сделать вариант алгоритма, предложенный Левинсоном, неустойчивым. Как будет показано ниже, модификация алгоритма, предложенная Виггинсом и Робинсоном [18], позволяет обойти эту трудность при вычислении о.
Эта модификация и ее значение рассматриваются также в работе Берга [13]. Оператор вспоминания «предсказывает» предыдущие значения временного ряда по его последующим значениям. В скалярном случае матрица Я симметрична, и поэтому оператор Ь; ошибки вспоминания на единичный интервал получается с помощью обращения оператора ошибки предсказания на единичный интервал, т. е. Чтобы найти множитель К приравняем нулю сумму и-[-Ао.
Тогда А= — „. Таким образом, й равно отношению расхождения и к дисперсии ошибки предсказания о, взятому с обратным знаком. Новый оператор имеет вид а'=[ао, а1+Аа„,..., а„+Йа„йао1, а новая дисперсия о' =о+Аи го Ыл~ Ул+11~ Г л-1 где Если к расширенной характеристике фильтра прибавить взвешен- ную характеристику нового оператора ошибки вспоминания, то по- лучим 'о ., ~„+А~аь А;ао1 г -л-1 ., ал, ~~л,1+~гР'1. — [Йо Выберем А~ так, чтобы 7л+1+ "~Я =- Ил+1 ° Тогда характеристика нового фильтра ~' будет иметь вид ~'=Цо+Й а„'+~,..., ~„+И~а;, Й~ао1.
Запишем результаты в сокращенных обозначениях: а=[а,, а~,..., ал] — данный оператор ошибки предсказания, / р / / / а =[аО, а1,,, ал+~] — НОВЫЙ ОПЕратОр ОШИбКИ ПрЕдСКаЗаНИя, Ь=[ =[ал, а ~,..., ао] — данный оператор ошибки вспоминания, Ь'=[ал+~, ал,..., во[ — новый оператор ошибки вспоминания, р= [го+,, г... г — отрезок автокорреляционной последовательности, ~=[~'„, ~,, ..., ~;,; — характеристика данного фильтра, 1"=[Я, ~~,..., Я вЂ” характеристика нового фильтра. Воспользуемся новым оператором ошибки предсказания дляувеличения числа коэффициентов фильтра ~. Опять в качестве первого приближения к 1"' добавим нуль в конец характеристики оператора ~.
Тогда 530 ('аава 7 531 Применение ПОС в геофизике Прежде всего вычисляется расхождение в виде скалярного произведения и=а р, а затем й в виде дроби со знаком минус: Далее строится новый оператор ошибки предсказания а'=(а,,О)+А(0, Ь) и находится дисперсия новой ошибки предсказания о' =о+ Аи. (Данная операция характерна для прямого способа решения задачи и является существенным отличием от метода Левинсона, где величина о' вычислялась в виде скалярного произведения о'= = аого+ а,г 1+...
+а„г „.) Новый оператор ошибки вспоминания Ь' получается путем расстановки коэффициентов нового оператора ошибки предсказания в обратном порядке. Затем вычисляется скалярное произведение 7„+, —— -~.р и постоянная 1в"л+1 — '11л+11 А~ —— Наконец, получается характеристика нового фильтра ~ =У, 0)+Д,Ь. На каждом этапе описываемого метода нужно вычислять два скалярных произведения а р и )" р вместо трех а р, ~ р и авг,+...
... +а„г „как необходимо в методе Левинсона. Критические замечания, относящиеся к точности метода Левинсона, часто вызваны ошибками, возникающими при вычислении этого третьего скалярного произведения. При анализе многоканальных записей, когда имеется М входных и 1. выходных каналов, каждый из коэффициентов автокорреляции г; является матрицей размером МХМ, а все коэффициенты фильтра, операторов ошибки предсказания и ошибки вспоминания, а также правой части нормальных уравнений представляют собой матрицы размером ~ХМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
