Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При необходимости этк варамегры можно затем испозьзоаать в качесгае входных параметров двя подпрограммы ЕХРЛЕЛгт(5, с помощью которой определяются значения четырех экспоненциадьных параметров. нли для подпрограммы ЕЗП, которая дает «спектральную» оценку Прона. На рнс. Н.2 наказаны оцеиктг по методу Прони спектразьной плотности энергии (СПЭ), позучеаные для б4-точечной тест-последователыюсти данных с помощью двух методов, представленных ца рис. !1.1. Значеяия оценок экссопеациальиых параметров врнведены в приложении 11 Г.
й(одифггцированный метод Прон» дает линейчатый спектр, носкояьку в нем используется допущение о синусовдальной модели. Это приводит к содучению очень точных оценок четырех действительных синусоид анализируемого процесса, но н неточному представлению окрашенного шума, присутствующего в этом процессе. 11.3. Одновременное оцеииванне знсаоненцнапьнык параметров Функцию дискретного времена (1! 1), состоящую из р экспонент, можно ежа~о представить в форме где комплексные койстантм й» и гь о~редеаяются выражениями Заметим, что !ц — это комплексная ачплнтуда, вредставляю. щзя собой незаэисящис от времени параметр, а з,— этокомнзексная экспонента, которая описывает параметр, зсзисящиг от времени. В адеазьном сл] гас при налички уу отсчетов данных сумму квадратов ошябок е[п)=к[и) — х[п)=к[я) — ~ йэгь ', г-.г необходимо одновременно минимизировать но параметрам йг„ параметрам к, и числу эксповент р.
К сожалению, зто оказывается трудной нелинейной задачей' лаже в том случае, когда аначение р известно. Трудность подобной задачи можно про. демонстрировать на примере мопеда. содержащей толька одну экспоненту'. Для минимизации квадрата ошибки р цри нспольаоваиии модели с затухающей экспонеитой х [к[ — А ехр (с: [и — Ц Т) необходямо приравнять нулю производные от р по А н ст: пш! Гааза г! зтэ ыеюл пэаэ где я с, = ~ х [а] е ар (а [и — Ц Т), н е,= ~]ехр(2а[~ — ЦТ), =! э с, = ~] (л — 1) г[п]ехр(а[я — Ц Т), =! л с, = ~] (и — 1) ехр (2а [л — Ц Т). =! Для простаты почажим, чта «[и], А и а имеют действительные значения. Из первого уравнения в (П,В) получаем А=с!(см подставляя эта значение ва второе уравнение а (11 8), полу- чаем (1!.9) 11.4.
Исаадный падкая Праны Если числа используемых отсчетов данных ранна числу зкспо- ненциальных параметров, та возможна точная подгонка экспо- нент пад имеющиеся данные. Рассчотрим функцию дискретно- го времени, представляюгцую собой сумму р экспонент: х[п]= Х Илга Ц л ! (11.11) с,с, - с,сэ (1!.1О) Это в высшей степени нелинейное урзвнение относительно вхш з шит в нега сумм, содержащих лпюжитсльсхр(а[п — ЦТ),необходимо решить относительно а.
Аналитические методы реше. ния этога уравнения отсутствуют. Для одновременной минимизации величины (11.6) по всем эксповенциальным параметрам можно использовать итеративные алгоритмы, такие как пропеауры градиентного спуска и метод Ньютона [3, !6, !7). Эти алгоритмы требуют очень больших вычислительнык затрат и к тому же на каждом шаге требуют обращения мат рни, размерность которых может быть рав. най числу имеющихся отсчетов данных. Алгоритмы градиентно. го спуска для мультимадальных уравнений могут к там> же не сходиться к глобальному минимуму. Отмечевные вычислительные трудности привели к разработке субаптимальных процедур минимизации р, получивших иазваяие метода наименьших квадратов Прона, в котором используются решения линейных уравнений. Метал Прони свалит нелинейные вспеиты экспоненцнальвой малели к процедуре факторизации палиномов, для которой разрабатаны быстрые вычислительные алгоритмы Заметим, что в этом выражении используется х[п], а не х[л), поскольку точно 2р комалексвых отсчетов х[Ц, ..., х[2р] используется для точной подгонки и экспоненцнальной модели с 2р комплексными вераметрами й!, ..., Вэ, гь ..., гг.
