Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 49
Текст из файла (страница 49)
аарапиаиных нормальных урнвений был разработан и опублннаан е 1980 г. Марплом [В] В варианте, который описан ннж. уятены также паследукпие аыиислигельные упрошеиия нспдно!о алгоритма. В слуяа! Кодифииироеаняаго коеариапиоиого метода спектрального тпеняааная ошибки линейного просиазания «перед н назад .го порядка можно представить в фрме внутреннего (илн скалрно!о) произведения векторов глгнеьтаР данных хр[л] и ветоР коэффнииентан линевнога нрпсказоняя а'* определяютс! выражениями к[л] [ ) ар [1] х [0]=, а'„'=- зос (8.Г.о) [ гг[0, р] г = г [р †.1, Р]] (вг !Н Э.!- де й агэ = (гйр ) (8.Г.8) а Я вЂ” (Р+1) Х (Р+1)-матрнца отраженна На основе отсчетов измеренных комплекснык данных х[!],..., «[Л'] модпфнциро.
ванный коварнацнонный метод позволяет мнннмизяровать среднее значение сумм квадратов ошибок лквейного предсказапнп вперед н назад р,"= — ~ 2 [[г][л]]'4-]ггэ[гг]]']~, — р+~ что приводит к следующим нормальным уравнениям: ц а~а (2Р,'э) где 0„ †(РХ 1)-нуль. вектор. Эквкаалентноег!яаднчесное векторное нредставлеане матрицы й,'й которое соответствует матрице в уравненнях (8.47), имеет вид йр —— ~ [ха [я] х,"[л] -1- Ях [л)х," [л] Я].
(8.Г.8) Заметим. что матрнца й„персямметрнчна, поскольку Я йз'Я = Я., а также эрмитова, поскольну йз".— -й„, Эгн свойства являются следствием дояущенкя о том, что а, — эта вектор линейно~а предскааанн» вперед, а комплексно-сопряженный инвертированный вектор Яаг — это вектор коэффнцнентов лпнейного пред. сказания назад (в этом состоят отлична от новарнзпнанного метода). еслн член сгг[РР 1] ошибки лнненнога предсказания вперед к член е,э[А'] ашнбкп лннейкога прелсказання назад не используются, то мяннмнзировзться должна следующая средняя сумма квадратов ошнбакг Ргь=-з.~ Э ((с['[гг]]'Р[гэз [гг — !]!')~ (8.Г.7) В этом случае коэффициенты линейного предсказанпя удовлетворяют нормальным урааненаям где штрих означает, что этн уравнеаия соответствуют решенню для случая опущенных членов ошкбкн.
Матрица й,' в данном ч Лз аическое Рш а лезас ащ а х оеср тОРо (с , щорпкср. !21 р.— Пращ ргд оучае определяется выражением й = ~ (х'[п]хг[л]фдхр[л — !]ха [п — 1]Я) (8.Г9) =г з 8.2, Спец аль р зло я и вспомогательны пар ры 'чя разрабогкн быстрого а,тгорятма важнымн явлаются слетюшие раэложення (Рф!) Х (р ь1)-матрацы Кг по нндексу прядка р: пе р-вектор. столбец г, определяется выражением гЯ вЂ” (РХР)-катрина отраженпя. Заметим также, что гг [О, О] = г,'[р, р] = 2; (! х [л] !' ' ! х[л — Р] !') Эо выражение весьма сходна с разложением (3.124) теплнце.
эй матрицы, которое было дано в гл. 3 Важнымя тзкже являэтся следующее разложение матрицы й, йг — — йгфк'[Р , '1]хэг[Р-' !]4-!яр[74]хн[й]Я (8Г !2) ~ его пептроснмметрнчный вариант й =Яй"Я вЂ” 'Яхр[р-(-1]х,"[Р-1-1]Яфх [Ч]хг[йГ]. (8Г.13) Я)ля разработка быстрого алгоритма потребуется также пара 1).вектор-столбцов с, н бг.
