Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 44
Текст из файла (страница 44)
идами: (х* [У вЂ” р] ... к*[77] представляет собой ганкелеву матрицу с эдементамн, комплексно-сопряженнымн отсчетам данных Отхгетпэи что веркнай индекс ) у коэффишгентов линейного предсказания а,[й] опущен, поскольку оин теперь соответствуют как ошибкам предсказания вперед. так и ошибкам предсказания назад Ятгзнимизируя среднее значение ьвадратоа ошибок предсказания вперед и назад р[ь = — л,„ ) ег [и] (' ш ~ ( ее [и] )' = г е,"е, = и =р ° ! 1 [ВУ)лег (ез)лег] (8 46) по амеюшиися ленным, получаем састему нормальных уравне- ний гргэ; й з'„'=~ 0 0, 7П (8 47) в которых ГЛЕ 0 1, и -Р Так как диапазон суммирования квадратов где О(' й( ошибок в (846) идентичен диапазону суммирования в ковариа!и — !ша Т" г т„'~ (8.48) и ΄— Р-элементный нуль.
вектор. Уравнение (847) следует нопосрелственно из уравнения (3 67), поскольку уравнение ошибки (845) алеет ту же форму, чтоиуравнснне (362). Элементы матрицы й, имеют форму гр[г 1] ~ (х*[»' г]х[л 1] .т[л Р' г]т [» Рт!]) (8.49) ционном методе. хз процедура, основ.:и ~ая на совместном использовании ош«бок линейного предсва гния вперед и назад по методу наименьших квадратов, получи.ы название .иодифицггровок ого коеариациониаго метода Этот |стог был независимо разработан Бергом [9), Ульрихом н Клейтоном [6(] и Иаттол.
лом [40) Ульрих и Клейтон назвали его методом кокленьши» хТвадрагов, хотя это и ме едвнствепвый метал ааимеиьшнх квадратов, вспользуемый для линейного предсказания ири спектрально» оценивании. Отметим, что в выра кении (8 46) могут использоваться и др)тие пределы охммировзипн, однако мы не будеы рассматрнвать полобные случаи, поскольку характеристики получаемых в ннх оценок, кэк правило, ве превосхолят хараьтернстщ оценок. получаемых с помощью модифвцврованного коварнацианнаго метода.
Модвфвцированиый иовариапионный метод и гармонический метод Берга основавы нэ мцнвмизации сре.гних квалратов ошибок линейного предсгщзання вперед и назад В первом из нцх минимизация выполняется по всем коэффициентам предсказания, во втором же выполняется условная (т. е. с наложенным ограничением) минимнзацяя только по адвочг ноэффипнеигу предсказания а,[р) (т. е по иаэффицненту отраженна йг) При использовании метода Берга возивкаег ряд проблем, включая расщепление спектральньх лвний и смещение частотных оценок, которые усТраняются при использовании модифнцнрован. ного каварившюнного метода.
Л это означает, что причина нх появления, по-видимому, связана с ограничением, которое в четоде Берга используется прн минаыизацин. Количество вычислительных окераций, требуемое длв пря,аого решения >раивения (8.47) с помощью алгоритма Холецьога, пропорционально величине рй а объеч необходииой прн этом паггяти пропорционален величине рг Однако матрица й, в уравнении (848) обладаег столь хорошей структхрой, включая центральную симметрию. что по кно попытаться использонать ее для построения быстрого алгоритма решения хравнення (8 47). Подробный вывод тало о быстрого а.цоретча и машинная программа его реализашщ МОРСОЧЛР приведены в при.
.хожении 8 Г. Для ьюдели р-го порядка н У отсчетов данных этот алгоритм требует Кр -бр' вычислительных аперацвй (сложений и умножений) н пах~зги объемом Л'+4р, что сравнимо с вычисдительной слоткностыо алгоритма Берга. Однако вычнслительчая эффективность мод ифицированного ловариациовного алгоритма будет выше, чеч х алгоритма Берга, в том сл)щае, когда р«Л' в в обоих алгоритмах испотьхуется ашги п тот же порядок моде.пг. От метам так .е, что не~бходимым, но недостаточным условием невырожденносги ы щы К, валяется условие 2(Л' — р) рар нли рщ2Л 73 О гсю следует, что значение З7б выбранного порядка модели не лолжио превышать двух третей данны записи данных. В отличие от метода Берга, модифицированный яоазриэцнаьный метод не гарантирует получение устойчивого фплы ра линейного предсказааия (т. е филы ра, полюсы которого расположены внутри елиничной окружности в з-одоскостн), лата чаше всего он будет давать именно устойчиные полюсы.
