Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 62
Текст из файла (страница 62)
радаусг в г.эзюкюта Кре кы аювнв е по.а ен а а уг эюпап ннэ а пнг па.ю Д А(г) э с спа ам с а тст уы э*У(4,) ехР(зг) в У Ркед на вю РУ . д В(г): юР( — зг) в Р( — з,) аэу. еаавнча крег . а А(г), г 2. ыу юсюстзую! 5 — В(г), г 2, ыуы ю утстзу т: г — А(г), р-2, р у с у ыу, г — В( ). р-2, пг. вую чы~ г А(*), г 5, пр у уэ ыуы, — В(г), г=з, га» ут ю Й ыу — А(г), а-а, раэгамею о скюуз рны в. ы (РСЧ) с г г гю ° »а саМУ ыми вектор,»: з — В(б, а=в. РСЧ з т г: . ов юнн ю ект р наименьших квадратов (подпрограмма СО)ГАВ) прн значенпн порядка р=2, н карпи (нулн) полнномав А(г) н В(я) били на.
несены на график. Коэффицненты лннейного прелсказанвя назад получалась одновременно с каэффнцнентами яинейного прелсказання вперед с помощью быстрого алгоритма, приведенного в приложения 8.В. Иными словами, для определения коэффвцнентав линейногО предсказания назад ннкзккх дополни. тельныч вычксленнй не требуетс» На рнс. 11.4, а н 11.4,г наказаны соответственно положении нулей характеристнческнх по. лаяоыав лннейного предсказания вперед н нааад лля всек 50 запнсей.
Для сраввення показаны также истинные положеаня нулей для лвух экспонент. Агднтквный шум привалит к смешенпю оценок нулей, а это означает смещение оценок членов, хграктеризующнх затухание п частоты. Смешение оказывается более сильным лля экспоненты с ббльшнм каэффнцнентом затухання. Ст~ещснне оценок можно существенна уменьшить, вь.бнрая порядок фильтра линейного предсказания намного больше чис. ла эвспонент, действительна присутствующих в анализируемом спгназе, это олна нз эчпиркческнч наблюдений.
~вето увамннаеыое в литературе (см., например, работы (11, 23() Рисунка 11.4,д я 1! 4,е иллюстрируют расположение нулей в тоы случае, ьогдз арпменялся коварнацконный алгоритм порядка р=8. Нуле, связанные с ястнннымп экспоненгамя, присутствующнма в сигнале, ~еперь грудпнруются ближе к правнльным положе. ниям, но даполн~гтельные нули, обусловленные наличием шума, разбросааы очень широка Однано выбор фильтра лнвейного презсказавкк более высокого парялка приводят к появлению дополнительных нулей, затрудаяя тем самым огделенне нулей, соответствующих действ .*тельно ачеющнмся эчспоненцнальяым свгяалам, ат нулей, обусловленных наличием шума. па крайней меРе в гом случае, когда зналнзвруются только корни палннома А(г).
Эта разделснне очевидно в случае расположения нулей полннама В(г) на рн« 11 4,е только благодаря эффекту группы. равання результатов лля 50 независимых наборов данных. Раз. пеленке нултей для одного полянома не столь уж о«евндно. Аналяз нулей сразу абаях полыномов, А(г) н В(г), лает на» средство для разлнченыя нстннных нулей сигнала и нулей шу. ма. Стгтвстнкя стационарного случайного процесса не изменяются пра абращенни этого процесса во времени Следовательно, н 144'ли полннома А(г), и нуля оолиномп В(г), соответствующие шуму, будут преимущественно оставзться внутр» едннцчнщ ок панай окружности, а чеч свндетельсшует совокуонасть тесто. вых результатов, приведенных на рис. 11.4, д н 11 4, е. Такич обРазом, пРн анализе расположензя нулей полнноыав А(г) н В(г) истинные аула эяспапенцяальных сягналоз булут лаяв. 25 м.дпр» литься ва взаимно обратных тачках, расположенных вдоль не.