Они определяются из уравнений йрс =Яхр[М], (8 Г 14) К',д', =х„'[,- !], (В.Г33) с„=, бе=- . (8 Г 1б) зоэ Поскольку Й, — эрынтова персимметричная матрица, то нетруд- но показать, чта )Й;дм'=. Й )ам Р ) го (В.Г. И) (8.Г.18) (6.1.19) в д,' для Йр) ср = хр [У], Йр)др= »г,[Р-)- !] Авалогнчным обраэакг определяются и векторы с„' матрш!ы Йр' (В Г.20) (8.Г.21) (3 Й 3 ) с .—. 3 хр [йг] ! (3 Й "3) др .= к' [Р + !] где просто используются инвертированный вектор 3хр н комп- лексно-сопряженный вектор хрц 8.Г.З.
Рекурсии обновления порядка Процедура, используемая для обновления порядка вектора ко- эффициентов линейного предсказания, по своей структуре весь- ма сходна с рекурсией Левинсона и выполняется в соответствии с выражением ( о )ф" [Р][уа!р",)' (8.Г.22) где ° [Р] = — А,)ргз' (8.Г.23) Ар —.
тиара'а Для проверки правильности рекурсии (8 Г 22) умнажим обе ~зс. ти этого равенства слева на матрицу Й, подставим разложеиве соотаетствуюшего порядка, определенное в (8.Г.)0), и воспаль. зуекэся также свойством (8.Г.!7). В результате получим след)тошев рекурсивное соотношение дла квадрата ошибка лииейнога предсказания. Р] = Ррг] ) Лр(')Р]~, = Рргэ' ( 1 †] ар [р]( ).
(8 Г аа) Заметим, что для того, чтобы величина р,!' была положительной и действительной (как но сути и должно быть, поскольку зто— квадрат ошвбки), необходимо, чтобы (а,[р][р< 1. А это оэнача. ет, что коэффициент отражения, используемый в модифицированном ковариационном методе, ло своему модулю ие иреэос«ооит единицы зсэ Л =Л;,-Р(с[[ро. 1]еьр[М]) (Р]'. Закгетим, чта Лр — комплекснозначный паРаметР. РассматРнваа тождество д,"Й,с,= (с эй,др)", приходим к выводу, что Л;=х,"[р 1]с .
(8 Г.зв) Наконец, еше одна рекурсия обновления порядка необходвма (в.г зП Векторы ср и д, должны удовлетворять следуюшим рек) Рсиям обнавленмя порядка: ср — — ( . )-~-с [0]ар, (8.Г.26) д, — [ . ) 4-3,(О]»„ (8.Г.27) правильность которых также можно проверить, умножая слева обе сторонм этих равенств на Йр и подставляя дзлее раэлаженая соатветствуюшнх порядков нз (8 Г.10) Скалярные множители с,[0] и бр[0] можно определить из следующих скалярных тождеств (в котормх используется зрмитаво свойство Й»" Й„): снЙ а]э=(а! иЙ с )'юс,[0]=е][м])р!ь, (8Г 2ь) д"Й агэ (агь"Й д )'Юд [О]=ар'[РВ1](рри.
(8 Г 29) Введем скалЯРнме множители бр и 7„опРеделвемые выРаженкямн 7,= 1 — "[Л] )с, = 1 — х," [У]3 Й 3х [3)], (В Г ЗО) б, = ! — г [Р 4-1] д = ! —, [Р+ 1] Й,'х,' [Р 4. !]. (8 Г 3» которые, согласно этим определениям как ивадратвчным форчзч, явлвются действительнозначными величинами Умножим слева абе стороны равенства (8.Г.26) на х,з[Л']3 и обе стороны равенства (8.Г.27) на х„'[Рт 1]. н результате чего получаем вырзженин для обиаеяения порядка скалярных множнтелеи б, и уш 7 =г,',— с [О]е~'[ЛГ]=-ур,--)ее[А!]м)рргэ (83'.32) 6, =. б;, — д, [о] э ! [р —, 1] =- 6;, — [еДр 1-1] р)Р !'.
(в г зз) Для быстрого алгоритма потребуется еше адив скалярный па. раиетр. определяемый следуюшям выражением; Л =-х,"[Ф]36 . (В.Г.34) Умножим слева обе егоровы равенства (8 Г 27) на хуг[М]3,стем чтобы получить выражение лля обновления порядка этого параметра: зш лля вектора г .,[о, р] згр,— «[6/ 1.! Д]» [дг] . ° [ ]З [ ]). (В.Г.37) Для ее вывода следует воспользоваться определенвем для В.Г.4. Реиурсни обновления во времени Обновление временнбго индекса в векторе коэффициентов ли нейного предсказания ведется э соответствии с выражением а/з = аы-!-и, ( . ) ч 8,( , ), (В.Г.ВВ) где о, = (г,'[ У] 6' ,ж ег [р -- !] 6; ,)з ПЕГ/' ь (8 Г 39) Правильность рекурсии (В Г 38) можно проверить.