Входя. шне в (Н.!!) р уравнений, где !щпыр, можно записать а матричнбй форме: !'г[ г) г[ г,' [й, (г[Ц) г) ... г' й, ~х[2Ц (11.12) р(г)=дд(г- ) (11.13) Если произведения в (!1.13) вмразить в вале стеленной после. ловательнасти, та папином можно представить в слелующем виде: п Ф(г)= Е; а[т]гг (11.14) =е с комплексныма каэффициентама а[пЦ, для которых а[0[=!. Осуществляя в уравяенин (1!.11) сдвиг индекса от и к л — т и умножая абе его части на параметр а[т[, получаем а[т]х[п — т]=а[т] ~ Л„г„" Ззписывая аналогичные произведения а[0!г[п[, ..., а[т — ЦХ Хх[п — т+Ц и осуществляя суммирование, получаем ~, а[т]г[п — т)= А,»! Е, 'а!т!г," ', (11.!6) = ° !э =э (11.15) г',-' г,'-' ...
гг-') [й ) [ х [р]) Матрица с временеыми индексами элементов г имеет структуру матрицы Ванлермонда. Если может быть найден метод для разпельиаго определения элементов г, то уравнение (!1.12) кожно рассматривать кзк систему уравнений, решив которую, определяют неизвестный вектор иоиплелсных мплитуд. Вклад самого Прони как раз и состоял в отыскании такого металз. Ключ н разделению основан иа том факте, чта уравнение (!1 12) является решением некоторога однородного линейного ргзностного уравнения с постоянными коэффициентами.
Для того чтобы определить еид этого разностиаго уравнения, определим сначала полинам лг(г), карнямн иотораго являются экс. поненты гл! втз зтз м а ар которое справеллкво прн РА-1щп<2р. Осуществляя полстановку -,"- -'=.«А-'г, -', получаем р ~ а[т]х[п — т] — --~ д,г", э д, а[т]г', '=О. (Н.17) =о -э =е Сумму в правой части (Н.17) можно рассматривать как полн. ном, определяемый уравнением (Н.!4), который записан через свои корни, что н обеспечивает в (!1А 7) равенства кулю. Уравненгге (Н.17) — зта линейное разностнае уравнение, одно. родное решенне катпрога выражается формулой (1!.Н). Полн.
ноч (11.14), ассацннрованный с этим лянейяым разностным уравкеккеы, называется характеристическом. р уравнений, представляющих иствнные,значення каэффкцнентов а[п], удовлетворяющнх (11.!7), можно записать в анде следующего РХР матричнОго уравнення «[р] «[р — !] ... х[!]) (О[1]] [г[р — !]1 г[р !. 1] х[р] ... я[21 а[2] )х[р — 21 — (! !.!8) (х[2р — !] х[2р — 2] ... «[р]! [а[р]! ! х[2р] ! Из уравнения (11.18) следует, что, имен 2р отсчетов комплексных данных, возможна разделение множеств параметров йз н гь. Комплексные полннамнальные козффяцкенты а[!],..., О[р], которые являются функцнямн только завпсящкх от времена компонентов щ экспоненцнальной модели, позволяют по временнйм отсчетам сформировать соотношения для лннейнаго прелсказання.
