Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ь вектор ср; * является аналогом зекгорисозффияиеитаз Всилгиил фильтра Кармана. Заметим также, что |э-за неабходн- мости обновления матрен в соответствии с выра кеннянн (929) и (930) количество вычислительных операций, требуемых эгяч РНК.алгоритмом иа одно обнов,тенне во времени, пропорциональао величине рй что резко контрастирует с НСК.ютгоригмои, вычислительные затраты которого пропорциональны величине П Для того чтобы начать рекурсию, неабходнно задать началг,- ные значения вектора АР-парамегров ас и матрицы коэффиню ентов усиления Рь К выбору а, следует огноснться весьма тшзтельно, с тем чтобы устранвть оттен!ение и оценке вектора АР- параьтетров аэ, которая булет получена после обработки У отсчетов данных. Прнравннвэв матрицу йк, некоторой диагональной матрице а1, где е — небольшая положительная ьон. станга, мы гарантируем, что она будет абраюттга, так что Р,-- - 1ге).
Влияние * с ростам Л' постепенно ослабевает. РНК.з.тгоритм чувсгшпелен к ухудшению численной обусловленности, вызванному птумоьт округления, который накзпливаетсн в процессе рекурсивных вычислений. Для часцшного вазмешения связанной с этим численной неустойчивости бы.гн предложены алгоритмы фшторизации методом квадратного карня, основан ные на треугольном раздоженпн симметричной матрицы Рэ [1[. 9.4.2. Быстрьгй рекурсивный апгормтм наименьших иввдратов Классический РНК-алгоритм предназначен для решения обычных линейных задач минимизации по методу наименьших кват. ратов. Однако структура уравнения (9.16) обладает дополнительными свойствашг, которые маигно использовать для построения более аффективного алгоритма.
все егие ггазволяюше~а получать точное решение по методу наименьших квадратов. Эти свайствз аналогичны использованным в гл. 8 при выводе быстрого блочного алгоритма Быстрые блочные алгоритмы быгп рекурсивными по порядку, но фиксированными по времени (поскольку испояьзовался блок данных из У отсчетов). Применяя аналогдчнмй подхал, чажна создать быстрый РНК.алгаритч, но в отличие от быстрых блочных алгоритмов аи будет рекурсивным по времени и фиксированным по порядку. Подробности нывода быстрого РНК.алгоритма и маюнвная программа его реал мамии приведены в прпдожеиии 9.В Клгочевой в быстром алгоратме является процедура абновленил для вектора коэффициентов усиления с, ьн в уравнении (9.26), в которой используются только операции иад векторэми, а не над матрицами, как, например, в уравнениях (929) и (930).
Вычислительные ззтраты, требуемые полным РНК-алсоритмоч, уменьшаются с рт до точно 5р операций (умноженгтй~сложений), что в2,5 раза боль. шг вычислительных затрат для НСК-алгоритма, который требует 2р операций. В вычислительном отношении зто делает дан- ный быстрый РНК-а.ггоритм сравниммм с НСК.алгоритмом Заметим также, что бытует тенденци» называть быстрый РНК. алгоритм «быстрым алгоритмом Калмана», но это не совсем праипльно из-за несдучайнаго характера детерминированного решения ао не~оду наименьших квадрзтов. Быстрый РНК-аягоритм обладает двумя дополнигельнымв достоинствами, которые отсутствуют у классического РНК-алоргпма При выполнении бмстрога РНК-алгоритма вычисляются в обновляются также и ноэффициенты линейного предсказаниа назад и',н[й), котоРые мннимиэиР)ют сУммУ кзадРатов опшбок линейного прелскааання назад рэ .
= Х ым " ( еь ч [н) (Б =т где е, 'л[п]=х(л — Р)-'Ха .. [й)х[л д й) вычисляется и самз сумма рьг ч Это может оказаться полезным для методов определения энспоненциальных сигналов, таких, например, которые описаны в раза Н 9. Для того чтобы матрица й „ стала несннгуляриой, требуется ьак минимум р ! ! отсгегов данных (ранг этой матрицы равен рж !). В классическом РНК алгооитмс эта трудность инициализации устраняется посреаством выбора произвольных начальных значений Р. н а,, что приводят ь некоторому смешению нолучэечык оценок.
Быстрый РНК-алгоритм, описанвый в приложение 9.В, снабжен программой одновременного обновления по чорялку и ио времени, которая предназначена для пннцпализа. нии этого алгоргтма. Данвая программа обрабатывает первые р. 1 отсчетов такам обрааом, что в моьтент времени обновления Ш=РЧ-! всем параметрам ус~вываливаются вк точные значения, вычисленные па нето!у наименьшвх квадрагав по этиьг первым Р+ 1 отсчетам данных.
В результате смешение, обусловленное ивициализацнег' в классическом РНК-алгоритме, в быстром РНК.алгоритме устраняется Быстрый РНК-алгоритм обладает по всей видимости плохий долговременной численной устойчявостью, но ан асс же достл. точно точен при использовании ззпнсев данных короткой и средней ллины. Отмечалось [3), что при продолжительной работе РНК-алгоритма в здаптнвнои ре» имс его характеристики расходятсз Эта обусловлено накоплением ошибок при вычислениях с ионечной точностью, особенно в том случае, ко~да катрина Кн почти сингулярна, что мо,кет иметь место при анализе узкополосяых сигналов для устранения сингулярности этой мзт- ззз рицы н входному сигналу можно, например, добавить слабый 'елый с ум.