умножая слева обе стороны этого равенства на й,' и подставляя далее са. ответствующие разложения по временному индексу (8 Г !2) и индексу порядка.(8 Г 10). Побочным продуктом этой проверки является выражение для обновления квадрата ошчбки линейного предсказания: и. П [',!Ч)("-Л,— -!-[г/! — П['тр-, Хи (,'1Р-. з1,'1!)Э,',) (В.Г.42) Дополнительные векторы ср а д, удовлетвориют следующим ре. гурсиям па временному индексу: с =с -1-а/с'4-Вг)д~', (В.Г.43) д' = др-~-о,/с' г В,ЗВЕ (В.Г.44) ле зз! (В Г.48) йр ж 4- и,ф' 4- 6 8;. В.Г.5. Начальные условия Начальные условия неаб димы л.щ того.
чтобы начать рекур. сивный алгоритм с поряд., раиного нулю; г,[О, О]=2] [«[л])', з р(р'=ГА О] — )«[!])' — !«[К]г, с, [О] =. х г]/г, [О, О], г'„[О] —. «'1 ]/г, [О, О], ),—. 4] ° [6/]/г,[О, О], 6, = ! [«[1] ) /., [О, О], 7,— -1 («[ф[('/г,[О, О]. (В.Г.49) Правильность рекурсий Г.43) и (8 Г.44) ыожно проверить, змножая слева обе стороз эжзх равенств на Зй,'3, подставляя разложение по временнаь индексу (В.Г.13) и исподьзуэ палее тождество В,=.х, [р+ 1]Зс которое является следствием свойства ср"Зйрдр = (дрэйр)ори Рекурсии по временнсу индексу для действительных ска. парных величин 7 и 6, ажио получить, формируя с помощью (В.Г.43) пРоизведение х,э/]Зср' и с помощью (8.Г42) пРоизве,геяке «„'[р-г)]д,', что лае /'-.У вЂ” ()ф )'6 +) )'à — , '2ре[ф Д 9;])/РЕН ); (В Г.48) ;=6,—.()9,(6,;=,(:у,-эйке[В„~,,В;])/РЕН,.
(В.Г.4П Рекурсию по временнбмугндексу для скалярной величины )е получаем, формируя с позщью (8 Г 44) проязведение хил[6]/др', 'зто дает (8.7.46) / о,=(8рдрд-фибр)/РЕК„ (1, = (ф„Ър -1- Ору„)/РЕМр, и,=/Вр/;-1-9 б )/РЕХр, ЭЕН =7 6 — )! )*, В =х,"[рд-!]Зд . р' В.Г.6, Простые про ерина пяакую численную обусловленность Как и в случае ковапигионнога алгоритма, можно показать, что 0<РЕНщг и 0<РЕ)(!. Кроме тога, с номащью полхода, использованного в подрд В.В,В, можно показать, что О( щ 6 6 -!.
Эти проверки, также проверка на палажитевьнасть членов квадрата ошнбю выполняются на каждом шаге алгоритма. Отметим, чта незторые улучшения базового алгоритма как пря больших отнапаиях сигнал/шум, так и при болыпнх звачениях порядка моде были предложены в работе [36] 312 0,003%, А(9) = ( 3,2046ТЗ Л(Ю) = ( 0,854681 лПП=! — о5327щ А (12) = ( — О 968658 АПЗ)= ( — 0,732152 Л(! 4) = ( — 034193 ! АП5) = (-0,084096 Р АП) (2.876987; — 0,474820), А(21 —. (5,847520, — 1,795236), А(3) - (8693661; 1,2396!5), АРО - П0,966702; — 7,316369), А(5) = П 1,397926. — 10 6237871, А(б)=ПОЗП(415, — !3236115), Л(7)=(8699289, — Щ09714ОП А (8) = (6 027758; — 15 518534), — 14.283307), — П,484167); — 7,83.3453Н вЂ” 4,337430); — 1,757008); — О,'Нмзз),' — 0,002586). П,лпрщр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
