Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Иными словами, эта просто ковариациониый метод линейного предсказания. Для решения каварнашганных нормальных уравнений линейного предсказания можно воспольаоваться программой СО(ГАК, приведенной в приложения 8 В. Число экспонент р (назмваемое также числам полюсов применительно к АР-методам) можно оценить, пспольз>з те же правила выбора порядка, которые были описаны в гл. 8. Можно также воспользоваться и анализом на основе разтожения по сингулярным числам (РСЧ), описанным ниже в равд 11.9. В любом случае максимальное значение порядка ограничено величиной р(йг)2. Корни полинама, сформированного из коэффициентов линейного предспазания, будут давать при использовании уравнений (11 19) и (Н.20) оценки коэффицневтов затухания и частоты каждой экспоненты.
Если значения параметров з»...„ зр были определены с помощью линейного предсказания по методу наименьших »валратов и факторизацией полинама, то экспоненциальная аппраксниацнп х[л], описываемая уравнеяием (11.23), становится линейной относительно оставшихся неизвестных параметров й», ..., Ар. Минимизируя сумму квадратов ошибок по каждому параметру й», получаем слепуюшее комплексное нормальное уравнение с матрицей размером РХР (подробности его вынода см, в равд, 3.4): где (дахр)-матрица 2, (рх!)-вектор ь и (йгх()-зектор отсче- [г",-' з»-' тт-') [й ) Эрчитова (РХр)-матрица 2п2 имеет форму [7 " 7»р] Пр»»ведем также одно полезное соотношение, которое позволя- ет устранить суммирование в выражении (11.29); оно имеет сле- дуюший внд: Лля решения уравнения (Н,26) относительно пеиавестных па.
раметров 5[й) можно затее использовать подпрограмму СН01.Е5КУ, приведенную в гл 3 Метод Прони будет также подгонять экспоненты к любому адлитианочу п»уму, присутствующему в данных, поскольку экс. паненпиальиая модель не позволяет получать раздельн»»ю оден. ку этого шумового процесса Экспоненциальная мозель, униты. ваюшаи присутствие аддитизиога шума, булез иметь форму Функция е[л) использовалась также лля представления ошиб ки аппроксимации этой экспоненциальпой модели. Если в ана лизе, выполненном в разд.
Н.4, вместо х[л] использовзт» х[л) — е[л), то линейное рззнастиое уравнение, которое опнсы зтт гщ ы 37а М ал проня х[и]= — А, о[т]г[л — т]-1-с[я] и попытка «отбеливания» а[л] Сравнивая уравнение (П,33) с уравнением (11.32), видим, что отбеленный процесс е[л) совершенно не соответствуе~ небеламу СС-процессу, представляемому выражеякем Х»ь-,а[т)а[я †], Именно по этой причине метод Прони часто не обеспечивает удовлетворительных результатов при значительном уровне аддитнвнога шума, по. скольку не позволяет учес~ь наличие небелога шума в анализируемом грацессе. Когда метод Прони используется прв валични сильного алднтивного шума, получаются очень неточные оценки коэффициентов затухания, значения которых часта намного превышают их истинные значения [16, 23, 24, !8]. Использование значений р, превышающих число действительно имеющихся полюсов, упрощает моделирование и позволяет учесть наличие шума; см.
равд. П 9. ( П,33) 11.8. Модифицированный метод наныеньшза нвадратав Прони Обычный метод яаиьшннопш квадратов Прони может быть ма. дифипирован для аппроксимации после ааательнастн комллексныг данных с помощью мопели, состоящей из незатухающих (а=-О) комплексных синусоид [8, 12!.
Ниже мы рассмотрим лишь случай четного числа камиле«оных экспонент. Модель, содержащая 2р компонент а аналогичная уравнению (П.!), будет иметь форму з» г[а]=~А»ехрП2я)»[л — ЦТ- )О»)=~й»гь-', (П.34) ащ »=г где 1жлщЛг, Л,=А»ехрПО,) и г,=схрП2яПТ). Заметкм, что г, имеют единичный молуль, т. е ]г»[=1. Если й» и г„появляются комплексно-сопряженными сарами и )эчьО или [»эь\)27.
то последовательность из отсчета действительнык даннмх мо- вает процесс, состоящий из суммы экспонент и аддитивиого белого шума, булет иметь вид х[л]= — ~а[аз]г[л — т]-1- А, а[л~]е[л — лг]. 111.32) »=! *=о Это — ЛРСС(р,р)-модель с одинаковыми АР- и СС.коэффициентами и возбужлающим шумовым процессом е[л] На нервам этапе метода Прони используются уравнение линейного предска. звана жег быть анлрокснмирована с помощью модели, состоящей из четного или нече~ного числа р действительных незатухающая синусоид; » г[л]= А,';2А»соя(йя)з[я — ЦТ-г8)= ~ (Лг" 18„'(гэ)" ), (П.35) где 1(лщЛЛ Полинам, сформированный с помощью корней либо ураваения (П.34), либо уравнения (П.35), равных гг, имеет форму Ф (г) = П(г — гь) ~ о[Я]г'» ', (П.36) где а[О) 1 (по определению), а остальные параметры а[й] будут в общем случае комнлекснымн, за исключением рассмот реиного выше случая действительных синусоид, которому соответствует рассмотренное выше ураваение (П.36), Б этом часы ном случае все параметры а[й] будут действительными.
