Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 61
Текст из файла (страница 61)
модифицированный метал Прони завершается тем же самым способом, который используется в немоднфицнрованном методе Прони для определения амплитуд н начальных фаз синусоид. ззо м.,а по Ч!.7. Спектр Прон» 26 Г 2 26 26 -26 [ -!]= О, пС О, ( П,48) -26 ОЛ 6666 62 О 62 66 Оз ээээ л .. О -2.2 -26.М-Ю.О- О 6 О 2 6 26 Рис. П 3. Эы ОО ц эл иие иод . и и свяээаэ щеатрааьныэ платно- 26 эээргки (СПЭ): Π— Олао тэроаияя моде; З вЂ” СПЭ оааос ораэиеа О- кел; 6 — а Гс ороэиэ опель; 2 — СПЭ юу торо ией кчаюк Х,(г) =5 (, 6 — ж), 2 (П.49) Альтернативной интерпретацией экспаненциальиой моаелн является двусторонняя функция вида хО[л] = ~ 522,", и ) 0; (11.51) Хй,(2!)-, псо, тле гэ=ехр(аэу-(-12п(ОТ) и (22") '=схр( — пьТ-(-12 (ОТ).
Это окрелеление обеспечивает симметрию затухающей части экспоненты относительно начала координат, как показано иа рнс. 11 3,6. Функция (11 5!) имеет слелующее 2 преобразовазие; Я, ()) = ( ТХ, (ехр [12п(Т]) )', (П 50) (1!.52) Процелура Прони обычна заверюаетса вычислеииеьг ацеиак параметров, опрелеляющик амплитуду, коэффициент загукаииа, частоту и фазу.
Однако обработку можне п»одолжить еще иа одни этап и вычислить «спектр Прони [13!. Множество возможных спектров может быть определена в зависимости от принятых допущений относительно вила колебаний вне интервала иаблюденая Спектр Прони определяе~ я в терминах экспоиенциалыюй аппроксимации х[л), а пе в тсрмпиах исходной временной последовательности х[л]. Одно из допущений состоит в том, что сумма экспааеат дискретного времени в уравнении (11.3) опрелеляется на ищервале — <и< как односторонняя функция слелующегс вида: см рис.
11,3,п Если сигнал х[л] действителен, то экспоненты бтдут появляться комплексно-сопряженными парами ехр(щ]'[йл)64-0„)), что обеспечит формирование одного косинусаилальиаго члегга соз(2л(64-06) а-преобразования от (П 48) которое сходная при (26)с [а). здесь также полагается, что )26(С 1, т. е, инымн словами, — все параметры затухания отрицательны, что дает затухающие экспанентм. Если это так,то подстановка вила а=вар(12п)Т) в выражение (11.49) буде~ давать дискретно-времеиабе преобразапание Фурье (ДВПФ) Летермииировапной последовательностк х [и] с конечной энергией. Поэтому спектральная алоткость энергии (ОПЭ) Прана дла рассмщриваемой односторонней экспоиенциальиай чодели будет опрелеаятьси выражением которое определено на интервале частот — 1(2Тс(С1)2Т.
Этот спектр удобен для описания крщковременных сигналов. Тнпич- изз форма этого спектра показана на рпс. 11 3, б. 2.2 2.6 „аа 6,6 6,6 з О'т а о.э - — О2 ,*-66 ' -О.О -О.О -го -2,2 ,2 О.О о,з 6.6 И ОО З 62 а 6,6 ,-62 й-ОЛ й — 66 «-ОО Х,(2)=,') й„(, ', '. )= — ! — !2;2)-' — -2.1-(22)ж)* * ) м ° и пз звз в[л]=х[л] — ~, йзг] ' з=~ то к ним применим стандартный периаограммный анализ, н спектр получаемой приэтом периодогршмы может комбиннроаэться с любым из двух рассмотренныхспектрав Прони.