Матрица в уравнении (11.18) имеет теплпцеау структуру, поэтому решение может быть получено с помощью подпрограммы ТОЕРЕ!72, привеленной в гл. 3 Процедуру Прони для палгонкв р экспонент к 2р отсчетам цанных можно тенер~ представить в ваде слелующнх трех этапов. На первач этапе получается решенне уравненнв (11.!8) длв коэффициентов полинома На втором этапе вычисляются корни поляномз, апределвемога уравнением (Н,И), Для этой цели используется программа факторазацяк полнаома СРОБУ, прнведенная а прнложеяин П.Б. Используя корень г„можно определить ьазффнцнент затухания а, к частоту синусоиды ! с помощью соотношений а, 1п)г,[(Тс (11.19) А = асс !8 [1т (г )!Де (г,)]12пТ Гц. (П 20) Для завершення процедуры Проны корни нолинома, вычксленпыс на втором этапе, используются далее для формирования (1! 21) (Н 22) А,=)Д,), 0 = асс !8[)ш (Дг)Яе [Д,)] рад.
Вычислння, требуемые выражеаиямн (11.19) — (Н.22), выпал. няютсяс помощью подпрограммы ЕХРАЯАМ5, приведенной нэже взрилон ения !1 1' З!.5. Меод нвнменьшмк квадратов Пропп На прпткке чясло ото гетов данных )С как правило, превышает та мннмальное нх количество, которОе необходимо лля подгонка юдели нз р экспонент, т. е, А')2р. В этом переопределен. ном слчае последовательность отсчетов данных может быть аппраккмерована лишь как экспоненцнальная последователь. ность г[.1=Ей,г, (1 ! .23) где 1 пзВМ Заметны, чта ошибка аппроксямашгк в данном случае~пределяется выраженнем а[а] «[п] — х[п]. В равд.11.3 было Оказано, что одвавременнае нахождение порядка р и паРаметРв (йл, гл), где 1 ЭпйР, котоРые минимизиРУют сУммУ квалраов ошибка р=- ж') г[а1)' (Н 24) прелстнляет собой ~рудную нелкнейную залачу.
Использ!я вариант .етала Прони, описанный в равд 11.4, моткно определять субоптмальное решение, которое обеспечнвает удовлетворнтельны результаты. Используя на первом и втором этапе тРехзтапяоо метала Праны соответствующие линейные процедуры нанмеьшкх кв дратоэ, полу тч процедуру экснояенциального молелпаваннн, которую нногда называют обобщэнным методом Лпнк [б, 1б). 1!Ри таком субоптимальнам подходе залачг нелиненав элспоненцвальяой подгоняя сводится по сутн дела к задач полпнамиальнай фактарнзации. элемензв матрацы уравнения (11.!2), которое затем решается отаоснтльно р комплексных параметров й[1], ..., Д[р].
Каждый па аметр !т, используется далее дяя опрелелення амплиту. ды А,; нагальнай фазы О., которые вычнсляются с лопатью выражпкй зтз 3?4 м мацр тов даниык к определяются выражениями 1 ... 1 [й,] гр ... гр й, Ь= [х[!] ) к [2] х ' . (1127) »г 2, п[ш]х[п — ш]=-е[л) (11.25) [ [Аг]) (Н 28) где и-» уㄠ— — 2, '(г,'з,)" =. !,'4. (11 29) (Н.30) х[п]= 2, й„г) '+е[п]. (Н.З! (2 '2) Л =.
(2пк), (Н.26) В переопределенном случае (т. е. при наличии избыточных данных) линейное разностное уравнение (Н,17) мол ет быть модифипированно к виду где р41млмМ Член е[л] характеризует ошибку аппроьсимации па основе линейного предсказания в отличие от ошибки е[л]. которая характеризует ошибку зкслояелциальнай аппроксимации. Уравнение (Н,25) идентично уравнению для ошибки линейного предсказания вперед, если каждый член о[т] рассматривать как параметр лннеиного предсказания. Вместо уравнения ( Н.17) параметры а[ш) можно теперь выбирать как йарачетры, которые минимизируют сумму квадратов сшибок лпненного предсказания ЕЯ =р»,(е[л)(Е а не сумму квадратов ошибок экспаненциальной аппроксимации р, определземую вы. ражением ( Н.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