В случае спектрального аценивання это не приводит к каким-лабо затруднениям, ио обязательно должно учитмваться в том случае, когда вы ~исляемые коэффнцпенты лействительно используются для синтеза фильтра В приложении В.Г показана, что »одвфкцираванный ковариашюниый метод всегда дает коэффициенты отражения, модуль которых не преваскодит единицы. С.тедавательно, прн нспользовании значений коэффициентов отрах.ения, вычпзщяемых с памопгью модифицированного коеарвационного ьгегода, мы всегда будем получать устойчивые решетчатые фильтры. 8.4.
Харантернстним оценок Свойства спектров, получаемых по оценкам автарегрессионных параметров, рассмотренным в этой главе полробно исследованы в многочисленных опубликованных работах Так как метод перга являетсв одним из первых н наиболее широко используемых алгоритмов, то проверке и сравнению чаше всего подвергалнсь реэухьтаты, полу шемые именно с его помощью. Появление каждой новой процехуры свектрзльного оценивания была, ьак правило, вызвано необходимостью устранить те или нные аномалии в спеятральных оленках, палучземых с помощью гармоняческого элгар~этна Берга К тзкого рода аномалиям, которые будут рассмотрены ниже, относятся ложные спектральные пики, смешения частотных оценок и расщепление спектральных ливий Если выбран болыцой парялок АР-чоделюг отиос|пельно ичеюцзегося числа отсчетов данных, то в авторегрессионвык спекгрзльных оценках могут появляться ложные пики Из-за ошибок оценвванкя матрица нормальных уравнений для большинства ЛР-методов будет иметь полный р нг, разный большим значениям порял«а моделей, так что регпения дл» ЛР-нараметров получаются Лаже тогда, ко~да истинная модель имеет значительно меньший порядок дополнительные полюсы, порождаемые лишними Ар-параметрами, приводят к появлению ложных спектральных пиков.
Для уменьшения числа поганых пиков следует использовать метояы определения порядка модели; несколько критервев выбора порядка модели обсуждается в равд 8 7 Следует заметать, что уменьшение порядка мотели с !в' 277 э Ра аэ, Лзе пектр . вне Лр-эци!я!, и*аучеины пч гв! а сыту иршеыа. шч ше э аз с гсэ,", э ой 7.2й гц и лл твэ эг велш шу а (ю) равна чэ'!. а — н а. и гэд ° пер расш але иэй ие рал а й л и й; 6 — эа а а и д бициэ ыч ар.а . аиых ме и. р ш н.
а сп и Эа. аой ляяиа э суг зте . целью борьбы с поясными пикамв синя ает также и разрешение спектральной опенки. Иэ описанных в данной главе Ар.методов спеюрального опениааиия более вмсок е разрешение при за данноь! порядке л!одели обеспечивают метод Берга, ковариацпонный метод н молвфнцнрованный ковариационныи ыетод.о чеч свидетельствует рнс. 82. Обусловлено эта главиыы образом ото)мотанем в них эффектов, связанных с првмеиеиаеч ална 11иенно по этой причине наихудшее разрешение нэ всех описанных здесь методов нчест аитоьорреляциапный ьгетод. Прн использовании негода геометрического среднего, метола гармонического срелнего (метода Берга) в автокорреляционного метода было замечено, что прн некоторых услпвиях в спектральной оценке чогут появляться лва близко распалогленных спектральных пика там, где должен присутствовать только один спектральный пнк.
Это явление, названное расщеалеяиел спектрально!! линии, иллюстрирует рис. 8.3, иа котором гола. заны спектральные оценки, полученвые с помощью метода Бер. га и модифишгрованного ковариаппониого метода. Оба спекгрз на этом рвсунке построены по 25 значенвям оценок, полученным по 101 отсчету пропесса, состоящего нз син!соилы елииичиой амплитуды с йачальной фазой 45' п частотой 7,25 Гц и аддитивного шума с дисперсией 0,01 (отношение сигнат)шу» равно 50) Частота отсчетов равна 100 Гц.
Спектральная оценка по методу Берга, показанная на рис 8 В,а, иыеет рас. щедлеаный пик на частоте примерно 7,25 Гц, что создаст ложное предгтазлеияе о наличии частот двух синусоид. Спеитр, полученный по теч же паиным с помощью модифицированного ,рнадиоиного метода, выест тольио один пик на ир з шьной ше Расщепление спектральных линий была впервые овна стат~е Фужера и др [14], где отмечается, что при исловании метода Берга расшенлевие спектральных линий !заболев вероятно в тех случаях, «огда 1) велико отношение !!гналУшум, 2) начальные фазы синусоилальных компонент че!етно ьратны углу 45', 3) протяженность последовательности ,анных во времени такова, что синусоидальные компоненты »ыеют нечетное число четвертей периодов, и 4) процентное саотиощенае между числоы оцениваемых ЛР-нарва!строе и числом используемых для этой цели отсчешя ланиых относительно велико.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