(П.бб) ! т.д учет мэнестньщ экспаненцнапьны» иамюнамт Имеются приложения, э котарык некотоые экспоненциальные моды (либо полюсы, лпбо затуханя н частоты кампо!сит) могут быть известны заранее а резуьтате предэаритель- н схолится лля (лз(<(г(<(г,-'). Если акже полагается, что (гз(<1, а для выражения (11.52) испоьзуется подстановка вида г=ехр (12я)Т), то ДВПФ этой двустоонней функции будет иметь внд Х, (7) = ТХ, (ехр [)2я)Т]) = Т(ехр( „т! — и ! —,70 еэ бтт Пз — П т! 1 — (ехр! зт! 1- *р! — зтбез(гз ! з — )т)~- — тмапют) н результирующая СПЭ Прони — вид о-(/)=) г,())(5 (П 54) В общем случае спектр бгт()) имеет боле острые пики, чем спектр 5 (П; см рис.
11.З,г Автор аглае предпочтение именна этоыу второму определению, поскольку иватухающая синусоила (а =-О) апреле.тяегся в ием на бесконнном временнбм интервале. СПЭ Прони ут(П имее~ в этан случае бесконечное значение на частоте синусоиды и везет себ подобно лискретной импульсной фунхции. Любое «з двух приведенных определенй спектра Прони пригодно для охображения спектров каиузкополасных, так н широкополосных сигналов. Шириаа никог спектра зависит от величины козффгшиента затукания, чта имюстрирует рис.
11.3. Колоколообразные ошлнки имеют пнковю значения СПЭ величиной (2Ль(аП ' и паласы (по уровню 5 дБ) величиной а(л герц, поэтому разрешение меняется ак функция за~ухания. Когда а велйко, получается спектр с ширкими пиками, когда лге мало, получаются спектры с узкимн пнями. Еще одни возможный спектр Прони учтыаает всю иифор. мацию, содержащуюся и полной последоптельности отсчетов данных. Если вычисляютсв остаточные ооибии зкспоненциаль. най аппроксимация но провеленныл измерений или же потому, что известны физические нли электрические свойства источника, генерирующего анализируеммй сигнал Однако соответствующие амплитудные и фэзовые компоненты этих зксионенциальных мод могут быть ие известны.
В этом случае первмй этап метода Прони можно модифицировать, с тем чтобы учесть эти известные полюсы [2!]. Пусть, например, у экспоненциальных компонент гь..., г, известны. Характеристический полинам, связанный с этими а известными компонентами, имеет нид П(г — гз) кд,'с[д]гз, а «-э (1156) (1!.50) т-г д а[т]у[п — т]=0, =с гле р4.1<л<ур, а новая последовательность у[л) определяется выражением у[л]= ~, с[д]х[л — 5]. «-о Выражение (11 б)) определяет операцию свертки, посредствам котараб осуществляется фильтрация исхОдной зременной послеловательности х(л) с целью получения новой последовательности у[и].
Метал Прона при наличии нескольких известных компонент прололжается следующим абрагом. Ва-первмх, исхолная после- (! 1.81) гле с(у) = !. Тогда характеристический полинам для асеч р «омпонент, определяемый выражением (11.14), можно разложить иа множители и записать в следующем виде. ~ а[т]г =~'~с[А]гз')1[ ~а[1]г'1, (11.57) э та=о что тле а[р — у) !.
Приравнивая члены с одинаковыми степеаями компонент г, получаем []=Х [д]-[ — ], (П.58) э=э тле а(1]=0 для !)р — уф! н г<0. Подставляя выражение (11.58) дл» о[т] и выражение (11)б), получаем Х а[т]г[п — т]= ~, [ ~ с[д]а[т — й] )х[л — т]=0, (1!.59) =! у гле р+1<п<2р. Уравнение (11.59) можно преобразовать к зилу м ° и пр, звз А(г) 2, 'а[я]га- -з (П.64) ~] а[с']г' (П.62) д Ь[ю]х[л — р 1 т] О, (П 66) (! 1.66) ~, 'а[т]г[л — гп]=0, е (П.БЗ) лавательность отсчетов ланных фильтруется [уравнение (11.61)] с помощью фильтра с коэффициентами, определяемыми этими взвестными полюсачв [уравнение (П,68)]. Затем фильтрованные отсчеты данных обрабатываются как обычно с помощью ковариаиионного алтари~ма линейного предсказания на основе наименьших квадратов, с тем чтобы получить оценки параметров а[щ).