Линь [1Ц прибег к «спасительному» решению, осва нш у на павторвой инициализации вектора коэффициентов «е»л иия Для увеличении динамического диапазона вычяслнтельнык яашин с ограниченной точностью н улучшения харакернстик можно исполщоввть быстрый РНК-алгоритм нормированного корня квадратно~о [4] Однако эти нормированные алгоритмы по с«ществу удваивают вычислительную сложность, г оскольку уменьшение одное требуемой точности оборачивается необходимостью хранения н вычисления параметров этих алго. ритмов. Использование м ц1 приводит, по-видимому, к появлению в алгоритьге значительного собственного шума [!3] РНК. алгоритм сходится экспоненцнально и равномерно иечависичо от разброса собственных зна ~ений автокорреляпионной матрин . сигнала; его сходнмость зависит лишь от весового ьшо кителя ы после изменений на входе (начальная сходимасть от ы не заеншзт).
9.4.3. Сравнение характер егин РНК- и НСК-влгориг ов График, характервзующий типичные характериствки сходичосги РНК- и НСК-алгоритмов, представлен иа рис. 93 К установившему я [стационарному) состоянию РНК-алгоритм обычно схо. днтся быстрее, но никогла не медленнес, чем НСК-алгоритм При наличии снлыюго шума, т. е. в там случзе, когда разбро собственных знзченвй аатокорреляннонной матрицы невелик РПК- и НСК-алгорптьгы имеют сравнимые скорости сходимостн Собственный шум, генерируемый при градиентной оценке мети дои НСК-алгоритма, проявляется н .иде некоторого смещен.щ д~сперсин выхода фильтре и некоторой расстройкн параметраг фильтра предсказания Уровень сьгеще~гия п расстройку можгк снизить.
уменыдая значение постогзнной времени адаптацив р однако эта приводит к увеличению времени сходимости НСК. алгоритма, а чем свидетельствтет рве 9 3 В сл«чзе НСК-алто ритма скоросп* сходимостн и шум па-за расстройки параметре. фильтра предсказания вззимос.жшиы, поэтому ни одну из этвх характеристик вел~за улучшитг, не оказав ухудшзющего воз действия аа другую Если НСК- и РНК-алгоритмы реализуются апварзтными средствзми для выполнения спектрального оненивания в реаль.
нем времени, то на хзрзктернствки агах двух адзптивиых алгорнтьюэ будут влиять ошибки квантования и ошибки окр«тления нз-за мздой длины машинного слова и использования ариф ю. гических операций с фиксированной занятой [10] Ошибки акруы пения могут накапливаться и расти с течениеьг вречсин до тех пор, пока не будет нарушенз яормальная работа алгоритма. вен-та щ ю сх -с в -за нт га .юрвтма РМНК)СКΠ— ред к хрз зчизяэввб ь) В случае РНК.алгоритма можно, выбирая ы<1, ограничить неличину накопленной ошибки округлен ия н сохранить устойчк.
вость фильтра, хагя зто и приведет к ухудшеаню точвасти вычисляеыых значений параметров цредскззання В одном из экспериментов было показано [13], что для нормальной работы РНК.алгоритма для предсгввлеаия чисел необходимо использовать не менее 19 двовчныл разрядаз. тогда как для норчальнай рабаты НСК-алгоритма достзточно 7 двоичных разрядов.
Оба агпарнтмз ииеьгг сравнимые характеристики, если для этой цели используется нс менее 13 деоичньы разрядов. Ф.й. быстрые авгорегреееионные методы на основе решетчатых фильтров В гл. 7 было показано, что люоой АР]р)-процесс допускает эквявалентное представление либо с помощью параметров предсказания. либо с помощью ьазффиниентов отраженви. Вели используютсн параметры предсказания, то этот авторегрессионный процесс можно сформвравзть, пропуская белый шум терез трансверсальный )т е реализованный на линии задержки с ог. валами) фильтр; параметрами предсказания в этом случае явлеются весовые ьоэффицненты этого фильтра Если же используются коеффгигиентьг отражения, то эквивалентный звторегрес.
сионный пр цесс ьожно сформировать, пропуская белый шуч через решет~атый фильтр, коэффициентами отраженна в этом случае бупут весовые коэффициенты этого решетчатого фильтра. Быстрый РНК-алгоритм чожет б~ ть переформировзн в математически эквивалентный быстрин решетчатый алгоритм Такай алгоритм также дает точное решение по метолу нвныеныпих квадратов, как н трзнсверсальный фильтр, но иыраженяое, естественно, через коэффициенты отраигения, а не через [АР) зэг параметры лнаейиого предсказания Быстрый решетчатый алгоритл! требует выполнения вдвое большего количества вычислительных операций, чем быстрый РНК-алгорити Те чгюателн, которые хотели бы подробнее озиакош тася с быстрымн решетчатыми алгоритмаьгн, основанными на методе наименьших квадратов, могут обратиться к ста~ьям [5, 7, 18[ или к книге [9) Параметры предсказания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