Дальнейшему улучшению резул~татов мажет спасо основать примененпе метила разложения по сангул р О б . ~ггейнага предсказания вперся н навал, ввелевные в нолразд 6.5.1, можао записать в следующей крат р»,= — хр., е„ где теплиаевы матрицы панных Хг,, Х', и векторы данных хгр, х'р определяются выражениями [р] ... [1] (к[р+ 1]1 Х]=) ., кг,=( (к[01]+к[ЕЛ]1[к[5](1160) (х[рз!] С, х[2] 1 ! х[1] Х'= ~, х,'=. ! х[йг] ... х[М вЂ” р.51]] (к[дг — р] ) а нектар ьозфф ор коэффициентов линейного предсиазания вперед а'м вектор оши оь шибоь линейного предсказания вперед е „, вектор каэф.
ибок фицнентан линейного предсказания иазап а р и вектор аши ок линейного предсяазания начал е'р — выражениями (ар[1]] )ег[р -!] '=-! ~ '=! 1аг[р]1 (аг[Л] (аз[р]] !'еь[р-1-1] а'= ~ ~, е, '! . (П.70) (а'[1]1 1 ез[Л'] ) Используя соотношение (3,96), матрицы данных можно представать в виде следующих разложений по сингулярным числамг Хг = ~3 ага!(эг)н Хь= ~ а]н'„(чзбн, (11 7!) Хг, гле о,.— пал — ожнтельные сингулярные числа матрицы а',— положительные сингулярные числа матрицы р, а э„— собственные векторы соответствующих ма~риц данных. Если сигнал состою из смси ш экспонент и аддитивного шума, тогда и собственных векорав, ассоцииронанных с ш наибольшими сингулярными шслми, булут главным образам окна ыпать эти экспоненциальию компоненты Остальные р — лг сабе венных векторов, ассоцироаанных с оставшимися меньшими сингулярными числами, бдут окватывать шумовые комгоненты. Более подробна эта прцедура аписагга в гл.
13 Если пред. потажить, что сингулярн~е числа упорялочены по убыванию величины, т. е. ат~)агар...)атр, тогда можно получить по. ниженный ранг алараксшацип лля иаяглой матрицы данных посредством усечения сапношений для РСЧ в (117!) ло м главных сингулярных чисаг Хгр †- 2' агпгчг!", Х' = ~ а'п'„(тз)". (11 72) Эта про~гапура будет умеппшть вклад шума в матрицу данных, эффективно увеличивая тм самым отношение сигнал)шум [5, П, 221. Минимизируя норы йа'р!)з и )а"р!1, относительно матриц данных пониженного танга, получаем следующие решения: «р=- — (Хг'хг, ар= — (Хр)" кьр, (П,73) в которых псевдаабратны матрицы данных определяются выраженияни (ХГ) г =.
~, '(аг)-'ар(п)н (ХР) 2; (аь) 'ээ(нь)н (!1 74) Значение порядка р долтма лежать в нвтервале тщрщЛà — ш для тога, чгобы ранг матгщ Хгр и Хьр был больше пли равен т, г .е. более прсдпалагамого чясла экспонент. Если наела экспонент не извесыю, то:га можно оценить, сравнивая относительные величины сингулрных чисел.
Сингулярные числа, связанные с сигналом, как мазила, должны быть больше сингулярных чисел, связанныхс шумом. После вычисления коэффициентов линейного предснзания вперед и назад, определяемых выражениями (11.73), с амощью выражений (П.64) н (1166) вычисляются корни хэрапернстическик полиномов, которые и дают оценки экспонент. БктоРьг данных хгр и хьр пРн анализе эффектов, обусловленных шумом, не рассматриваются, лаже если они и зашумлены Етя ослабления влияния шуыа как на матрицм, так и иа вектоы ланных можно применить полный ме~од нвнменьших квалраоа, что позволяет получить нескотщко лучшие результаты, че: описанные выше [20].
На рис. П.4, ж и 114э нрнведсвы результаты, полученные по тем же 50 реализацияг данных при использовании подхода на основе РСЧ с аппроксмацней пониженного парилка. В оба. Га 1! м дпр Пругие приложения метола Прони, которые могут представлять интерес для читателя, вкдючают оценнвание направления прихода (пеленга) сигнала [1) и оцределеиие резонанс. нык пиков в диаграммах эффективной площади рассеяния (ЭПР) радиолокационных целей [2).