Карин иалинома пониженного порядка дают оценки неизвестных полюсов. Эти р — Р полюсов п 4 нзвестных полюсов далее объединяются для выполнения операции минимизация по метолу наиьгеньших квадратов, а результате которой будут опрелелены амплитуды и фазы всех р кампо. не нт. 11.4. Идентнфнкпци» зкспонент в шуме Выше было показана, что метод наименьших квадратов Прони требую решения коварггаиг~онных нормальных уравнений линей.
наго предсказания, идентичных уравнениям, с которыми мы по. знакомились и гл. 8 при описании А!з.меюдов спектралыюго анализа. Эта общность с паза вяыми метод мн позволила использовать критерии выбора порядка Ар-модели, обсуждавшиеся в рззд. 8.10, для определения числа экспонент, требуеммх лля аппроксимации анализируемых данных. В тех случаях, когда уровень шума низок, зги критерии нередка обеспечи. вают получение удовлетворительных результатов.
Однако при высоких уровнях шума оиенки частоты п затухаин» коипонеаты обычно аказываютси неточными и смещенными из-за воздействия шума Разделить корни характернстичесхага полинама Прони на карин, соответствующие слабым зкспонентам, я корни, соответствующие шуму, часто весьма затруднительно. Для упрощении идентификапии экснаненциальных спгиалав, действительно присутствующих в дзнных, и улучшения точности оиенок затухания и частоты можно применить три метода.
Эти методы включают использование нулей полинома линейного предсказании вперед и назад, больших порядков предсказания и разложения по сиигуларным числам (РСЧ). В равд. П.4 было показано, что прн отсутствии аддитивнога шума р экспонент определяются посредствам решения уравне. ния линейного предсказания впереп где а[0) =.
1, а «арактернстаческий полинам имеет каРни в га ехР(зг) "ле 1(й(Р а зк — (аь.Р(йи[ь)Т ха рактерпзует коэффндиент за~ухания и частоту щй экспоненты Те же р экспонент можно получить в абра~ценном времен», решая уравнения линейного предсказания навал: где Ь[0] =1 Хараггтарггстический полинам сфор ~ированный па камплеьсва-сопряженных казффиваентов линейного предсказания назад, имеет корни в га=ехр( — ш') = ехр([ — акфгйп[ь]7), тле 1(й(р. (Доказательство этого свойства а качестве самостоятельного задания вынесено в разл.
Залачим) Для затухающей экспоненты (коэффициент затухания ак(0) зги корни характеристического полинома линейного прелсказаиия вперед А(г) нападают елргрь единичной окружности г-плоскости, тогда кан корни характеристического нолииома В(г) линейного предсказания назад будут находиться гнаружк атой единичной окружности нз.за наличия каэффи. ииента затухания ехр( †а), что соответствует возрастающей зкспаяенте Этн свойства расположения корней поликанов А(г) и В(г) обусловлены гвойствами детерминированных зкспаненииальг~ых функций.
Рессмотрич процесс, состоящий из двух комплексных э спонент и конплекснога аддитивного белого гауссовского шума х [и] =- д, ехр(з л) ф Л, екр (з л) + ы [л], (1! 67) тле з. - 0,1 +12Я 0,62, з, =. — 0,2.!.(2л 0,42, А, = А, = 1, а диспеР- син шума равна р Прн отсутствии геума характеристические починаем второго паридка А(г) н В(г) длн этих двух гасло. иенс будут иметь корни, расположенные в точках, показанных на рис. П .4, а и П 4, б. В соответствии с урависнмеч (П 67) были сгенерврованы 50 записей данных по 26 отсчетов в каж. лой с индексами от и†.-0 до л=-24 с нсполшованяем различных последовательное~ей м[л[ при отношении сигнал(шум, раннап 101 ( 016(Пр) =20 лб.
Каждая запвсь была обработана с помощью ковариациокиого алгоритма линейною предсказания по методу За — 1ЗЕЕ м ° я ппю звт ь Р 114 Раснозо нугеа зог зама А(*1, уымею фка ру а». а о аредсюз перед в асз н ы В( ), ю уыжсга Рэз тру г . азота нр вк аю х, дак 50 и з в * р з,тюапиа ааввык, садр. намаз па 25 ч ов «аыдэг. Дг уд 5 и юзека юру» аа ть ед аа ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