Нетрудно показать, чта коэффициент о[2р] определнется выра- жением (П 38) ет вид а[р] г[я — р]-1- мл] (а[у — й] х[л — р)-й] Ро!р -';й] х[я — р — й]) =О (1! 40) лля 2ра1щящ12 Более удобную 4юрму уравненля (1140) можно получить, поделив его члены на значение центрального элемента а[р), в результате ~его получаем сопряженно симмет. [2Р]=П гы (11.37) кагорос следует из опрелеления а(г). Благодаря единичному мох) по н зеем г» ' †ю ', па»то 0 негр!лно показать, по [а[2р)) — 1 н что полинам а [2р] И» Ф* (г ) имеет те жс корни, чта в ползком Ф(г). Поскольку полинам а[2Р]гыф'(г)= А, а[2Р]о*[2Р— й]г'» ' (11.39) » о должен иметь такие жс корни, прихолим к выволу, что этн коэффициенты также должны облапать свойством комплексной сояряженяоши, т.
е. о[й)=о[2р)а'[2р.— й], где Ощй<йр Таким образом, очнородное линейное разносзное уравнение, для которого (!!.35) рассматривается в качсс ае его решения, нме- лтз М аПов опре- плекс- норв виде (ПА4) Я,рй,р 21~) гб,[р] [г,, [О, О] „. г„[О, йр] ) й,[!] 1 б,' [!] (11.48) [г, [2р, О] ... г,р[2р, 2р]] й', [р] ричное разиастное уравнение к[п — р]-1-,2] (й [й]х[о —.р !. Л], й'[й]х[л — р — д])=О, (11 4!) р=! гле й [й] =а[р — й)(а[р]. Сопряженная симметрия обусловлена свойством а[р) =а[2р)а*[р].
Лналагичнае симметричное разностиое уравнение длв случая действительных синусоид была получено Хнльдебрандам [4]. В модифицированном методе Прони на первом этапе *шипка линейного прелскззания, определяемая уранненнем (П.33), заменяется сопряженно симметричной ошибкой линейного сглаживания, использующей как предшествующие, так н последу. ющие значения отсчетов данных: ер [л] = к [л] -1- ~, (бр [й] л [и+ 4] -'; йр'[й] х[и — й]), (П А2) апрелеленной на. интервале р+1(п~гц — р (используются толыго имеющиеся данные), и минимизируется сумма квадратов ошибок сглаживании и-р рр — — ~] ] ер [и][', (П.43) а не сумма «вадратов ошибок линейного предсказаная, делаемая вырагкением ( П.21), Приравнивая нулю ком ные пРоиззодиые от Р-'„ по йр(Ц, , бр[Р], полУчаем мальнме уравнения, которые можно кратко записать матричных соатношемийг где центросимметричная матрица и р и сопряженно симметричный вектор-столбец йгр определяются выражениями Элементы матрицы йю определяются выражением г, [(, й] ~ (х'[и†!]а [л †] ж к [и — р — )] к*[а — р -~- Л]).
(П,4б) Внимательный читатель, конечно, заметит, что матрица Втр в (П.43) идентична матрице в прнвеленном в гл. 8 выражении (8.48), соответствующем модифицированному ковариациоинаму методу. Тазг же в г». 8 был описан быстрый алгоритм для решевия модифицированных ковариациоиных нормальных ураввеанй. Можно разработать быстрый алгоритм н для решеии» нормальных уравнений (П.44), для чего можно воспользоваться простым обобщением моли. фицироваиного ковариационного алгоритма (см. приложение П.Л). Результирующий быстрый алгаризм требуе~ для решения этого уравнения Вр-1-18р' вычислений Кроме того, при этом получаются решения наимепьшик квадрзтав для всех меньших порядков этого уравнения без каких.лаба лаполни~ельных вычислительных затрат.
В тои случае, когда числа синусоид не известно. эта свойство алгоритма обеспечивает средства лля проверки всех молелей, содержащих ат одаой до р си~усаид В прилаженни 11 Л привепеиа машинная программа УМСОМЛО для решения уравнения (11 44), в которой использован этот быстрый алгоритм. Хот» камплекснме корни с модулем, равным единице, обес. зечизают получение полннама с сопряженно симметричными аэффиппентами, обратное утверждение не всегда справедливо. Согряженно симметричный полинам лишь гарантирует, что ести г,— адин из ьорней, го обратная ему величина г,-' также аудет корнем.
Этот корень не обязательно имеет едкиичиый малуль, поскольку зто требование необходимо лишь тогда, когла лолжна генерироваться незатухающая синусоида На практике полинам порядка 2р, сформированный из веитора йзр парамег. ров линейного сглаживания е[р]г р .'.. 48[1]ы'+ -! гг ! й [1] гр г+ . -! 8[р]=О,'(и 47) редко облзлает обратными «арнямн с модулем, отличным от схинипы. Когда такие корни встречаются, та ани часто соответствуют частотам О и 1(2т герц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