*-ЭО 5 ОО ОО -ю' О э О О О.а \.О ПО ОЗ П Пэ О,э !.О э обобшеппиа исто!пропп; б — иэдпфап рюаэпнз иэ оз пр 1 э у* щ е сппусоэды), их случаях иоользавались значения Я=В и т=2. Дополнительные нули еперь пчеют чнагщтельно ксчьший разброс и образуют регулрно расположенные группы внутри единичной акр)жности, чв характерно для аппроксимации белого шума с помощь:о экспиенциальной модели. В та же время нули, сост.
ветствующне пре действительно присутствующих затухающик эиспонеат, расаложены иа этих рисунках по-резкому. Огне. сительно скремее резулызты примеиевиа РСЧ пониженного ранга з случаебыстра затухающих экспонент и в !.!)чае малых отношений сяг!ал)о!ум, В обоих тих сл чаях гангу..ярные ю слв сигнала срвнимы по величине с сингулярными числами шума, что затрдняет иэ строгое разделение по относительным величвнам.
11.10. Прмложмпе н числам солиечиьш питии Па рис. 11 5 оказаны оценки СПЭ фильтрованной последовательности чгоп солнечных пятен, полученные с помощью мс. годе Прони Р!Оьльзавглась малель, сопержащая 36 кочплекс. ных экспонент (р 36), что соответствует 18 действитеяьным синусоидам в лучае модифннированного метода Прони. Прв исчодьзовании обычного алгоритма наименьших квадратов Прони для пион, соответствуюшик четырем нзинпзшим часто. тач, были поучены периодм, равные 22,71, 10,78, 7,92 и 5,19 лет на цал, причем для компоненты с периодом !0,78 лет на цикл отноэгтсльная амплитуда и коэффициент затухания оненивались пличинами, раиными соатветствсаио 58,78 и — 0,0057. В сячае модифицированного алгоритма Прони этим компонентам соответствовал» периоды 24,84, 10,96, 8,60 и 5,96 лет на цпл, а относительная амплитуда второй нз них козорая была гаибалее сильной) оценивалась величиной, рав.
иай 37,69. Литература (1) Л га и Р С юр ! 1РРТ зрю уА!яы]й з!ыВеа! «Еэпюа. П) Саш 2 С Вг„мойэц О. Ь.' Нэгпгэг и О эпс. ! ЯШ т. кэы,ы Рго уи М йоа апа Татя 1 Отюпююагюп ]ЕБЕ Т . А р Е! 1 и. 5у 1, 1, АЕ5-!2, рр 5ВЗ вЂ” 539, зср!мпэег 1976. 13) 69 э Л. О, Ригм Я Орн О) ЬООО1-зова еэ Тгю .О юагп 5упй гм О! Яе Ыэ О(Ю!а! Р и гз. !ЕЕЕ Т э Аабю Егю!таас*па!, чог 30-21. Н1 ггйлгэ зл Р В. ! 1 аюцап й нпю пса! Ап гупэ. мспюп-н!и Воок 13] я пг к., л пя я'г О~г. !Мюя й» и ье.
ы тмю й Рю ух!3О. г.йю Вкр и пьэг Ггг М й 61 Ос, ! 36, рр. 319 — 332, 1977 (6] я ю шгх л 5. Оп Рг пу'эмй б гй1гпк ехр юп1аи О ус з э,б М В]Р]О.Н1! 5 гм а! Спг з. Оак Шбя Нап па!]ль 1 гу Я Р г! ОЯИОЭИ, ОШ В бяэ, теп, ГОЬгэаг! Вбс )7] Г а э Ы Л, 7 ОО 1 Р. Агя ажю 419 2 г О !а Союр)ия РО1юоюа!. СО.
АСМ, чо) 1б, рр 97 — 99, Рейса у 19Т2 13] КО 0 Л К Т М. МО1Ьеюаиса! НапОЬож гог 5 !епгмм апб Е и1- М О .Н И Воаь Соп ршу. Н Уой, 1961. р. 666 (Нкю а рус. 191 кэгРЯ мА ОРОВ 5 Рвзр Об 1 Ое иьроти!Огьеб. 1ЕЕЕ Тгэпэ Е!ый ю яп С ОЮМ, !. ЕМС.зэг рр Ш-П, М у !931! (го] к э я О гь 2 Оэ 1 же ьпеаг Рыб!О!! О.емщ Р пег ' О гм»пис 5'я" 1О 1ЕЕЕ Тгапэ Асс э! 5рпеь 3 япа! Рюсэз, Ы Абчрзг, рр 217 — 229.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
